История відкриття комплексних чисел

[pic][pic].

«Крім і навіть проти волі одного чи іншого математика, удавані числа знову і знову на викладеннях, й лише поступово тоді як можна знайти користь від своїх вживання, вони мають більш та ширше поширення» Ф. Клейн. Автор: Соловйов Олексій 12а. [pic].

ревнегреческие математики вважали «справжніми» лише натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченності безлічі натуральних чисел. У III столітті Архімед розробив систему позначення до такого величезного як [pic]. Поруч із натуральними числами застосовували дробу — числа, що складаються з цілого числа часткою одиниці. У практичних розрахунках дробу застосовувалися понад дві тисячі років до зв. е. у старовинному Єгипті та древньому Вавилоні. Тривалий час вважали, що результати виміру завжди виражається або у вигляді натурального числа, або у вигляді відносини таких чисел, тобто дробу. Давньогрецький філософ і математик Піфагор вчив, що «…елементи чисел є елементами всіх речей і світ в чолом є гармонією і кількістю. Найсильніше удару цьому погляду був нанесений відкриттям, зробленою однією з піфагорійців. Він довів, що діагональ квадрата непорівнянна зі стороною. Звідси випливає, що натуральних чисел і дробів недостатньо, для здобуття права висловити довжину діагоналі квадрата зі стороною 1. Є підставу стверджувати, саме з цього відкриття починається ера теоретичної математики: відкрити існування несоизмеримых величин з допомогою досвіду, не вдаючись до абстрактному міркуванню, не міг. Наступним важливим етапом у розвитку поняття про кількість було введення негативних чисел — це було зроблено китайськими математиками протягом двох століття до зв. е. Негативні числа застосовували в III столітті давньогрецький математик Диофант, знав вже правила дії з них, а VII столітті ці числа вже детально проанатомували індійські вчені, які порівнювали такі числа з боргом. З допомогою негативних чисел можна було єдиним чином описувати зміни величин. Вже VIII столітті було встановлено, що квадратний корінь з позитивного числа має дві значення — позитивне і негативне, а із негативних чисел квадратний корінь видобувати не можна: немає такої числа [pic], щоб [pic]. У XVI столітті у зв’язки Польщі з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним видобувати квадратні коріння із негативних чисел. У формулі на вирішення кубічних рівнянь виду [pic] кубічні і квадратні коріння: [pic]. pic] Ця формула безвідмовно чи діє у разі, коли рівняння має один дійсний корінь ([pic]), і якщо він має три дійсних кореня ([pic]), то під знаком квадратного кореня чинився негативне число. Виходило, шлях до цих коріння веде через неможливу операцію вилучення квадратного кореня з негативного числа. Після тим, як було вирішено рівняння 4-го ступеня, математики посилено шукали формулу для рішення рівняння 5-ї ступеня. Але Руффини (Італія) межі XVIII і XIX століть довів, що літерне рівняння п’ятого ступеня [pic] не можна розв’язати алгебраїчно; точніше: не можна висловити його корінь через літерні величини a, b, з, d, e з допомогою шести алгебраїчних дій (складання, віднімання, множення, розподіл, спорудження до рівня, вилучення кореня). У 1830 року Галуа (Франція) довів, чого жодне загальне рівняння, ступінь якого більш ніж 4, не можна розв’язати алгебраїчно. Проте всяке рівняння енну кількість ступеня має (якщо розглядати і комплексні числа) n коренів (серед яких можуть і рівні). У цьому вся математики були переконані ще XVII столітті (виходячи з розборі численних приватних випадків), але межі XVIII і XIX століть згадана теорема була доведено Гауссом. Італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 р. запропонував запровадити числа нової природи. Він довів, що систему рівнянь [pic], яка має рішень у безлічі дійсних чисел, має розв’язання виду [pic], [pic], потрібно лише умовитися діяти над такими висловлюваннями з правилам звичайній алгебри і слід вважати що [pic]. Кардано називав такі величини «суто негативними» і навіть «софистически негативними», вважав їх марними і намагався їх вживати. У насправді, з допомогою таких чисел не можна висловити ні результат виміру який-небудь величини, ні зміна який-небудь величини. Але вже у 1572 року вийшов книга італійського алгебраиста Р. Бомбелли, де було встановлено перші правила арифметичних операцій над такими числами, до вилучення з них кубічних коренів. Назва «удавані числа» увів у 1637 року французький математик і філософ Р. Декарт, а 1777 року одна з найбільших математиків XVIII століття — Л. Эйлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginaire (вдаваний) для позначення