Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їхнього системи в шкільному курсі математики

3. Аналіз діючих підручників та тестів.

Порівняльна характеристика тем.

Останній годину тема «Показникова й логарифмічна функція» вивчається в середній школі за підручником под редакцією А. Н. Колмогорова. Наступного дня з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому. Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної тими в згаданих підручниках.

Тема: «Показникова функція». |Підручник под редакцією |Підручник под редакцією М.І.Шкіль, | |А.Н.Колмогорова «Алгебра й качани |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук | |аналізу у 10−11 кл.» |"Алгебра й качани аналізу у 10−11 | | |кл." | |(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. | |n.1.Степінь із ірраціональним |n.1. Означення й графік | |показником |показникової функції. | |Фіксують додатнє число, а й ставлять|Дається означення: Функція [pic], | |кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається | |Цим самим отримують числову функцію|показниковою (із основою а). | |[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції | |раціональних чисел. Зазначається, |починається із функції [pic], | |що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], | |так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки й | |раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається | |Будуються графіки функцій [pic] й |функція [pic]. Порівнюються графіки| |[pic] й порівнюються. Далі |функції [pic] й [pic]. З графікив | |описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. | |[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій | |а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) й [pic]([pic]). З | |описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості | |для [pic]. Крім цого вважають, що |функцій. | |[pic] для будь-якого [pic] й | | |[pic][pic]для [pic][pic][pic] | | |n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості | |функції. |показникової функції. | |Означення: Функція, задана формулою|D (y)=R | |[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] | |показниковою із основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]| |Формулюються основні властивості: | | |Область визначення множина R |Зазначені вище властивості | |дійсних чисел. |доводяться, розглядаються усі | |Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться | |додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. | |При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] й [pic] то [pic]. | |числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] й [pic], то якеб не було б| |спадає на множині R. |додатнє число N, існує, й доти ж| |При будь-яких дійсних значеннях x і|єдине, таке значення x, що [pic] | |у справедливі рівності | | | | | |[pic] | | |[pic]; | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic]. | | | |n.3. Властивості графіка | | |показникової функції. | | |Графік розміщений у верхній | | |півплощині, тобто там де ординати | | |додатні. | | |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, | | |перетинає графік й доти ж лише| | |в одній точці. | | |Крива проходити через точку (0;1), | | |тобто коли х=0, функція чисельно | | |дорівнює 1. | | |З двох точок графіка вище розміщена| | |та, Яка лежить правіше, тобто в | | |міру просування зліва на право він | | |піднімається вгору. | | |На графіку є точки, котрі лежати вище| | |будь-якої прямої, паралельної осі | | |0х. На графіку є точки, що лежати | | |нижче будь-якої прямої, проведеною | | |у верхнії півплощині паралельно осі| | |Х. | | |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х| | |й лежить у верхній півплощині, | | |перетинає графік, й при чому в | | |одній точці. | | |n.4.Приклади застосування | | |властивостей показникової функції. | | |У цьому пункті наводяться приклади | | |вправ на показникову функцію й | | |варіанти їхні розв’язування. | | |n.5. Використання показникової | | |функції под годину вивчення явищ | | |навколишнього середовища | | |Завдання про радіоактивний розпад. | | |Завдання про зміну атмосферного | | |тиску. | | |Завдання про розмноження бактерій. | | |Завдання про вакуумування. | | |Завдання про приріст деревини. | | |Всі запропоновані задачі наводяться| | |із розв’язанням. | | |n.6. Основні показникові | | |тотожності. | | |Для будь-яких дійсних значень x й у| | |справедливі рівності: | | |[pic] | | |[pic]; | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | |(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових | |рівнянь й нерівностей. |рівнянь й нерівностей. | |n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. | |Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в | |показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входити лише до | |[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих | |чи [pic] рівняння не має |засадах. Найпростішим рівнянням є | |розв'язків. |[pic] [pic] й [pic][pic]. Говорять,| |Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування | |проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. | |(спадає при [pic]) й набуває |Виділяють кілька типів показникових| |додатних значень. Застосувавши |рівнянь й наводять схеми (приклади)| |теорему про корінь, дістаємо, що |їхні розв’язання. | |рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення | |[pic], має Єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння | |Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. | |у вигляді [pic]. Вочевидь, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: | |є розв’язком рівняння [pic], |зведення до спільного показника. | |демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння | |Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: | | |заміни, зведення до квадратного | | |рівняння, а потім уже | | |використовують певну схему. | |n.2. Нерівності й системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, котрі| |Розв'язання найпростійших |містять показникову функцію. | |показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду | |нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під годину розв’язування | |властивості функції [pic]; ця |використовують властивість | |функція зростає, якщо [pic], й |монотонності показникової функції. | |спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] | |приклади. |розв'язування даної нерівності | | |зведеться до розв’язування | | |нерівності [pic], а [pic] | | |зводиться до розв’язування | | |нерівності [pic]. Приклади | | |розв'язання нерівностей. |.

