Евклід: життя і твори

Реферат на тему:

Евклід: життя і твори Мало хто з сучасних учнів знає підручник «Початки» Евкліда. Але ж саме по цій книзі (чи по її обробках) училися усі творці сучасної математики: Декарт і Ферма, Ньютон і Лейбніц, Колмогоров і Понтрягін… Усіх не перерахуєш.

Не можна сказати, що протягом багатьох століть не з’являлися інші відомості математичних знань, але усі вони забувалися і знову витіснялися «Початками» Евкліда. З 1482 р. вона видавалася більше 500 разів на різних мовах.

Можна з впевненістю стверджувати, що всі сучасні тк звані точні науки виросли з давньогрецької науки, тобто з «Початках» Евкліда — самого древнього зібрання математичних знань, який дійшов до нашого часу.

Так хто ж був Евклід? Дослідник, енциклопедист, методист? На жаль, про життя цього знаменитого вченого збереглося вкрай мало відомостей. Роки його життя відносять до проміжку часу приблизно між 365 і 300 р. до н.е.

Відомо, що Евклід був запрошений в Олександрію царем Птолемеєм I Сотером для організації математичної школи і викладав там математику. Відомо, що він учився в платонівській Академії в Афінах.

Отже, які ж праці Евкліда нам відомі?

Крім «Початків» до нас дійшли, хоча й у сильно перекрученому вигляді, трактати «Оптика» і «Катоптрика». У «Оптику» Евклід формулює і доводить правило «кут падіння дорівнює куту відбиття», а в «Катоптриці» він виводить, спираючи на це правило, закони відображення від опуклих і увігнутих дзеркал. У цих трактатах міститься перший в історії виклад геометричної оптики. Крім того, Евкліду належить твір по математичній астрономії «Явища», йому також приписується твір «Перетин канону» по теорії музики.

В усіх цих творах Евклід спочатку розкриває постулати деяких властивостей досліджуваних об'єктів (наприклад, те, що світло поширюється по прямій) і необхідні математичні відомості, а потім на цій основі дедуктивно будує теорію, що викладається.

Евкліду належать твори про конічні перетини (тобто еліпси, гіперболи, параболи) і «Про поверхневі місця», що до нас дійшли.

В арабському перекладі нам відомий твір Евкліда «Про розподіл фігур».

Але головною працею Евкліда, безсумнівно, є «Початки» (у 13 книгах). Він зібрав і систематизував сучасну йому математику, суворо дедуктивно виклавши її в цій об'ємній праці.

Нижче описані найбільш цікаві, з погляду сучасної математики, досягнення Евкліда і його попередників, викладені в «Початках».

Теорема Евкліда Дану теорему, про яку йде мова, викладена в IX книзі «Початки». Вона формулюється так:

безліч простих чисел нескінченна.

Доказ дуже простий: якби безліч усіх простих чисел було кінцевим, то, перемноживши їх всі і додавши одиницю, ми одержали б нове число, що не поділяється на жодне з відомих простих чисел і, отже, просте.

Алгоритм Евкліда Усім відомий алгоритм Евклида перебування загальної міри відрізків. Він полягає в наступному.

Нехай є два відрізки нерівної довжини A і В, причому, наприклад, А більше В. Відкладемо відрізок В на відрізку, А стільки разів, скільки вийде (мал. 1).

Тоді А=n0B + C1, де C1 < В.

Тепер беремо відрізки В и C1 і повторюємо з ними ту ж операцію: У=n1C1 + C2, де C2 < C1 (мал. 2).

А.

С1.

В В В.

n0 разів.

(мал. 1).

В.

С1 С1 С2.

n1 раз.

(мал. 2).

Повторюючи цю операцію багато разів, ми або коли-небудь одержимо нульовий відрізок-залишок Cm= nm+1Cm+1 + 0 відрізок Cm+1 виявиться загальною мірою відрізків, А і В, або процес відкладання відрізків ніколи не закінчиться.

