Нестандартные завдання у курсі шкільної математики (неповне й надлишкове условие)

План.

|Вступление. .. .. .. .. .. .. .. .. .| |.. .. .. ... 2 | |Про роль завдань щодо навчання математиці. .. .. .. .. | |2 | |Як вчить виконувати завдання сучасна школа?. ... 4 | |Формулювання проблеми. .. .. .. .. .. ... | |. 10 | |I. Як учні реагують на «аномальні» завдання | |(констатували експерименти). .. .. .. .. .. | |... 17 | |Обгрунтування доцільності завдань із «аномальним» | |умовою. .. .. .. .. .. .. .. ... | |.. .. .. .. ... 24 | |Прикидка методичного підходи до навчання | |рішенню «аномальних» завдань. .. .. .. .. ... | |.. ... 32 | |Розширена система завдань із темі «Сума кутів | |трикутника». .. .. .. .. .. .. ... .| |.. .. .. ... 37 | |Укладання. .. .. .. .. .. .. .. .. .| |.. .. .. .. .. 51 | |Список літератури. .. .. .. .. .. .. .. | |.. .. .. ... 52 | | |.

Вступление.

1. Про роль завдань щодо навчання математике.

У навчанні математиці завданням завжди відводилася досить велика, а то й вирішальна, роль.

Зараз все більшого поширення набуває прогресивний метод навчання через завдання як реалізація системи проблемного навчання. Основні ідеї цього знаходять у какой-то мері свій відбиток у нових підручниках. Завдання стають тільки й й не так метою, скільки засобом обучения.

Історично склалося так, що у ранніх етапах розвитку математики вирішення завдань було метою навчання. Учень мав завчити зразки і потім підбивати під ці зразки вирішення завдань. Здебільшого вирішувалися типові, стандартні завдання, належать класам алгоритмічно розв’язаних завдань, тобто. таких, котрим існує загальний метод (алгоритм) решения.

Різноманітні ситуації, виникаючі на математичному і нематематическом матеріалі, наводять як до стандартним, і нестандартним завданням, алгоритм вирішення яких або невідомий, або существует.

Останніми десятиліттями поступове зміна цілей навчання математиці призводить до необхідності навчати дітей рішенню як стандартних, а й нестандартних завдань, які можна зарахувати до класу алгоритмічно розв’язаних. Саме з відношення до нестандартній завданню виникає у вариативном пошуку решения.

" Завдання передбачає необхідність свідомого пошуку відповідного кошти на досягнення ясно видимої, але не доступною мети. Рішення завдань означає перебування цього кошти ". [17, з. 143].

Певні групи завдань, виділені на класних і позакласних занять, цілком придатні розробки «належних навичок думки », навичок, вкладених у пошуки рішення задач. 6, з. 119(120].

У вашій книзі [13, з. 165] М. І. Махмутов розповідає про дослідження, проведённом групою вчених, математиків і психологів з виявлення закономірностей активізації пізнавальної діяльності учнів. Ось що він пише в книге:

" Теоретичне осмислення робіт найкращих учителів допомогло знайти у процесі загальну закономірність активізації пізнавальної діяльності учнів: напруга інтелектуальні сили учня викликається переважно постановкою проблемних питань, проблемних пізнавальних завдань і навчальних завдань дослідницького характеру. Ця напруга народжується в зіткненні з труднощами у сенсі і осмисленні нового факту чи поняття разом й характеризується наявністю проблемної ситуації, високого інтересу учня до цієї теми, його емоційного настрою і вольового зусилля. «.

Роль завдань у навчанні математиці важко переоцінити. Через завдання природно запровадити проблемну ситуацію. Дозволивши систему спеціально підібраних завдань, учень знайомиться з більш істотними елементами нових алгоритмів, оволодіває новими технічними елементами. Застосовувати математичні знання на життєвих ситуаціях вчать відповідні практичні завдання. [11, с.182].

Отже, з приведённого вище огляду думок різних спеціалістів у галузі освіти і навчання математиці, завдання є основним ланкою всередині процесу навчання, а тим паче такого, як проблемне і развивающее.

2. Як вчить виконувати завдання сучасна школа?

Проте використання завдань у процесі навчання математики й в час ще далеке від совершенства.

Як А. Эсаулов [25, с.8] в психології та педагогіці звертається увагу переважно те що, як вирішуються вже кем-то знайдені і геть чітко сформульовані завдання, а чи не те що, як вони виявляються й у ставляться. У результаті виходить, що людина, звикнувши бачити перед собою чітко й коректно сформульовану завдання, просто втрачається на незнайомій ситуації, чи це хоч звичайна некоректна математична завдання чи якась завдання, виникла як наслідок з практики (прикладная).

У сучасному математичному освіті (ми орієнтуємося на країни колишнього СРСР) відзначається наступний актуальний аспект: вивчення математики всіх етапах повинен мати розвиваючий характері і прикладну спрямованість. Молоді необхідно давати непросто конкретну суму знань, а й прищеплювати їй навички творчості, інтерес до дослідження, формувати в неї позитивну мотивацію. [11, с.136].

Зацікавлення навчальної діяльності, підкріплюваний постійним активним через участь у відкритті нових істин, перевірці гіпотез, пошуком способу дій в завданню, є основним психологічним умовою успішності цієї діяльності. [11, с.129].

Шкільні уроки математики по-прежнему націлені пройти програми, а чи не в розвитку мислення в дітей. Учитель бачить своє завдання в тому, щоб школярі з його допомогою ми засвоїли ще одну порцію матеріалу. Але головна його завдання — всіляко сприяти розвитку пізнавальних можливості учащихся. 11, с.178].

Основну частина часу на уроці учень проводить, вирішуючи завдання, й у що свідчить від своїх особливостей (складності, багатогранності, сюжетної форми, послідовності та інших.) і, наскільки успішним буде процес навчання математиці. Але що маємо насправді? Насправді виходить, що найчастіше процес розв’язування завдань на уроці має деякою рутинностью і учневі мало можливостей до творення. Згодом така специфіка завдань виробляє в учня певний неправильний стереотип мислення, належить до рішенню завдань. Учень просто шукає стандартну ситуацію, до котрої я можна було б застосувати відомі формули і теореми, і втрачається, коли запропонована завдання вимагає навіть нескладного нестандартного подхода.

На думку Л. Фридмана, однією з основних у навчанні математиці функцій завдань є функція формування та розвитку в учнів загальних умінь рішень будь-яких математичних (зокрема і прикладних) задач.

Учні ж у час не здобувають жодних спеціальних знань, з урахуванням яких, можливо таке формування. Понад те, нині ці загальні вміння формуються суто стихійно, а чи не внаслідок цілеспрямованого, систематичного навчання. Вважається, що це вміння виникатимуть тільки завдяки рішенню значної частини математичних завдань. [22, с.151(152].

Аналіз шкільних підручників математики показує, що вони містять начебто достатнє (і навіть надлишкове) кількість завдань, у тому числі вчитель їх може становити набори завдань, зорієнтовані різні класи і різними учнів. Проте навчальний ефект виходить, на думку багатьох педагогов-исследователей, з яких ми цілком згодні, невысоким.

Більшість учнів, ознайомившись із завданням незнайомого чи малознайомого виду, не знають, як до неї підступитися, з чого ж почати рішення, і навіть зазвичай вимовляють горезвісні слова: «А ми вже не вирішували » .

Які причини цього широко розповсюдженого явления?

Автора книжки [14] бачить основну причину в незадовільною постановці завдань щодо навчання математиці. Він — пише: «Проблема постановки завдань у процесі навчання математиці досі не знайшла задовільного рішення (ані у нашій країні, нізащо кордоном) ні з місця зору вмісту навчальних завдань, ні з погляду їх цільового призначення, ні з погляду числа обов’язкових чи необов’язкових завдань чи уявлення у вигляді цілісної системи. «.

Зараз, коли учні немає систематичних знання завдання й сутності розв’язання, головну увагу учнів (та вчителів) спрямоване на те що знайти вирішення завдання до того ж як і швидше. На заключний аналіз, встановлення того, яких висновків можна зробити висновки з виконаного рішення, — все це не є залишається ні сил, ні в часі, ні бажання, адже це майже головні аспекти рішення задач.