Тема: «Логарифмічна функція». |Підручник под редакцією |Підручник под редакцією М.І.Шкіль, | |А.Н.Колмогорова «Алгебра й качани |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук | |аналізу у 10−11 кл.» |"Алгебра й качани аналізу у 10−11 | | |кл." | |(1 Логарифми й їхні властивості. |(1 Логарифми. | |n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. | |Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння | |b за основою, а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають | |показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. | |піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою, а | |число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник| |Відразу зазначається, що формулу |степеня x, до якого треба піднести | |[pic] (де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. | |основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводитися логарифмічна | | |рівність [pic] й показникова | | |рівність [pic] й зазначається, що | | |ці рівності визначають одне й теж | | |співвідношення. Наводяться три | | |основні задачі: | | |Знайти число N за даним його | | |логарифмом b й за основою а. | | |Знайти основу, а й за даним числом N й| | |його логарифмом b. | | |Знайти логарифм від даного числа N | | |за данною основою а. | | |Далі наводять приклади. | | |n.2. Основна логарифмічна | | |тотожність. | | |Розглядається показникова рівність| | |[pic](1). За означенням логарифма | | |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) | | |називається основною логарифмічною | | |тотожністю. | |n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.| | | | |Для будь-яких a>0 (a (1) й будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних| |додатніх x й у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їхні | | |логарифмів, тобто [pic] де [pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних | |[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці | |[pic] |логарифмів діленого й дільника | |[pic] |(чисельника й знаменника), тобто | |Далі наводитися формула переходу |[pic], де [pic] [pic] | |від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник| |іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює | |Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого із | |логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. | |Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного | |основою10 й позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, | |более конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи | |логарифмах не зупиняються. |цого степеня, тобто [pic], де m — | | |будь-яке число, [pic] | | |Т.4. Логарифм кореня із додатного | | |числа дорівнює логарифму | | |підкореневого виразу, поділеного на| | |показник кореня, тобто [pic] | | |5. [pic] | | |[pic] | | |Всі властивості доводяться. | | |n.4. Деякі важливі тотожності, що | | |містять логарифми. | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | | |Всі тотожності доводяться. | | |n.5. Потенціювання | | |Перетворення за допомогою якого за | | |даним логарифмом числа (виразу) | | |визначають саме число (вираз), | | |називають потенціюванням. | | |n.6. Перехід від однієї основи | | |логарифма до іншої. | | |Вводитися формула [pic] | | |n.7. Натуральні логарифми із основою| | |е називають натуральним, чи | | |неперовим. [pic] | |(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція | |Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:| |називається логарифмічною із основою| | |а. |Функцію [pic], називають | |Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а| |цієї функції. Властивості |(a>0, a (1). Зазначається, що графік| |аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати із | |властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично | |наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно | |Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. | |показникової й логарифмічної, що | | |мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної | |відносно прямої у=х. Потім |функції. | |розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної | |властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх | |На цьому вивчення тими логарифмічна|чисел. | |функція в підручнику под редакцією |Область значеньмножина всіх | |Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. | | |Логарифмічна функція на всій | | |області визначення R+ зростає, якщо| | |a>1 й спадає, якщо 0.