Производная знає алгебри середньої школы

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

В першому розділі курсової роботи йдеться про понятті похідною, її історії держави та областях застосування сили. У другій главі буде детально розглянутий курс вивчення похідною трьох підручників із алгебри та засадам аналізу для 10−11кл.: Алімова, Башмакова й під редакцією Колмогорова. Мета курсової роботи — розкрити поняття похідною, розглянути систему її вивчення у підручниках середньої школи… Читати ще >

Производная знає алгебри середньої школы (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Южно-Сахалинский Державний Университет.

Кафедра математики.

Курсова работа.

Тема: Похідна знає алгебри середньої школы.

Южно-Сахалинск.

2002 г.

Введение

Похідна і його применение.

1. Поняття производной.

1−1. Історичні сведения Дифференциальное літочислення було створено Ньютоном і Лейбніцем наприкінці 17 століття з урахуванням двох завдань: 1) про разыскании дотичній до довільній лінії 2) про разыскании швидкості при довільному законі руху Ще раніше поняття похідною траплялося на роботах італійського математика Тартальи (близько 1500 — 1557 рр.) — тут з’явився дотична в ході вивчення питання про вугілля нахилу гармати, у якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. У 17 столітті з урахуванням вчення Г. Галилея про рух активно розвивалася кінематична концепція похідною. Різні викладу трапляються на роботах у Декарта, французького математика Роберваля, англійського вченого Л. Грегорі. Вагомий внесок у вивчення диференціального обчислення внесли Лопиталь, Бернуллі, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1−2. Поняття производной Пусть y = f (x) є безперервна функція аргументу x, певна в проміжку (a; b), і нехай х0 — довільна точка цього проміжку Дамо аргументу x прирощення? x, тоді функція y = f (x) отримає прирощення? y = f (x + ?x) — f (x). Межа, якого прагне ставлення? y / ?x при? x > 0, називається похідною від функції f (x). y «(x)=[pic].

1−3. Правила диференціювання і таблиця производных.

|C «= 0 |(xn) = nxn-1 |(sin x) «= co x | |x «= 1 |(1 / x) «= -1 / x2|(cos x) «= -sin x | |(Cu) «=Cu «|(?x) «= 1 / 2? x |(tg x) «= 1 / cos2 x | |(uv) «= u «v + uv «|(ax) «= ax ln x |(ctg x) «= 1 / sin2 x | |(u / v) «=(u «v — uv ») |(ex) «= ex |(arcsin x) «= 1 /? (1-| |/ v2 | |x2) | | |(logax) «= (logae)|(arccos x) «= -1 /? | | |/ x |(1- x2) | | |(ln x) «= 1 / x |(arctg x) «= 1 /? (1+ | | | |x2) | | | |(arcctg x) «= -1 /? | | | |(1+ x2) |.

2. Геометричний сенс производной.

2−1. Дотична до кривой Пусть маємо криву і ній фіксовану точку M й ставлячи крапку N. Дотичній до точці M називається пряма, становище якої прагне зайняти хорда MN, якщо точку N необмежено наближати за дзвоновидною кривою до M.

Рассмотрим функцію f (x) і цієї функції криву y = f (x). При деякому значенні x функція має значення y = f (x). Цим значенням на кривою відповідає точка M (x0, y0). Введемо новий аргумент x0 + ?x, його значенням відповідає значення функції y0 + ?y = f (x0 + ?x). Відповідна точка — N (x0 + ?x, y0 + ?y). Проведемо січну MN і позначимо? кут, освічений січною з позитивним напрямом осі Ox. З малюнка видно, що? y / ?x = tg ?. Якщо тепер? x наближатиметься до 0, то точка N переміщатиметься вздовж кривою, секанс MN — повертатися навколо точки M, а кут? — змінюватися. Якщо за? x > 0 кут? прагне деякому ?, то пряма, через M і що із позитивним напрямом осі абсцис кут ?, буде шуканої дотичній. У цьому, її кутовий коэффициент:

[pic] Тобто, значення похідною f «(x) при даному значенні аргументу x одно тангенсу кута, освіченого з позитивним напрямом осі Ox дотичній до графіка функції f (x) у точці M (x, f (x)).

Касательная до просторової лінії має визначення, аналогічне визначенню дотичній до пласкою кривою. І тут, якщо функція задана рівнянням z = f (x, y), кутові коефіцієнти при вісях OX і OY будуть рівні приватним похідним f по x і y.

2−2. Дотична площину до поверхности Касательной площиною до у точці M називається площину, що містить касательные всім просторовим кривим поверхні, які пройшли через M — точку касания.