числа [pic] (мнимої одиниці). Цей символ ввійшов у загальний ужиток завдяки До. Гауссу. Термін «комплексні числа» як і запроваджено Гауссом в 1831 року. Слово комплекс (від латинського complexus) означає зв’язок, поєднання, сукупність понять, предметів, явищ тощо. буд. Їхнім Виокремленням єдине ціле. Протягом XVII століття тривало обговорення арифметичній природи мнимих чисел, можливості обрати геометричне обгрунтування. Поступово розвивалася техніка операцій над вдаваними числами. На межі XVII і XVIII століть було побудовано загальна теорія коренів n-ых ступенів спочатку із негативних, а й за із будь-яких комплексних чисел, джерело якої в такої формули англійського математика А. Муавра (1707): [pic][pic]. З допомогою цієї формули можна була така ж вивести формули для косинусов і синусів кратних дуг. Л. Эйлер вивів в 1748 року чудову формулу: [pic], яка пов’язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. З допомогою формули Л. Эйлера можна було будувати число e на будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що [pic]. Можна знаходити sin і co від комплексних чисел, обраховувати логарифми таких чисел, тобто будувати теорію функцій комплексного змінного. Наприкінці XVIII століття французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз не ускладнюють удавані величини. З допомогою мнимих чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференційних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в опірної середовищі. Ще раніше швейцарський математик Я. Бернуллі застосовував комплексні числа на вирішення з дитинства інтегралів. Хоча у протягом XVIII століття з допомогою комплексних чисел було вирішено багато питання, зокрема і прикладні завдання, пов’язані з картографією, гидродинамикой тощо. буд., але ще був суворо логічного обгрунтування теорії цих чисел. У цій французький вчений П. Лаплас вважав, що результати, отримані з допомогою мнимих чисел, — лише наведення, приобретающее характер справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами. «Адже ніхто не сумнівається у точності результатів, одержуваних при обчисленнях з вдаваними кількостями, хоча вони є лише алгебраїчні форми ієрогліфи безглуздих кількостей» Л. Карно. Наприкінці XVIII століття, на початку ХІХ століття отримали геометричне тлумачення комплексних чисел. Датчанин До. Вессель, француз Ж. Арган і німець До. Гаусс незалежно друг від друга запропонували зобразити комплексне число [pic] точкою [pic] на координатної площині. Пізніше виявилося, що ще зручніше зображати число не самої точкою M, а вектором [pic], що йде в цю точку з початку координат. За такої тлумаченні складання і віднімання комплексних чисел відповідають ці самі операції над векторами. Вектор [pic] можна ставити як його координатами a і b, але як і довжиною r і кутом j, що він утворює з позитивним напрямом осі абсцис. При цьому [pic], [pic] і кількість z набирає вигляду [pic], що називається тригонометричної формою комплексного числа. Кількість r називають модулем комплексного числа z і позначають [pic]. Кількість [pic] називають аргументом z і позначають ArgZ. Зауважимо, що й [pic], значення ArgZ не визначено, а при [pic] воно визначено з точністю до кратного [pic]. Згадана раніше формула Эйлера дозволяє записати число z як [pic] (показова форма комплексного числа). Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато поняття, пов’язані з функцією комплексного змінного, розширило область їх застосування. Стало ясно, що комплексні числа корисні у багатьох питань, де мають працювати з величинами, які зображуються векторами [pic]на площині: при вивченні течії рідини, завдань теорії пружності. Після створення теорії комплексних чисел виникло питання про існуванні «гиперкомплексных» чисел — чисел з кількома «вдаваними» одиницями. Таку систему виду [pic], де [pic], побудував на 1843 року ірландський математик У. Гамільтон, назвавши його їх «кватернионами». Правила дії над кватернионами нагадує правила звичайній алгебри, проте їх множення не має здатність коммутативности (переместительности): наприклад, [pic], а [pic]. Гиперкомплексные числа є темою мого реферату, тож лише згадую про їхнє існування. Вагомий внесок у розвиток теорії функцій комплексного змінного внесли росіяни й радянські вчені М. І. Мусхелишвили займався її застосуваннями до пружності, М. У. Келдиш і М. А. Лаврентьєв — до аероі гідродинаміці, М. М. Богомолов і У. З. Владимиров — до проблем квантової теорії поля. Список використовуваної літератури: «Енциклопедичний словник юного математика» «Шкільний словник іноземних слів» «Довідник по елементарної математиці» М. Я Выгодский.