В останньому випадку говорять, що відрізки, А і В непорівнянні (тобто не мають загальної міри). Числа n0, n1, … називаються «неповними частками».

Якщо виявлена загальна міра величин, А и В і вона дорівнює деякій величині D, то А= ?D, B=?D і відношення, А и В є відношення? до ?.

Цікаво, що Евклід побудував алгоритм окремо для чисел (тобто натуральних чисел) і окремо для відрізків (величин).

Отже, алгоритм Евклида дозволяє не тільки знаходити загальну міру (НОД) двох чисел, скорочувати на НОД дробу, але і «округляти» раціональні числа.

Теорія відносин Евдокса У «Початках» викладена інша теорія відносин, створена Евдоксом. Вона відповідала на запитання: як можна порівнювати відносини чисел і що відбувається з ними в результаті арифметичних операцій?

Двоє відносин a/b і c/d вважаються рівними, якщо для будь-яких натуральних чисел М, N виконуються умови:

aM > bN cM > dN,.

aM = bN cM = dN,.

a < b c < d.

Такий підхід до порівняння відносин був революційним проривом у побудові теорії дійсного числа (поки тільки для раціональних позитивних чисел).

Теорія ірраціональностей Видимо, саме алгоритм Евкліда привів піфагорійця до встановлення несумірності сторони і діагоналі квадрата (тобто ірраціональності числа v2). Це відкриття істотне вплинуло на подальший розвиток і математики, і філософії. Воно показало, що помилково основний принцип піфагорійців «усі є число». Вони вважали, що усяку величину можна виразити числом (натуральним) чи відношенням чисел, але виявилося, що діагональ квадрата зі стороною 1 не виражалася відношенням чисел.

Теєтет Афінський розвинув цей підхід і довів, що квадратні корені з квадратних чисел раціональні, а з неквадратних — ірраціональні. Крім того, кубічні корені з кубічних чисел раціональні, а з некубічних — ірраціональні.

Більш того, він класифікував деякі типи іррациональностей, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки.

Геометрична алгебра Важливим досягненням античної математики стало створення так називаної геометричної алгебри, зачатки якої малися ще у вавілонян.

Ми знаємо, що в Древній Греції не було можливості записувати буквами алгебраїчні формули і рівняння. Крім того, великі проблеми виникали при операціях з натуральними числами. Античні математики обійшли цю проблему, перевівши всі алгебраїчні вираження першого і другого ступеня на геометричну мову. Усі побудови були планіметричними.

Видимо, саме алгебраїчними потребами порозумівається настільки бурхливий розвиток планіметрії в античності.

Платонові тіла В останньої, XIII книзі «Початки» описуються будова і властивості правильних багатогранників — тетраедра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, ікосаедра.

І Евклід не просто описав правильні багатогранники, але і досліджував їх властивості. Він знайшов відносини довжин ребер усіх правильних багатогранників до діаметра описаної біля багатогранника сфери.

Більш того, він запропонував способи побудови правильних багатогранників, уписаних у сферу даного діаметра.

Вчення про гармонію Ще піфагорійці знали, що якщо висоти звуку відносяться як невеликі цілі числа, то сполучення звуків буде приємним, гармонічним. Так, відношення висот 1:2 дає музичний інтервал, називаний октавою, відношення 2:3 — дає квінту, 3:4 кварту. Для того щоб підвищити на квінту звук, наприклад, що коливається струни, треба зменшити її довжину на 1/3, змусивши звучати що залишилися 2/3 струни, при цьому частота коливань струни збільшиться в 1/(2/3) разу. А для підвищення звуку на кварту треба витягти звук з ¾ струни, тобто частота коливань буде в 4/3 рази вище частоти коливань основного тону. Виходячи з цього, можна побудувати музичну шкалу.

Першим точними розрахунками музичної шкали став Архіт Тарентський. Евклід продовжив його традицію і виклав навчання про гармонію в «Перетині канону» і - частково — у «Початках».

Список використаної літератури.

• ауково-теоретичний і методичний журнал «Математика в школі» № 4 2001. Видавництво «Школ-Пресс».