Возьмем поверхню, задану рівнянням F (x, y, z) = 0 і якусь звичайну точку M (x0, y0, z0) у ньому. Розглянемо лежить на поверхні деяку криву L, яка стелиться через M. Нехай крива задана рівняннями x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t). Підставимо в рівняння поверхні ці висловлювання. Рівняння перетвориться на тотожність, т. до. крива повністю на поверхні. Використовуючи властивість інваріантності форми диференціала, продифференцируем отримане рівняння по t:

[pic] Рівняння дотичній до кривою L у точці M мають вид:

[pic] Т. до. різниці x — x0, y — y0, z — z0 пропорційні відповідним дифференциалам, то остаточне рівняння площині виглядає так:

F «x (x — x0) + F «y (y — y0) + F «z (z — z0)=0 й у окремого випадку z = f (x, y):

Z — z0 = F «x (x — x0) + F «y (y — y0) Приклад: Знайти рівняння дотичній площини у точці (2a; a; 1,5a) гіперболічного параболоида.

[pic] Решение:

Z «x = x / a = 2; Z «y = -y / a = -1 Рівняння шуканої плоскости:

Z — 1.5a = 2(x — 2a) — (Y — a) чи Z = 2x — y — 1.5a.

3. Використання похідною в физике.

3−1. Швидкість матеріальної точки Пусть залежність шляху p. s від часу t у цьому прямолінійному русі матеріальної точки виражається рівнянням p. s = f (t) і t0 -певний момент часу. Розглянемо інший час t, позначимо? t = t — t0 і обчислимо прирощення шляху: ?p.s = f (t0 + ?t) — f (t0). Ставлення? p. s / ?t називають середньої швидкістю руху протягом час? t, минуле від вихідного моменту t0. Швидкістю називають межа цього моменту стосунки при? t > 0.

Среднее прискорення нерівномірного руху на інтервалі (t; t + ?t) — це величина =?v / ?t. Миттєвим прискоренням матеріальної точки в останній момент часу t буде межа середнього ускорения:

[pic] Тобто перша похідна за часом (v «(t)).

Пример: Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням p. s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (З = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Визначити час після руху, крізь який прискорення тіла дорівнюватиме 2 м/с2.

Решение: v (t) = p. s «(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a (t) = v «(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =.

1,8 = 0,18t; t = 10 c.

3−2. Теплоємність речовини при даної температуре Для підвищення різних температур T одне і те значення, однакову T1 — T, на 1 кг. даного речовини необхідно різну кількість теплоти Q1 — Q, причому отношение.

[pic] для даного речовини перестав бути постійним. Отже, для даного речовини кількість теплоти Q є нелінійна функція температури T: Q = f (T). Тоді ?Q = f (t + ?T) — f (T). Отношение.

[pic] називається середньої теплоемкостью на відрізку [T; T + ?T], а межа цього висловлювання при? T > 0 називається теплоемкостью даного речовини при температурі T.

3−3. Мощность Изменение механічного руху тіла викликається силами, діючими на нього з боку інших тіл. Щоб кількісно характеризувати процес обміну енергією між взаємодіючими тілами, в механіці вводиться поняття роботи сили. Щоб охарактеризувати швидкість скоєння роботи, вводять поняття мощности:[pic].

4. Диференціальний літочислення в экономике.

4−1. Дослідження функций Дифференциальное літочислення — широко застосовуваний для економічного аналізу математичний апарат. Основною завданням економічного аналізу є вивчення зв’язків економічних величин, записаних як функцій. У якій напрямі зміниться дохід держави зі збільшенням податків або за запровадження імпортні мита? Збільшиться чи зменшиться виручка фірми при підвищення їхньому продукцію? У якій пропорції додаткове устаткування може замінити вибувають працівників? Аби вирішити подібних завдань мають будуватися функції зв’язку які входять у них змінних, які потім вивчаються з допомогою методів диференціального обчислення. У економіці часто-густо потрібно знайти найкраще чи оптимальне значення показника: найвищу продуктивності праці, максимальну прибуток, максимальний випуск, мінімальні витрати й т. буд. Кожен показник є функцію від однієї чи навіть кількох аргументів. Таким чином, перебування оптимального значення показника зводиться до пошуку экстремума функції. По теоремі Ферма, якщо точка є екстремумом функції, то похідна в ній, або немає, або дорівнює 0. Тип экстремума можна визначити по одного з належних умов экстремума: 1) Нехай функція f (x) дифференцируема у певній околиці точки x0. Якщо похідна f «(x) під час переходу через точку x0 змінює знак з + на -, то x0 — точка максимуму, якщо з — на +, то x0 — точка мінімуму, а то й змінює знак, то цієї точці немає экстремума. 2) Нехай функція f (x) двічі дифференцируема у певній околиці точки x0, причому f «(x0) = 0, f «» (x0)? 0, то точці x0 функція f (x0) має максимум, якщо f «» (x0) < 0 і мінімум, якщо f «» (x0) > 0. З іншого боку, друга похідна характеризує опуклість функції (графік функції називається опуклим вгору [вниз] на інтервалі (a, b), коли він на цьому інтервалі розташований не вище [не нижче] будь-який своєї касательной).