Бо в школі неможливо, та й потрібно, розглядати всі види математичних завдань. Хоч би скільки завдань ні вирішували у шкільництві, усе одно учні у своїй майбутній роботі зустрінуться з новими видами завдань. Тому школа повинна озброювати учнів загальним підходом до розв’язання всіх задач.

Однією з особливостей математики є алгоритмичность рішення багатьох її завдань. Алгоритмом, як відомо, називається певний вказівку про те, які операції, і як і послідовності треба виконати, щоб вирішити будь-яке завдання певного типу. Звісно, дуже дуже багато завдань не алгоритмизируется і вирішується питання з допомогою спеціальних, особливих прийомів. Тому здатність знаходити шляхи вирішення, не підходящі під стандартне правило, є одним із істотних особливостей математичного мислення, як звідси пише у своїй книжці академік Колмогоров. [7, с.76].

Необхідність спеціальних здібностей з вивчення й розуміння математики часто перебільшують. Враження виняткової труднощі математики іноді створюється її поганим, надмірно формальним викладом на уроке.

Уміння послідовно, логічно міркувати у незнайомій обстановці купується ніяк не. На математичних олімпіадах найнесподіваніші складно саме за рішенні завдань, у яких не передбачається ніяких попередніх знань із шкільного курсу, але потрібно правильно вловити сенс питання й розмірковувати послідовно. [7, с.80].

Багато нарікання викликає і підготовка школярів як абітурієнтів, що у вузи на физико-математические спеціальності. Багаторічна практика названих іспитів показує, що виховані у традиційній школі абітурієнти мають знаннями, достатніми до вступу в ВУЗ, проте інтелектуальне розвиток більшості також, передусім, рівень абстрактного логічного мислення недостатній для ефективного навчання з обраної специальности. 11, з. 92].

Отже, як свідчить вищевикладений аналіз літератури, набори завдань наявних шкільних підручників поки не задовольняють вимогам, що ставляться до результативності математичної освіти. Найчастіше, ці завдання ставляться до алгоритмічно розв’язаним, не розвивають в учнів варіативного мислення, не вчать безлічі навичок, таких необхідних для вирішення завдань, як шкільних, і побутових, виробничих, своїх наукових та т. д.

Розглянемо детальніше, як справи з завданнями, представленими у діючих підручниках математики.

Аналіз шкільних підручників математики показує, що з 5-го по 11-й клас учні вирішують більш 7000 завдань. [11, с.171].

Якщо на завдання, представлені у шкільних підручниках математики, усі завдання, які у них, всередині однієї теми класифіковані за рівнем труднощі й розташовані, зазвичай, гаразд її возрастания.

Серед запропонованих учням завдань представлені завдання різних класифікацій (по крайнього заходу, до цього прагнуть автори підручників): з їхньої призначенню — тренувальні і розвиваючі, наявністю алгоритму рішення — стандартні і нестандартні, характером вимоги — доказові, обчислювальні і конструктивні. Є й інші класифікації, знаходять то чи інше відображення в шкільних учебниках.

3. Формулювання проблемы.

Але із класифікацій майже знаходить відображення у діючих підручниках за рідкісним винятком. Ідеться про класифікації характером умови завдання — певні, невизначені і переопределённые. Школяру переважно пропонуються завдання певні, тобто. завдання, містять в умови стільки ж даних, скільки їх потрібно відповіді, максимум не менше. Але чому більше й не меньше?

Якщо вчитель ставить за мету навчити своїх учнів виконувати завдання з життя, а чи не з підручників, він повинен навчити їх почати: 1) математизировать ситуацію (тобто. переводити завдання побутову, виробничу та ін. мовою математики); 2) вибирати необхідних рішення величини з їхньої надмірного безлічі чи здійснювати варіативний пошук даних, саме ті для виконання завдання; 3) вирішувати отриману математичну завдання; 4) аналізувати знайдені рішення, порівнювати їх, вибирати найбільш економічні; 5) разматематизировать ситуацію (тобто. переводити отриманий у відповідь мову побутової, виробничу краще й іншої практики).

Із перелічених видів діяльності школа вчить хіба що для третьому. Інші зачіпаються у такому незначною мері, що навіть про частковому навчанні тут навряд чи слід. Наприклад, коли про завданнях невизначених і переопределённых, то таких сучасних підручниках налічується трохи більше полупроцента, ба й тих вчителя найчастіше не замечают.

Приємним виключення з зазначеного правила є підручник [18]. Його автор, професор Н. Рогановский, пропонує завдання під рубриками, серед яких і такі: «Чи все можливі випадки розглянуті?», «Досить чи даних на вирішення завдання?», «Скільки рішень має завдання?» тощо. п. Природно, завдання, запропоновані під цими рубриками, відповідають поставленому питання, тобто. мають кілька варіантів реалізації умови, кілька можливих шляхів розв’язання, і кількість даних в умови не обов’язково необхідним і достатнім щоб одержати ответа.

Але, як зазначалося, цей підручник — виняток. Більшість авторів інших підручників завдання ігнорують. Можливо, вважають їхню марними і непотрібними в обучении?

Проте, багато відомих педагоги-исследователи вважають використання завдань корисним і необходимым.

Наприклад, М. Крутецкий у своїй книжці «Психологія математичних здібностей школярів «наводить таку классификацию:

1. Завдання з несформованим умовою — завдання, у яких маються все дані, але питання завдання лише подразумевается.

2. Завдання з надмірною умовою — завдання, у яких маються зайві дані, непотрібні на вирішення, а лише маскирующие необхідних рішення завдання данные.

3. Завдання з неповним складом умови — завдання, у яких відсутні деякі дані, необхідних виконання завдання, унаслідок чого дати конкретний на запитання завдання який завжди представляється возможным.

4. Завдання з суперечливим умовою — завдання, містять в умови протиріччя між даними. [9, з. 124−150].

В.А.Крутецкий описує дослідження, що він з групою дослідників проводив у багатьох школах СРСР протягом 12 років із 1955 по 1966 роки. Дослідники використовували завдання різних типів, серед яких були й приведені у цій класифікації, як таки тестових завдань для виявлення психологічних аспектів математичних здібностей школярів. За результатами цього дослідження вийшло, що сильні учні виходить із завданнями зазначених типів практично самостійно, швидко, практично без допомоги випробувача. Учні середніх здібностей також непогано виходить із подібними завданнями, проте до розв’язання їм потрібно більше часу й іноді навідний питання, наталкивающий на рішення. Слабкі учні мало могли самостійно провести вирішення завдань, не бачили зв’язок між об'єктами завдання, і і з підказкою випробувача було неможливо справитися з заданием.

Слід зазначити, саме з зазначеними типами завдань дослідники пов’язували найбільші надежды.

У вашій книзі Д. Пойа «Як вирішувати проблему «наводиться схожа класифікація, знана тільки тим, що відсутні завдання з несформованим складом умови. Понад те, у своїй таблиці, спрямованої на допомогу решателю, Д. Пойа першими пунктами поставив питання: Чи можливо задовольнити умові? Чи достатньо умова визначення невідомого? або недостатньо? чи надмірно? чи противоречиво?

Начебто Пойа передбачає рішення звичайних, шкільних завдань, але він виключає можливості наявності деяких «аномалій «в умови завдання, для існування яких учні би мало бути готовы.

П.Эрдниев у своїй книжці [24, с. 24,40] пропонує залучити до навчанні математиці завдання з неповним складом умови і з молодших класів, причому вважає, що використання завдань (деформованих прикладів, як і їх називає) дає змогу провадити навчання випереджаючими темпами, з допомогою можна докорінно змінити розумові процеси вирішального, перетворивши на складніші, більш змістовними тому краще розвиваючі здібності ученика.

У Н. Метельского зустрічається така класифікація завдань. Між умовою завдання (А) і її вимогою (Х) то, можливо різне співвідношення, що б число рішень. Зазвичай шкільна завдання має одну чи кілька певних прийняття рішень та тому називається певній. Цей тип завдання умовно можна зобразити формулою імплікації А=>Х, яку усвідомимо отже умова, А містить багато і лише достатньо даних для виконання вимоги Х. Якщо з умови, А какое-либо дане опустити, то одержимо неопределённую завдання. Вона має безліч рішень, залежать від нескінченного безлічі значень тієї величини (параметра), якої належало значення, викинуте з умови. Нарешті, умова може містити, крім А, деяке додаткове дане, і тоді завдання називається переопределённой. У приватному разі це «зайве «дане може випливати з тих, що вони є у завданню, і тоді завдання виявляється певній завданням. У інших випадках переопределённая завдання має рішення, оскільки її дані суперечать одна одній, несумісні. Основні функції завдань у навчанні виконують певні завдання, проте відому користь, на думку Н. Метельского, приносить учням ознайомлення з невизначеними і переопределёнными завданнями. [14, с.176(177].

Завдання з аналізованої класифікації корисні тим, що: де вони мають алгоритмичностью рішення, вони активізують розумову діяльність учнів, змушують їх шукати нестандартні підходи вирішення завдань, а також допускають як дещо способів вирішення, і кілька рішень вообще.

На підтвердження цієї думки цікаві факти спричиняє своїй статті «Гострокутий чи тупоугольный? «И.Дегтянникова. Вона пише: «Вирішуючи завдання, навіть не замислюємося реальність її умови. Тому праві ті автори, куди входять до своєї підручники завдання з нереальними умовами. Це змушує перевіряти умови в усіх завдань. З іншого боку, нереальні завдання — це готова проблемна ситуація». [4].

Відсутність зазначених завдань в шкільних підручниках призводить до того, як і вчителя не орієнтують свої вміння таких завдання, у результаті їх педагогічна підготовка містить изъяны.

У замітці [5] В. Игнатенко пише про помилку, знайденою в підручнику [1]. У тому підручнику на с. 135 приведено завдання 536(б). Ось її текст: «Відтинок BD є биссектрисой трикутника АBC. Знайдіть DC, якщо AB=30, AD=20, BD=16 і (BDC=(C.

Начебто нічого в цьому завданні немає. Проте автор, провівши рішення двома в різний спосіб, зауважив, що відповіді у яких не збігаються. Спроба змоделювати трикутник з цими, зазначеними в завданню, показала, що ці містили протиріччя. Виявляється, маститі автори популярного підручника, включивши суперечливу завдання свій підручник, помітили її суперечливості, як і помічали неї і тисячі вчителів, кілька років які працювали за цьому учебнику.

Присутність такої завдання (поки що тільки однієї) в підручнику геометрії - лише з користь учням і вчителям. Прикро, що це завдання — результат випадкової помилки авторського колективу, а чи не результат її закономірного выбора.

Як М. Буловацкий у статті [2], школяр, зазвичай, ігнорує важливі питання переизбыточности, недостатності чи суперечливості завдань, оскільки завдання з шкільних підручників не вимагають роздуми над таких питань, оскільки у них практично завжди є стільки даних, скільки потрібно на вирішення. І це є, по думці М. Буловацкого, серйозним недоліком математичної освіти школьников.

За результатами експерименту, описаної у статті, переопределённые (з надлишковим складом умови) чи невизначені (із нестачею даних) завдання ставлять більшість із школярів у безвихідь, із якого вони найчастіше в стані вибратися. І це складне становище виникає у зв’язку з, що з школярів не відпрацьований навик добору, і попередньої оцінки даних завдання. Як вважає генеральний М. Буловацкий, відпрацюванні цього досвіду потрібно приділяти спеціальне навчальний час. [2].

Отже, аналіз літературних джерел виявляє важливу для математичної освіти проблему: багато педагоги-исследователи свідчить про й доцільність використання щодо навчання завдань із «аномальними» умовами, а автори підручників цього вказівку майже реагируют.

Нас зацікавив з різних точок зору. Во-первых, наскільки корисно включення завдань в шкільний курс математики? Во-вторых, чи потрібно спеціальне навчання учнів рішенню завдань? І коли потрібно, то які методичні особливості такого обучения?

Пошукам відповіді ці запитання і присвячена справжня работа.

I. Як учні реагують на «аномальні» задачи?

(констатували эксперименты).

Попередньо ми показали, що чимало відомі у педагогіці вчені вважають корисним включення невизначених і переопределённых завдань в процес навчання. Чому більшість підручників приділяє такий слабкий увагу цим завданням? Можливо, учні і спеціального навчання у змозі вирішувати завдання? По крайнього заходу, висновки В. Крутецкого близькі до стверджувальному відповіді. Але є та інші мнения.

Щоб це питання, провели ряд що констатують експериментів у різних классах.

Так було в період педагогічної практики 1997 року було проведено невеличкий експеримент уже середньої школи № 3 р. Орша.

Учням 6 класу, у складі на даний момент проведення експерименту було 25 людина, на самостійної роботі у ролі додаткового завдання було запропоновано наступна завдання: в прямокутнику боку рівні 8,4 див і 3,9 див, а периметр 24,6 див. Знайти площа прямокутника. За позитивного рішення це завдання у п’ятому класі виділилося кілька груп: 1 учень не вирішив її взагалі, мотивувавши це тим, що ні встиг йому це зробити; 2 учня вирішили це завдання цілком згодна з поясненням того, чому де вони використовували під час вирішення завдання даний у ній периметр, але з перевірили, чи дана довжина периметра длинам сторін; 1 учень (до речі, учасник обласної олімпіади з математики) вирішила цю завдання цілком і перевірив відповідність у ній даних одна одній, та заодно бавився рішенням близько 20 хвилин, інші ж учні просто написали відповідь до завданню без яких би не пішли пояснень до нему.

Після вирішення завдання з учнем, повністю котрі хочуть завдання, була проведена розмова у тому, з якими труднощами він зіштовхнувся на процесі виконання завдання, і з’ясувалося, що, вирішуючи це завдання, він спочатку думав, що в завданню дано два прямокутника, площа однієї з що їх знайшов відразу і довго підраховував, як і висловити площа прямокутника через його периметр. А потім перевірив, що довжина периметра цілком відповідає длинам сторін, і він вирішив, що у завданню йдеться про одне і тому самому прямокутнику, а периметр дано лише тим, щоб заплутати рішення. На наступному уроці клас виявив бажання дізнатися, чого ж правильно вирішують це завдання. Їм було докладно пояснено, що периметр в завданню зайва даним та її непотрібно використовуватиме рішення, але у цій ситуації довжини сторін у завданню відповідають периметру, що трапляється який завжди і вимагає перевірки. Після цього було запропоновано на вирішення завдання аналогічного характеру, але яка містить розбіжність у тексті: в прямокутнику довжини сторін рівні 6,7 див і 4,2 див, а площа дорівнює 25,3 кв. див. Потрібна знайти периметр прямокутника. Як і передбачалося, все 25 учнів вирішили це завдання без використання площі й записали відповідь. Усі вважали, що загальна площа в завданню зайва даним, але хто б вважав за потрібне перевірити, чи відповідають дані одна одній. Результат самостійної роботи (відсутність «пятёрок «регулярно працюють з нескладними завданнями) примусив їх бути усе ж таки замислитися. Чергова розмова ту тему сприйняли ними вже з велику увагу і розумінням. Учні з більшою цікавістю стали ставитися до «інакшим «(їх визначення) завданням, та й існують самі стали складати завдання з зайвими даними, пропонуючи їх одне одному і розказують учителеві як у уроках, і поза уроков.

Вважаємо, що це інтерес можна пояснити нової незвичайної ситуацією у сфері знайомих речей: на вирішення завдань нових знань не потрібно, але потрібно новий підхід до них, нові розумові прийоми. Тобто. відбувається «шліфовка «мислення, його тренаж, що цілком відповідає запитам зростаючого организма.

Було проведено експеримент й у 10 класі тієї школи, де на кількох момент експерименту було 13 учнів. Їм було запропоновано на вирішення наступна текстова завдання: лише у мензурці є певна кількість кислоти, в інший мензурці - стільки ж води. Для приготування розчину спочатку вилили з першого мензурки на другу 30 грамів кислоти. Потім 2/3 розчину, получившегося на другий мензурці перелили під час першого. Після цього, у першої мензурці виявилося у 1,4 рази менше рідини, ніж на другий мензурці. Скільки кислоти та води робилося первоначально?

Усі 13 учнів змогли вірно скласти рівняння, провести його прийняти рішення та не записати відповідь: 12 грамів води та кислоти було спочатку. У цьому все припинили вирішення завдання. Далі було запропоновано повернутися до умові завдання, і спробувати підставити отриманого результату в умова. Тут відразу ж потрапляє виникли труднощі, оскільки з мензурки, що містить 12 р рідини, вимагалося вилити 30 р. Учні відмовлялися розуміти, як могла так вийти, що завдання красиво зважилася, але це, що одержали як відповіді, непридатному за текстом завдання. Незрозумілою була і те, як можна записати у відповідь, що немає рішення, коли насправді воно есть.

Завдання викликала різко негативне ставлення десятикласників, які вважали непотрібним рішення завдань для своєї освіти. Вони вимагали від вчителя пропонувати їм на вирішення «нормальні «завдання, які їм і доведеться виконувати лише за вступі до ВУЗы.

Отже, експеримент показав як недостатнє розвиток мислення старшокласників, але те, що вони вже відсутня прагнення такого розвитку. Вони самі (вважаємо, неучасті вчителів) визначили собі «стелю «свого розвитку, своєї освіченості, що у принципі для людини ненормально.

Аналогічний мини-эксперимент провели й під час переддипломної педагогічної практики у вересні - жовтні 1998 року. Він проводився з учнями середньої школи № 2 р. Орша. Під час експерименту брали участь учні 11-го класу, що є ліцейським класом при Могилёвском машинобудівному інституті (випускні іспити з математики й фізиці в цьому класі суміщені з вступними іспитами до інституту). Рівень викладання математики цьому класі досить високий (три учня — учасники обласної олімпіади з математики, один — її призёр).

Цим учням було запропоновано на уроці для самостійного рішення такі: У параллелограмме боку 3 див і п’яти див, а висота 4 див. Знайти площа паралелограма. У параллелограмме боку 4 див і п’яти див, а висота 3 див. Знайти площа параллелограмма.

З першим завданням виникла проблема наступного характеру: частина учнів, не звернувши увагу те що даної завданню паралелограм визначається однозначно (висота 4 див може бути лише у боці 3 див), видали два відповіді (12 см2 і 20 см2); ще друга учнів зупинилася однією рішенні, просто більше не розглянувши можливий другий випадок (відповідь або 12 см² або 20 см2); і тільки один учень спочатку запитав про тому, скільки рішень може мати завдання, і, отримавши рада «Думай! », видав цілковите і правильне решение.

З другого завданням у більшу частину учнів було практично як і, тобто. більшість вказали лише один відповідь (навіть підказка у тому, що рішень може бути більше, не допомогла), інші - два відповіді, але без обгрунтувань. І лише одне учень (хоча б, що вирішив і завдання) вирішив самостійно й більше правильно це завдання, видавши два відповіді з аргументацией.

Як кажуть, результати експериментів показують, що школярі над змозі самостійно справитися з завданнями зазначених типів. Не ставлять собі питань про переизбыточности, недостатності чи суперечливості умов завдань, не аналізують умова завдання, як розпочати її рішення, не повертаються з отриманим рішенням до початку завдання, щоб перевірити його. З чого можна зрозуміти, що сформованість навичок рішення математичних завдань у учнів с/ш (навіть у спеціалізованих класах) є далеко ще не полной.

При цілеспрямоване використанні переопределённых завдань учні досить швидко привчаються аналізувати умова завдання, але у спочатку усе ж таки роблять досить грубі помилки у рішенні, объясняющиеся передусім їх невмінням проводити такий аналіз. За позитивного рішення завдань переопределённых, але що мають у умови протиріччя, учні після невеличкий тренування знаходять очевидні чи слабко приховані протиріччя, але, якщо протиріччя хоч сколько-нибудь завуальовано, недобачають його й просто ігнорують замість здобуття права повернутися до умові завдання й перевірити рішення. Тобто. необхідність роботи над завданням після відповіді, необхідність аналізу цієї відповіді, виявлення його відповідності тексту завдання формуються у учнів за довший термін і витратою великих зусиль як самих учнів, і вчителя. Тому бажано починати той процес набагато раніше, ніж у десятому классе.

За позитивного рішення завдань невизначених учні не вміють перебирати різноманітні випадки, які виникають из-за цієї невизначеності, і найчастіше або знаходять одне правильне рішення, або пишуть, що завдання решается.

Отже, у відповідь поставлене запитання очевидний: самі учні неготовими до рішенню невизначених і переопределённых завдань, цьому слід їх цілеспрямовано вчити. Як? Щоб це питання, спочатку задумаємося у тому, чого можуть навчити завдання з «аномальним» условием?

II. Обгрунтування доцільності завдань із «аномальним» условием.

Щоб відповісти на останнє запитання розглянемо досліджувані типи завдань більш докладно, щоб визначити, що конкретно потрібно від учня під час вирішення кожного з них.

1. Невизначені завдання — завдання з неповним умовою, у якому для отримання конкретної відповіді бракує одній або кількох величин чи каких-то вказівок на властивості об'єкта або його зв’язки з іншими объектами.

Примеры:

1. У трикутнику один бік має довжину 10 див, іншу 8 див. Знайти довжину третьої стороны.

2. Поїзд складається з цистерн, товарних вагонів і платформ. Цистерн на виборах 4 менше, ніж платформ, і 8 менше, ніж вагонів. Який довжини поїзд, якщо кожна цистерна, вагон і платформа мають довжину 25 м?

3. Заасфальтували на 30 км більше, ніж залишилося. Скільки відсотків дороги покрито асфальтом?

З першого погляду зрозуміло, що завдання 1 неспроможна мати, тому що бракує даних. Проте досліджуємо ситуацію глибше. Пригадаємо нерівність трикутника і запишемо її даного трикутника, позначивши невідому бік через а.

Получим:

10 + 8 > a; a + 10 > 8; a + 8 > 10; та якщо з цією системою слід, что.

Отже, ми змогли уточнити відповідь фразою «завдання неможливо вирішити «до цілком певного інтервалу, що треба визнати відповіддю вищого уровня.

І на другий завданню напрошується висновок, що жоден відповідь там неможливий, оскільки даних бракує. Але у уважнішому аналізі умови виявляється, що ні будь-яке число може й у відповідь. Наприклад, неможливі відповіді 333 метрів і 250 м, хоч і з різних причин. Перше неможливо, оскільки відповідь може бути кратним 25 м. А друге неможливо, т.к. загальна кількість тягових одиниць може бути рівним десяти. Скільки цих одиниць там може быть?

Якщо поїзді x цистерн, то платформ х+4, а вагонів х+8. Разом: 3х+12. Отже, всіх тягових одиниць незгірш від п’ятнадцяти, а можливий відповідь: 25(3х+12) м, де x — натуральне число. Над «дизайном «відповіді можна попрацювати, якщо переписати його так: 75(х+4). Нині ж, переобозначив буквою x (або інший) кількість платформ, одержимо найкоротший варіант відповіді: 75х м, де x — натуральне число, одна з пяти.

Хай там як, а таке розв’язання потребує вищого рівня розумової діяльності, ніж примітивне «Завдання немає рішення, тому що даних бракує «. І, зрозуміло, що зазначеного рішення від школярів відразу не одержиш, що підтвердили перші проби зі стапроцентным результатом.

Третя із зазначених тут завдань пропонувалася дев’ятикласникам ліцею. Результат хоча б: «Завдання не вирішується… ». Тільки додаткова прохання назвати кілька можливих відповідей підштовхнула ліцеїстів до аналізові досягнень і в результаті розширення зрештою вивела навіть відповіді, близька до правильному: x%, де х ((50;100].

Висновок: рішення невизначеної завдання зазвичай закінчується неопределённым відповіддю, у якому бажана величина може приймати значення з якогось числового безлічі. Виявлення цього числа й має стати метою вирішення такого завдання, яка досягається вдумливим аналізом тексту завдання й взаємозв'язків між даними величинами. Цьому корисного для розумового розвитку учнів процесу потрібно спеціально обучать.

Завдання цього вимагає від учня мобілізації практично всього набору знань, вміння аналізувати умова, будувати математичну модель рішення, знаходити дані до завданню «між рядків «умови. Практично, однієї спеціально підібраною завданням цього можна перевірити знання учня по цілої темі. Як такого прикладу так можна трактувати завдання: При яких значеннях позитивного параметра a рівняння logax=ax матиме єдине рішення і зазначити його. Це було запропонована нашої групі (група «А» IV курсу физико-математического Могилёвского університету, 1997 рік) під час занять по дидактиці математики для самостійного рішення, що допомогло студентам групи відчутно й поглибити знання з широким спектром шкільного курсу алгебри і почав анализа.

Взагалі, рівняння й інші завдання з параметрами так можна трактувати як окремі випадки невизначених завдань. Проблемність початку таким завданням відчувають вчителя вже за часів переході від рівнянь 7х=12, 0х=3, -5х=0, 0х=0 до лінійному рівнянню загального виду: ах=b. Попередня тренування в рішенні невизначених завдань і була б доцільною і полезной.

2. Завдання переопределённые — завдання з надмірною складом умови, з зайвими даними, без яких відповідь можна отримати, проте вони у тому чи тією мірою маскують шлях решения.

Як показано вище, дані в завданнях може бути суперечливими і виявлення цієї суперечливості чи несуперечливості є елементом розв’язання цієї задачи.

Наприклад, в завданню «Знайти площа прямокутного трикутника з катетами 9 див і 40 див і гипотенузой 41 див «мало знайти відповіді полупроизведением 9 на 40. Треба ще виявити, чи буде в прямокутного трикутника з катетами 9 див і 40 див гіпотенуза рівної 41 див. Без цього з’ясування вирішення завдання може бути визнано полным.

У цьому вся аспекті цікаві практичні завдання. Наприклад, при вивченні першої формули площі трикутника вчитель приносить до класу вирізаний з паперу трикутник з проведеними висотами й уряд пропонує одного з учнів виміряти довжину какой-либо боку, потім другому учневі довжину інша сторона, третьому — третьої, ще троє вимірюють висоти, кожен за однією. Результати вимірів записуються на дошці. Тепер вчитель пропонує обчислити площа цього трикутника. Питання, яка висота до який боці проведена, вчитель переадресує учням, які вимірювали, а ті, природно, не пам’ятають, оскільки фіксували у цьому уваги. Виникає цікава проблема, котра у результаті усе ж таки дозволяється, виходячи речей, що загальна площа однієї й тієї ж трикутника неспроможна мати різних значень. Тому найбільша висота слід провести до самої маленькій боці, а найменша до найбільшої. Тепер площа трикутника можна вираховуватимуть трьома способами, але результат, як виявилося, виходить зовсім однаковим. З’являється причина поговорити про сутності вимірів, про їхнє обов’язкової неточності, якість приближённых вимірів, про особливості обчислень з приближёнными числами та інших відповідних питаннях. І елементарна завдання застосування примітивною формули наповнюється багатим содержанием.

Завдання цього вимагає від учня вміння аналізувати умова, знаходити у своєму ньому потрібні дані і відкидати непотрібні. До того ж, «непотрібними «у різних учнів здатні бути різні величини. Наприклад, в завданню «Знайти площа прямокутника по боці, діагоналі і розі між діагоналями «одні учні шукатимуть відповідь половиною твори діагоналей на синус кута з-поміж них (цим сторона виявляється зайвою даним), інші отримають відповідь твором сторін, попередньо зрозумівши другу бік по теоремі Піфагора (тут кут виявляється зайвою даним). Можливий та третій варіант, коли зайвим даним стане діагональ. Використання кількох варіантів розв’язання такого завдання корисно як їхнього порівняння, але більше для самоконтролю: однаковість відповідей в різних рішеннях підвищує упевненість у їх правильності. Звідси можна одержати й одне із надійних способів самоконтролю у вирішенні традиційних завдань: після відповіді вставити цей відповідь до тексту завдання як одна з даних, а жодну з відомих величин вважати невідомою і вирішити отриману нову задачу.

3. Нереальні (чи суперечливі) завдання зазвичай належать до окремому типу, хоча, як зазначалося, вони є складовою частиною переопределённых (іноді певних) задач.

Приклад: Знайти площа трикутника зі сторонами 10 див, 19 див и8 см.

Зовсім необов’язково вирішувати наведену завдання, аби зрозуміти, що вона немає рішення. Варто лише перевірити умова на суперечливість при допомоги нерівності трикутника й переконатися, що завдання може мати решения.

Можна було би вирішити цю завдання, використовуючи формулу Герона, однак і тоді зрештою було б отримано суперечливий результат (подкоренное вираз сталося б отрицательным).

Для завдань властиве те, що може мати досить гарне рішення, як це було з приведённой вище завданням на переливання рідини, але це рішення суперечитиме здоровому змісту. За позитивного рішення завдань потрібно завжди наприкінці повертатися до умові і робити перевірку отриманого рішення. Позаяк суперечливість завдання який завжди впадає правді в очі, це привчить виконувати перевірку отриманого відповіді у кожному завданню. Деякі із завдань цього дозволяють виявити протиріччя даних іще за аналізі умови, у результаті процес розв’язування стає зайвим. Досить часте повторення таких ситуацій приведе учнів до потреби аналізувати умова перед початком рішення, щоб себе від щодалі зайвої работы.

Отже, ми з’ясували, що з зазначених типів завдань несе у собі певну розвиваючу функцію. Так, переопределённые завдання вимагають вміння аналізувати умова і будувати вирішення завдання з допомогою мінімального числа даних. Суперечливі завдання змушують робити перевірку рішення, уважніше аналізувати ці завдання. Невизначені завдання вимагають досить великих знань об'єкт завдання, зв’язки його з іншими математичними об'єктами, які можуть бути корисними при отриманні нехай невизначеного, та все ж обмеженого якимись рамками ответа.

Відомо (див., наприклад, книжки Д. Пойа), що рішення математичної завдання передбачає реалізацію чотирьох етапів: вивчення тексту завдання, складання плану рішення, його виконання, вивчення отриманого рішення («погляд тому »). Для успішного формування в школярів умінь, що з реалізацією тієї чи іншої виду діяльності, необхідно навчати самостійно виконувати кожен із зазначених етапів процесу вирішення завдань. І тому доцільно вчити учнів операціям, відповідним визначеному етапу роботи завдання. Зазначені вище типи завдань й дозволяють учневі вдосконалити свої вміння у кожному з наведених даних видів деятельности.

III. Прикидка методичного підходи до навчання рішенню «аномальних» задач.

Які ж навчити учнів виконувати завдання зазначених типів? Як привчити їх до «нестандартного «[1] підходу до вирішення задачи?

Основою відповіді поставлене запитання вважатимуться відому таблицю Д. Пойа «Як вирішувати проблему «[16, з. 210−212]. Серед основних питань, з яких слід замислюватися решателю, Д. Пойа виділяє следующие:

Чи можливо задовольнити умові? Чи достатньо умова для визначення невідомого? Або недостатньо? Або надмірно? Або противоречиво?..

Збережіть тільки п’яту частину умови, відкинувши решту: наскільки певним виявиться тоді невідоме? Як він зможе меняться?..

Чи все дані вами використані? Чи все умови? Чи прийнято у увагу всі істотні поняття, які у задаче?..

Чи не можна перевірити результат? Чи не можна перевірити хід решения?..

Перераховані вище і питання поради з таблиці Д. Пойа є малопопулярными або зовсім непопулярними у шкільних вчителів. Хоча начебто оскільки перша частину цих запитань і непотрібен щодо традиційних шкільних завдань. А, щоб таблиця Д. Пойа заробила повною мірою, і виникла потреба доповнити шкільні набори завдань завданнями невизначеними і переопределёнными.

Спробуємо осмислити можливий методичний підхід до навчання учнів рішенню таких задач.

Почнемо сіло, що обережне включення завдань можливо вже у 5−6 класах і навіть раніше [24, з. ]. Починати, як здається, варто з запровадження завдань переопределённых, попереджаючи на початковому етапі учнів про наявність надлишкових даних, і пропонуючи знайти такі дані, поступово переходячи від завдань простих до таких завданням, у яких надлишкові дані не відразу впадають правді в очі. Коли учні набудуть деякі навички вирішення цих завдань, можна можливість перейти до запровадження завдань вже без попередження наявності надлишкових даних, чергуючи ці завдання з традиційними певними завданнями. Отже, не знаючи, чи є в умови завдання зайве дане чи ні, але підозрюючи, що може бути, учні до кожного завдання підходитимуть критично, що викликає велику, ніж у традиційних умовах, необхідність уважного аналізу умови завдання й різних підходів до її решению.

На певному етапі переопределённые завдання, запропоновані учням, можуть бути суперечливими. Використання завдань поступово привчить їх до того що, що виявлена умови зайве дане годі було ігнорувати, однак слід перевіряти його за суперечливість (у своїй, як ми вважаємо, частіше треба орієнтуватися на обчислення з приближёнными величинами, ніж із точними). З іншого боку, використання завдань із суперечливими даними дозволить учням помітити (не без допомоги вчителя) корисність вдумливого аналізу умови, у результаті якого можна виявити суперечливість і тим самим не шукати рішення, тобто. полегшити собі роботу. Позаяк будь-коли ясно, чи є розбіжність у умови завдання, чи немає, то вдумливому аналізу буде умови для всіх завдань, що можна вважати надзвичайно корисним якістю решателя задач.

Коли переопределённые завдання стануть звичними ні викликати в учнів настороженості й протесту, можна можливість перейти до рішенню невизначених завдань, знову ж таки спочатку попереджаючи учнів у тому, що у умови завдання деяких даних бракує, і пропонуючи їм вказати, яких. У цьому корисно порівнювати, як залежить відповідь завдання від різних доповнень учнів — із можливим, але що обов’язковим, виходом на діапазон цього відповіді. Бо метою вирішення цих завдань, як вже зазначалося, і є вказівку діапазону можливих станів ответа.

Ми спробували розробити систему завдань із використанням всіх завдань аналізованої класифікації на одній із тим шкільного курсу геометрии.

Критерії створення такої системи завдань розглядаються в [19]. Автор пише :

" Послідовне, поступово ускладнюється варіювання умови завдань є основним принципом, визначальним побудова вправ при навчанні рішенню типових завдань. Спочатку — на початкових етапах самостійного рішення нової для учня типовий завдання (по тому, як вона розібрана у п’ятому класі) — варіювання умови стосується самих несуттєвих його сторін, безпосередньо які впливають застосування основного прийому рішення, саме сюжету завдання й числових величин. Наступне варіювання умови завдання має своєю метою й не так закріплення у пам’яті учнів тієї чи іншої типового прийому (це теж потрібно), скільки вироблення вміння розпізнавати за різної зовнішньої формою завдання її однакову логічний структуру. Аналізуючи цей етап велике значення набуває вирішення завдань такого типу аналогічних по логічного структурі, але изменённых по словесної формулюванні. У цьому зміна формулювання повинно стосуватися тієї частини умови, яка є для вибору прийому решения.

Вирішуючи систему завдань, побудовану за цим принципом, учні привчаються вловлювати найсуттєвіше в умови завдань, правильно абстрагуючись від зовнішніх сторін — своєрідності їх формулировок.

На наступний етап доцільно вводити до умов завдань додаткові елементи, збільшуючи кількість числових даних. Дослідження свідчать, у цьому разі, як і раніше, що додаткових даних неможливо впливає використання основного прийому рішення, учнів усе ж таки створюється нова ситуація, потребує від нього вміння вичленувати ті частини умови, що визначає застосування типового прийому й під час дій під час вирішення завдання знайти йому правильне место.

Це ж слід відзначити й про застосування завдань переопределённых, коректних, але викликають протиріччя під час вирішення. Ефект від уведення цих завдань годі недооцінювати, їх ціль десь у системі завдань — виклик ситуації, при якої завдання має розв’язання при начебто існуючому насправді математичному (записываемом у вигляді математичного мови) решении.

Надалі вже можна вдаватися до такого варьированию умов завдання, що потребує видозміни самого типового прийому. Такі варіювання сприяє виробленні складніших умінь, значення яких на формування самостійного мислення учнів дуже велике. Йдеться у випадках про створення умінь перебудовувати відомі засоби рішення на відповідність до зміною умов завдання. Успіх цієї перебудови безпосередньо залежить від цього, якою мірою учні вміють аналізувати завдання, вловлюючи це й подібне різне. «[19, з. ].

І, нарешті, останнє видозміну умови завдання — складати умова в такий спосіб, щоб деяких даних у яких бракувало. З урахуванням попереднього досвіду учнів у вирішенні завдань, цей тип завдань, во-первых, для них кілька складним; і новим, во-вторых, вирішуючи завдання такого типу, учні наочнішим виявиться усвідомлюють приховані властивості об'єкта завдання, усвідомлюють детальніше динамічні співвідношень між поняттями і чи визначеннями, застосовуваними під час вирішення даної задачи.

IV. Розширена система завдань із темі «Сума кутів треугольника».

Відповідно до вищесказаним пропонується до розгляду система завдань із темі «Сума кутів трикутника «(геометрія, 7 клас). Тема ця не громіздка, досить чітка і багато насичена різноманітних задачными ситуациями.

Для складання необхідної системи завдань виділили 5 основних аспектів даної темы:

. безпосереднє використання зазначеного властивості кутів в довільному треугольнике;

. те — для рівнобедреного треугольника;

. те — для прямокутного треугольника;

. те — для кутів, освічених всередині трикутника медианами, биссектрисами, висотами і др.;

. те — із виходом зовнішні кути треугольника.

I. Застосування властивості кутів для довільного треугольника.

1. Два кута трикутника рівні 26(і 118(. Знайти величину третього кута треугольника.

2. Два кута трикутника рівні 118(і 62(. Знайти величину третього угла.

3. Знайти кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 3, 4, 5.

4. У трикутнику ABC кут A дорівнює 24(, кут З вдвічі більше угла.

B. Знайти невідомі кути треугольника.

5. Знайти кути трикутника, якщо з його кутів дорівнює сумі двох інших, а через два менших кута ставляться, як 2:3.

6. Знайти попарные відносини кутів трикутника, якщо з них равен.

36(, а другий — 84(. (Завдання має 6 ответов).

7. У трикутнику ABC кут A дорівнює 30(, кут B дорівнює 70(, і двоє кута ставляться, як 7:8. Знайти кути трикутника ABC.

8. У трикутнику ABC кут A дорівнює 30(, кут B дорівнює 70(, і двоє кута ставляться, як 4:7. Знайти кути трикутника ABC.

9. У трикутнику ABC кут A дорівнює 30(і кути ставляться, як 1:1:4.

Знайти кути трикутника ABC.

10. У трикутнику ABC кут, А дорівнює 30(, і кути ставляться як 1:2:6.

Знайти кути трикутника ABC.

11. У трикутнику АВС кут, А дорівнює 70(, і двоє кута ставляться як 5:6.

Знайти кути трикутника АВС.

Перше завдання традиційна з цією теми. Але інша вже змушує обдумати можливих межах відповідей в задачах.

Шоста завдання виводить вимушені варіативних міркувань, що ж підказка в дужках, цим готує учнів до варіативним міркуванням у наступному завданню. Аби вирішити завдання 7 учень повинен спочатку замислитися про ставлення яких саме кутів йдеться? Деякі з цих варіантів будуть відкинуті як суперечливі, але з відразу, а після необхідних обчислень. Щоб відповісти залишиться лише їх. У задачі ж 8 жодного з розглянутих варіантів не виведе навіть відповіді. Аналогічні міркування знадобляться під час вирішення завдань 8−11.

II. Застосування властивості кутів для рівнобедреного треугольника.

1. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо кут за його вершині дорівнює 28(.

2. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо кут за його підставі дорівнює 28(.

3. Чи може рівнобедрений трикутник мати кути величиною 55(і 70 (?

24(і 62(?

4. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо з них равен.

100(.

5. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо два його кута відповідно рівні: а) 55(і 70(; б) 40(і 110(; в $ 20(і 20(; г).

60(і 60(.

6. Чи може бісектриса, медіана чи висота трикутника розбивати його за два рівносторонніх треугольника?

7. Знайти кути рівнобедреного трикутника, яка має висота, проведена до підставі, розбиває його за 2 трикутника отже співвідношення гострих кутів кожного з отриманих трикутників равно.

1:2.

8. Довести, що рівнобедрений трикутник з кутом 60(є равносторонним.

9. Якими може бути кути рівнобедреного трикутника, якщо бісектриса однієї з кутів розбиває трикутник на два равнобедренных треугольника.

10. Довести, що й будь-які дві биссектрисы трикутника, перетинаючись, утворюють зі сторонами равнобедренные трикутники, то даний трикутник равносторонний.

11. Довести, що відтинки висот рівностороннього трикутника утворюють зі сторонами цього трикутника 3 равнобедренных треугольника.

Останні двоє завдань цього розділу — звичні завдання шкільного підручника. Але вирішувати завдання учні не люблять саме оскільки тут потрібно виконати перебір всіх можливих варіантів, чого не дуже підготовлені. Тому попередні завдання у більшої своєї частини й містять необхідність виконання перебору варіантів, що, як представляється, це має підготувати учнів до вирішення двох останніх задач.

III. Застосування властивості кутів для прямокутного треугольника.

1. Одне з кутів прямокутного трикутника дорівнює 73(. Знайти іншій — його гострий угол.

2. У прямокутному трикутнику один кут дорівнює 65(. Знайти величини інших углов.

3. Одне з гострих кутів прямокутного трикутника вп’ятеро більше від іншого. Знайти ці углы.

4. Знайти гострі кути прямокутного трикутника. якщо з них на.

32(більше другого.

5. Гострі кути прямокутного трикутника пропорційні числам 5 и.

7. Знайти ці углы.

6. Різниця гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 15(. Знайти ці углы.

7. Знайти кути прямокутного трикутника. якщо з них же в 5 разів більше другого.

8. Знайти кути прямокутного трикутника, якщо з них як на 32(більше другого.

9. Знайти кути прямокутного трикутника, якщо з них же в 3 рази менше другого.

10. Кути трикутника пропорційні числам Х, 8 і десяти. Яким то, можливо число Х, якщо трикутник прямоугольный?

11. Два кута прямокутного трикутника пропорційні числам 2 і 3.

Знайти кути треугольника.

12. Чи можна знайти ставлення сторін прямокутного трикутника (хоча б деяких), якщо відомо, що з його кутів вдвічі більше другого?

Перші шість завдань цього розділу традиційні. П’ять наступних (від сьомий до одинадцятої) зовні нагадують за перших шість, але містять одну невизначеність, істотно впливає на характер рішення: вже не йде про гострих кутках і тому до порушених в умови кутів доведеться тепер відносити і прямий кут. Отже, завдання отримає кілька можливих відповідей. Останнє завдання може бути розв’язано нелегку для повному вигляді до вивчення теореми Піфагора, у сьомому класі можливе лише її часткове рішення: або рівнобедрений прямокутний трикутник з ставленням катетів 1:1, або прямокутний трикутник з кутом 30(, де ставлення катета до гіпотенузі одно 1:2.

IV. Застосування властивості кутів в трикутнику з додатковими построениями.

1. У трикутнику АВС биссектрисы кутів Проте й У перетинаються у точці К.

Знайти величину кута АКВ, якщо (А=50(, (В=100(.

2. У равнобедренном трикутнику кут дорівнює 68(. Під яким кутом перетинаються биссектрисы двох інших углов?

3. Під яким кутом перетинаються биссектрисы рівностороннього трикутника? висоти рівностороннього треугольника?

4. Трикутник має кути 36(і 74(. Під яким кутом перетинаються висоти, проведені з вершин цих кутів? Під яким кутом перетинаються биссектрисы цих углов?

5. У трикутнику АВС (АВ=ВС) проведена бісектриса РМ. Знайти кути трикутника АВС, якщо величина кута АМС дорівнює 120(.

6. У трикутнику АВС (А=40(, (С=70(, биссектрисы кутів Проте й З перетинаються у точці До, (АКС=125(. Знайти (В.

7. У трикутнику АВС (А=30(, (С=80(, биссектрисы кутів Проте й У перетинаються у точці До, (АКВ=135(. Знайти кут В.

8. Під яким кутом перетинаються нерівні биссектрисы рівнобедреного трикутника, одне із кутів якого 96(? 90(? 86(?

9. У равнобедренном трикутнику АВС проведена бісектриса ГАМ. Знайти кути трикутника АВС, якщо (АМС=64(.

10. Биссектрисы кутів Проте й У трикутника АВС перетинаються у точці К.

Знайти величину кута АКВ, якщо величина кута АСВ дорівнює 170(.

11. Знайти величину кута трикутника. якщо биссектрисы двох інших кутів перетинаються з точки 100(.

12. У якій трикутнику биссектрисы перетинаються під прямим углом?

13. У трикутнику АВС биссектрисы кутів Проте й У перетинаються у точці К.

(BАC=70(. Знайти кут АКВ.

У завданнях цього розділу також заплановано перехід від традиційних завдань до завдань, які вимагають аналізу умови й розгляду різних вариантов.

V. Завдання з зовнішніми кутами треугольника.

1. Зовнішній кут трикутника дорівнює 130(, одне із не суміжних з нею внутрішніх 70(. Знайти кути треугольника.

2. Кути трикутника рівні 47(, 69(і 64(. Знайти зовнішні кути треугольника.

3. Зовнішній кут трикутника дорівнює 130(, а через два внутрішніх 60(і 70(.

Знайти кути треугольника.

4. Зовнішній кут трикутника дорівнює 130(, а через два внутрішніх — 30(і 60(.

Знайти кути треугольника.

5. Одне з внутрішніх кутів прямокутного трикутника дорівнює 47(, та якщо з зовнішніх — 137(. Знайти величини інших внутрішніх углов.

6. У прямокутному трикутнику внутрішній кут дорівнює 47(, внешний.

133(. Знайти величини інших внутрішніх углов.

7. У прямокутному трикутнику внутрішній кут дорівнює 47(, внешний.

143(. Знайти величини інших внутрішніх углов.

8. Знайти кути рівнобедреного трикутника. якщо з його зовнішніх кутів дорівнює 30(.

9. Одне з зовнішніх кутів прямокутного трикутника дорівнює 107(. Знайти його внутрішні углы.

10. Одне з зовнішніх кутів трикутника дорівнює 130(, та якщо з внутренних.

— 46(. Знайти інші внутрішні і його зовнішні кути треугольника.

11. Одне з зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 96(. Знайти внутрішні кути треугольника.

12. Сума зовнішніх кутів з вершинами Проте й У дорівнює 186(. Знайти величину кута З трикутника АВС.

13. Сума двох зовнішніх кутів з вершинами Проте й У дорівнює 172(. Знайти величину кута З трикутника АВС.

14. Зовнішній кут прямокутного трикутника усемеро більше внутрішнього з тією ж вершиною. Знайти кути треугольника.

15. Зовнішній кут прямокутного трикутника вчетверо більше внутрішнього. Знайти кути треугольника.

16. Знайти суму зовнішніх кутів прямокутного трикутника (за одним за будь-якої вершине).

17. Різниця двох зовнішніх кутів трикутника дорівнює третьому зовнішньому розі. Знайти внутрішні кути треугольника.

18. Знайти ставлення зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника, якщо ставлення до його внутрішніх кутів 2:5.

19. Під яким кутом перетинаються дві прямі, якщо перетині їх третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 215(?

20. Одне з кутів трикутника в 3 рази більше іншого, а різницю зовнішніх кутів за цих вершинах дорівнює 80(. Знайти кути треугольника.

21. Одне з кутів трикутника вдвічі більше від іншого, а різницю зовнішніх кутів за цих вершинах дорівнює 80(. Знайти кути треугольника.

22. Зовнішні кути трикутника пропорційні числам 3, 7, 8. Яким числам пропорційні його внутрішні углы?

23. Прямі a і b перетинаються з точки 85(. Пряма з перетинає a і b отже різницю внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 75(.

Визначити вид отриманого треугольника.

24. Прямі a і b перетинаються з точки 75(. Пряма з перетинає a і b отже різницю внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 85(.

Визначити вид отриманого треугольника.

25. Визначити, під кутом перетинаються прямі з і d, якщо пряма, а перетинає так, сума внутрішніх односторонніх кутів равна.

54(.

26. Прямі k і l перетинаються з точки 33(. Пряма р перетинає так, що з внутрішніх односторонніх кутів вдвічі більше другого.

Знайти кути трикутника, освіченого цими прямыми.

27. Прямі a і b перетинаються з точки 40(. Пряма р перетинає так, що у получившемся трикутнику кути ставляться, як 1:7:28. Знайти кути трикутника, освіченого цими прямыми.

28. Під яким кутом перетинаються прямі з і d, якщо пряма, а перетинає так, що різницю внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 90(.

З завдань цього розділу зупинимося на шести останніх завданнях. Можливі тут варіанти з’являються досить несподівано учнів. Наприклад, в завданню 23 для побудови прямий з можливі дві ситуації (див. рисунки):

[pic] [pic] |І тут маємо: |Можливо ще й таке розміщення | |85(+х (+х (+75(=180(|прямих. | |Тут отримуємо: |180(-85(+х (+х (+75(=180(| |х=10(. |х=5(. |.

Завдання має дві відповіді: 10(і 5(.

У задачі 24 також можливі два варіанта побудови прямих а, b і з (див. рисунки):

[pic] [pic] |У разі маємо: |Для такого розміщення: | |75(+х (+х (+85(=180(. |180(-75(+х (+х (+85(=180(. | |Звідси: |Звідси: | |х=10(. |х=-5(, чого може бути. |.

Як кажуть, перестановка в умови завдання двох числових даних (75(і 85() призводить до того, що відповідальна виходить можливим лише одне значення: х=10(.

Зовсім необов’язково пропонувати ці завдання всім учням. Учням з переважної оцінкою «3 «багато завдань з другої частини кожного розділу недоступні і необов’язкові. У той самий час для відмінно успішних учнів деякі найперші завдання дуже прості та тому їх можна пропускати. З запропонованого переліку можна назвати набір завдань, мінімально необхідний оцінки «3 », потім — набір завдань, мінімально необхідний оцінки «4 », нарешті - набір завдань, мінімально необхідний оцінки «5 «(перший, другий і третій рівні освоєння зазначеної теми). Певне, можна назвати завдання від цього переліку, що перевищує та третій рівень, тобто. є обов’язковими (але дуже бажаними) щоб одержати оцінки «5 » .

Так, завдання першого рівня складності розраховані на пряме застосування деякого алгоритмічного правила, і навіть застосування цього правила з невеликими варіаціями. Завдання цього рівня не в представляють складності для більшості учнів, тому що подібних цим завдань досить багато вирішується під час уроків. Завдання невизначені не рекомендуються, а завдання переопределённые допускаються у разі нескладного виявлення надлишкових даних (про наявність які у вона найчастіше слід предупреждать).

Завдання другого рівня складності можуть мати такі відмітні черты:

. умова завдання надлишково, але з містить протиріччя, та завдання вирішується однозначно. Аби вирішити завдань цього необхідно із усіх даних завдання вибрати необхідні, і застосувати их.

. умова завдання містить протиріччя (склад умови завдання може бути як повним, і избыточным).

. умова завдання зовсім позбавлений ніяких з розглянутих нюансів з цими (склад умови повний), але, порівняно з завданнями першого рівня прийом, застосовуваний на вирішення, складніший (правило застосовується не «прямо »).

Завдання третього рівня складності відрізняються ще більшою розмаїтістю. Аби вирішити завдань цього рівня від учнів потрібні і більший обсяг знань (під час вирішення завдання доводиться використовувати комбінацію прийомів і навиків, вивчених раніше), та наявність досвіду варіативних міркувань, якого нинішнім учням значною мірою бракує. Завдання цього рівня на додачу до складності прийомів рішення може мати в умови невизначеність, що зумовлює неопределённому ответу.

Також стоїть окремо сказати кілька слів про завданнях, котрі за свою складність стоять вище завдань третього рівня. Ці завдання мають у своєму своєму умови невизначеність, але це невизначеність передбачає у вирішенні завдання безліч відповідей. Найчастіше такий висновок завдання лякає учня і він каже, що завдання має шляхів владнання, бо ні вистачає даних, хоча можна було б провести вирішення цього завдання і отримати досить конкретний результат.

Заключение

.

Підсумовуючи виконану роботу, відзначимо следующее.

Про доцільність запровадження невизначених і переопределённых завдань в шкільний курс навчання переконливо сказано авторитетними методистами, фахівцями у сфері математичної освіти у. Інерційна школа поки не враховує цієї доцільності, але зрушення у зазначеному напрямі вже есть.

Безперечно і те, що доповнення традиційних шкільних наборів завдань завданнями невизначеними і переопределёнными (у роботі використано узагальнюючий термін обох видів завдань — завдання з «аномальним» умовою чи навіть «аномальні» завдання) викликає необхідність особливих методичних підходів до навчання рішенню завдань, підходів, які розширюють можливості які у рішенні завдань взагалі, поглиблювальних і усовершенствующих їх навички пошуку рішення суду будь-якої завдання, й у результаті розвивають їх мислення. Спроби усвідомлення таких підходів вжито у цій роботі. В одному із прикладів показаний можливий варіант розширення традиційного задачника, його доповнення завданнями з «аномальним» условием.

Зрозуміло, робота неспроможна на повноту і завершённость, оскільки порушена проблема досить глубинна і объёмна і вимагає не один рік копіткої роботи одного человека.

Проте автор сподівається, що тільки невеличкий крок у потрібному напрямі їм сделан.

За матеріалами цього дослідження підготовлена (у співавторстві) стаття, опублікована у журналі «Матэматыка: праблемы выкладання» № 2 за 1999 год.

Список використаної литературы:

1. Атанасян К. С. та інших. Геометрія. Підручник для 7−9 класів середньої школи. — М.: Просвітництво, 1990. 2. Буловацкий М. П. Урізноманітнити види завдань // Математика у шкільництві. — 1988. — № 5, з. 3. Булавацкі М., Макавецкі І. Аб завданнях, якіх няма ў шкільних падручніках // Матэматыка: праблемы выкладання. — 1999. — № 2, з. 59 — 64. 4. Дегтянникова І.Н. Гострокутий чи тупоугольный // Математика у шкільництві. — 1998. — № 5, з. 43. 5. Ігнатенка В. З. Сюрпризи биссектрисы // Математика у шкільництві. — 1998. — № 5, із 42-го. 6. Каплан Б. С. Методи навчання математиці. — Мінськ: Народна асвета, 1981. 7. Колмогоров А. М. Математика (наука і професія. — М.: Наука, 1988. 8. Крупич В.І. Структура і логіка процесу навчання математиці у неповній середній школі. 9. Крутецкий В. А. Психологія математичних здібностей школярів. — М.: Просвітництво, 1968. 10. Леонтьєв О. Н. Проблеми розвитку психіки. — М.: Видавництво МДУ, 1962. 11. Математичне освіту: сучасний стан та перспективи (до 80-летию від народження професора А.А.Столяра): Тези доповідей міжнародній конференції. — Могилёв: МДУ їм. А. А. Кулешова, 1999. 12. Матюшкин А. М. Проблемні ситуації у мисленні і навчанні. — М.: Педагогіка, 1975. 13. Махмутов М. И. Проблемне навчання. — М.: Педагогіка, 1975. 14. Метельский М .У. Дидактика математики. Загальна методику та її проблеми. — Мінськ: Видавництво БДУ, 1982. 15. Погорєлов А.В. Геометрія 7−11. — М.: Просвітництво, 1998. 16. Пойа Д. Як вирішувати проблему. — Львів, 1991. 17. Пойа Д. Математичне відкриття. — М.: Наука, 1976. 18. Рогановский М. М. Геометрія 7−9. — Мн.: Народна асвета, 1997. 19. Самарін О. А. Нариси психології розуму. Особливості розумової діяльності школярів. — М.: Видавництво АПН, 1972. 20. Столяр А. А. Педагогіка математики. — Мінськ: Вышэйшая школа, 1986. 21. Столяр А. А. Як математика розум до ладу приходить. — Мінськ: Вышэйшая школа, 1991. 22. Фрідман Л. Психолого-педагогические основи навчання математиці у шкільництві: — М.: Просвітництво, 1983. 23. Фрідман Л. Турецький О. Н. Як навчитися виконувати завдання: — М.: Просвітництво, 1989. 24. Эрдниев П. М. Викладання математики школі - М.: Просвітництво, 1978. 25. Эсаулов А. Ф. Проблеми вирішення завдань у науці й техніці. — Л.: Видавництво Ленінградського, 1979.

року міністерство освіти Республіки Беларусь.

Могильовський державний університет ім. А. Кулешова кафедра методик викладання математики.

Дипломна работа.

«Невизначені і переопределённые задачи.

(використання завдань із «аномальним» умовою у процесі навчання математиці)" студента групи «А» V курсу физико-математического факультета.

Маковецького Іллі Івановича | | | | |Науковий керівник: | | |Войтович Ф.С., | | |старшого викладача кафедри методики | | |викладання математики |.

Могилёв 1999.

———————————- [1] Слово «нестандартний «взято нами в лапки, оскільки ми вважаємо, що відповідний підхід вирішення завдань має стати стандартом кожному за ученика.