Пример: вибрати собі оптимальний обсяги виробництва фірмою, функція прибутку якій у змозі бути змодельована зависимостью:

?(q) = R (q) — C (q) = q2 — 8q + 10 Решение:

? «(q) = R «(q) — З «(q) = 2q — 8 = 0 > qextr = 4.

При q < qextr = 4 >? «(q) < 0 і прибуток убывает.

При q > qextr = 4 >? «(q) > 0 і прибуток зростає При q = 4 прибуток приймає мінімальне значення. Яким буде оптимальний обсяг випуску для фірми? Якщо фірма неспроможна виробляти за аналізований період більше 8 одиниць продукції (p (q = 8) = p (q = 0) = 10), то оптимальним розв’язанням пропускатимуть щось виробляти, а отримувати прибуток від здачі у найм приміщень та / чи устаткування. Якщо ж фірма в змозі виготовляти більше 8 одиниць, то оптимальним для фірми буде випуск напружені своїх виробничих мощностей.

4−2. Еластичність спроса Эластичностью функції f (x) у точці x0 називають предел.

[pic] Попит — на цю кількість товару, затребувану покупцем. Цінова еластичність попиту ED — це величина, характеризує те, як попит реагує зміну ціни. Якщо |ED|>1, то попит називається еластичним, якщо |ED|x0, то функцію f (x) називають безупинної. Взагалі, у пункті автор дуже вдається у математичний аналіз політики та досить скрупульозно розбирає властивість безперервності і граничний перехід. У Башмакова граничний перехід пояснюється на прикладах, не вдаючись у подробности.

3. Обчислення производной.

3−1. Правила дифференцирования.

Нагадаємо основні правила дифференцирования:

сума: (u + v)' = u' + v' коефіцієнт: (Cu)' = Cu' твір: (uv)' = u’v + uv' приватне: (u / v) «=(u «v — uv ») / v2.

В підручниках Башмакова і Колмогорова всі ці формули виводяться, кожен крок пояснюється. Підручник Алімова містить докази лише двох перших формул, зате до кожної формулі уже є щодо 1−2 примера.

В підручнику Колмогорова розглядається формула похідною складної функції (гол 2, § 16):

f (g (x))' = f '(g (x))g'(x).

Вначале автор дає визначення складної функції, потім виводить формулу і наводить кілька прикладів перебування похідною складних функцій. Алімов вирішив спростити цей розділ, замінивши формулу складної функції їхньому окреме питання — лінійну заміну аргумента:

(f (kx + b))' = kf ‘(kx + b).

Эта формула, звісно, набагато менше ємна, зате її доказ коротше й менш абстрактно. Башмаків ж увімкнув у підручник обидві формулы.

3−2. Похідні елементарних функций.

Проблема у цьому, що й тема «похідні» дається перед розглядом будь-яких елементарних функцій, то похідні цих функцій доведеться розглядати пізніше, що Мінздоров'я може відвернути від суті. З іншого боку, поміщаючи похідні саме у кінець підручника, складність матеріалу може підвищуватися нерівномірно, що може позначитися на успеваемости.

Башмаков присвячує вирахування похідною через збільшення цілий пункт, де виводить 5 формул (для лінійної функції, квадрата, куба, гіперболічної функції, кореня). З цієї пункти і починається власне обчислення похідних. Далі, після розгляду правил диференціювання, виводиться формула похідною ступеня. Похідні показова й логарифмічною функцій у відповідної главі, а похідні тригонометрических функцій зовсім усунуто від курса.

В підручнику Колмогорова формули похідних показова й логарифмічною функцій також виводяться і застосовують у рішенні завдань пізніше. Проте, похідні тригонометрических функцій, вже вивчених на цей момент, вони дають у главі «похідна» як окремого пункту. До речі, в ході виведення формули похідною синуса, доводиться таке утверждение:

lim (sin (x) / x) = 1.

Доказательство ускладнено тим, що змінна постає як куток і довжина, необхідний перехід від довжини дуги до довжини відрізка. Він обгрунтовується досить розпливчасто, але пояснення інтуїтивно цілком зрозуміла. Маючи розпорядженні формулу похідною синуса, знаходиться похідні інших функций.

Алимов розглядає степенную функцію перед правилами диференціювання, а формули похідних інших елементарних функцій (показовою, логарифмічною, тригонометрических) — опісля й в окремому пункті. Доказ наводиться лише синуса, але кожної функції є вирішена завдання. Зручність у тому, що це елементарні функції і правила диференціювання розглядаються послідовно немає і необхідності повертатися до пройденого материалу.

4. Дослідження функций.

4−1. Зростання і убування функций.

На початку розділу про дослідженні функцій в підручнику Башмакова наводяться дві теореми: у тому, що функція має на проміжку похідну, тотожний рівну 0, постійна у цьому проміжку і ознака монотонності функції. Потім іде формулювання ознак зростання / зменшення функції - вони перебувають у початку розділів підручників Алімова і Колмогорова. Колмогоров доводить ці ознаки з урахуванням формули Лагранжа: Алімов доказ не наводить. Потім йдуть приклади, наочно що дають, як знаходити проміжки зростання / убывания.

4−2. Екстремуми функций.

Засадничими теоремами у пункті є: необхідна умова экстремума (похідна у точці экстремума мусить бути дорівнює 0), ознаки максимуму / мінімуму функції. Відповідно до просматривающемуся стилю авторів, Колмогоров методично доводить кожну теорему, Алімов наголошує на розгляд завдань, а Башмаків наскільки можна доведень і міркуваннях обходиться без формул, воліючи оповідання про властивості производной.

Замечу, що Башмаків виділив пункт до розгляду т. зв. особливих точок. Це точки, у яких похідна немає, але функція то, можливо безупинної. Колмогоров розглядає в пункті «застосування безперервності». З іншого боку, там-таки розглядається найважливіший метод дослідження поводження функції - метод интервалов.

4−3. Схема дослідження функций.

Колмогоров: 1) Перебування області визначення 2) Перевірка на парність / непарність 3) Перебування точок перетину з осями 4) Перебування проміжків знакопостоянства 5) Перебування проміжків зростання і зменшення 6) Перебування точок экстремума і значень функції у тих точках 7) Дослідження поведінки функції навколо «особливих» крапок і бесконечности Башмаков і Алімов досліджують функцію лише з монотонность.

5. Додатка производной.

5−1. Застосування похідною в физике.

Раніше вже було розглянутий механічний сенс похідною — як знайти швидкість (прискорення — похідна від швидкості - друга похідна функції). Підручник Башмакова показує, як похідна застосовується також під час перебування таких фізичних характеристик, як сила, імпульс, кінетична енергія. Роз’яснюється поняття диференціала: диференціалом функції називають твір похідною на прирощення аргументу. Розповідається, як за допомогою диференціала можна знайти заряд, роботу, масу тонкого стрижня, теплоту.

Колмогоров також наводить приклади використання похідною у фізиці: перебування потужності, лінійної щільності. Він також пояснює з допомогою похідною принцип дії параболічних телескопов.

5−2. Наближені вычисления.

Формула для наближених обчислень знається на підручнику Колмогорова і Башмакова. Автори свідчить про подібність графіків функції і дотичній і значення будуть не набагато різнитися за досить малому приращении. Ця тема носить практичного характеру. Розглянуто кілька примеров.

Заключение

Беручи участь у розрахунок вищевикладене, можу надати таку характеристику цим учебникам:

Учебник під редакцією Колмогорова характеризується більший обсяг матеріалу по похідною і високим рівнем детальності. Як наслідок — високий рівень підготовки й деяка складність у сенсі. Цей підручник з права найчастіше використовують у звичайних школах.

Учебник Алімова робить більший упор зроблено на практичну бік. У тексті багато прикладів вирішення завдань, деякі пункти навіть повністю складаються їх. До кожному пункту додається великий набір завдань для самостійного рішення. Докази — слабка сторона підручника, т. до. вони короткі, а найчастіше їх майже немає зовсім. Деякі аспекти теми опущены.

В підручнику Башмакова матеріал викладається вкрай стисло, але послідовно і докази простішими і зрозумілі. Усі абстрактні математичні поняття знаходять свої життєві прототипи і розглядаються на конкретних прикладах. Підручник більше адресований самостійного вивчення матеріалу.

Литература

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою