Концептуалізація знань з аналітичної геометрії на основі комп'ютерного експерименту

ІКТ активно використовуються у вищій школі, але напрями їх застосування в коледжах економічного профілю дещо інші, ніж у технічних, педагогічних [10] та інших навчальних закладах, оскільки орієнтація має бути на студентів, які мають загалом недостатню шкільну підготовку з математики. Тому дуже важливим є не тільки традиційне формальне вивчення відповідних розділів, а супутня динамічна візуалізація геометричних фактів, теорем тощо (в тому числі така, що виконується студентами під час самостійної роботи).

Пакет динамічної геометрії GeoGebra [11], поряд з іншими можливостями, дозволяє знаходити геометричні місця точок (ГМТ) методом слідів, який є дуже наочним при дослідженні параметрично заданих кривих, візуалізації визначень геометричних фігур, в інших задачах. Таких, скажімо, як побудова еліпса, гіперболи та інших споріднених (за методом побудови) кривих, які, хоча й виходять за межі традиційного для коледжів курсу математики, але добре унаочнюють та узагальнюють методи їх побудови (наприклад, овали Кассіні). Еліпс та гіпербола будуються як ГМТ, для яких відповідно суми та різниці від довільної точки фігури до її фокусів є константами, а побудова овалів Кассіні відповідає на питання: «А що буде, як ми візьмемо добуток відстаней?». Усі ці фігури виникають у точках перетину кіл змінюваного фокального радіуса (тобто за єдиним принципом), але закони цієї зміни різні для кожної з фігур, що й дає різні ГМТ. На основі таких ілюстрацій студенти формують особистісно значимий концептуальний простір геометрії, що дозволяє їм «фізично відчути» визначення геометричних фігур і зробити ці знання постійно актуалізованими [12]. Самий термін «концепт» означає ментальну репрезентацію [9] на відміну від «поняття», яке в нашому випадку є формальним визначенням певного геометричного об'єкту. Концепт розглядають як психічний носій властивостей поняттєвого мислення.

При дослідженні концептів виникає поняття епізодичної та семантичної пам’яті. Епізодична пам’ять включає інформацію, безпосередньо набуту з навколишнього світу в процесі соціальної та пізнавальної діяльності, а семантична пам’ять черпається із зустрінутих усних і письмових текстів. Структура будь-якого концепту в мовній картині світу екстеріоризує як епізодичну, так і семантичну пам’ять (наприклад, [13]). Таким чином, підручники, лекції тощо активують семантичну пам’ять студентів, а власноруч виконані комп’ютерний експеримент, комп’ютерні побудови та дослідження властивостей фігур епізодичну. При цьому для кожного поняття (або їх комплексу) формується єдиний цілісний концепт, який в подальшому може екстеріоризуватись в практичній діяльності студента при розв’язуванні задач тощо. Тобто, за такого підходу одночасно із набуттям знань матимемо їх системну актуалізацію.

Методично важливою особливістю GeoGebra є наявність протоколу історії розв’язування задач, який експортується в HTML-файл, або виконується покроково. Це зручно для презентацій під час лекцій та інших форм роботи, у ході яких побудови не виконуються в реальному часі, а відтворюються. При цьому їх можна пояснювати, коментувати. Це заощаджує час і дозволяє уникати прикрих помилок. Дуже зручною ця можливість є й для створення дидактичних матеріалів [14], а також для виступів студентів на практичних заняттях із демонстрацією виконаних самостійно робіт та поясненнями до них.

Розглянемо тепер на деяких прикладах особливості формування концептуального простору засобами ІКТ. Визначення геометричних фігур у традиційних умовах важко зробити особистісно значимими тому що багато з них спираються на поняття геометричного місця точок, яке є нескінченним. Використовуючи пакет динамічної геометрії [11] можна створювати конструкції, буквально відтворюючі визначення й, змінюючи деякі параметри, візуалізовувати відповідні ГМТ (рис. 1−3). У літературі подібні побудови зустрічаються [5], але вони виконані, як правило, без методичної строгості, тому не формують систему понять. Розглянемо деякі з побудов більш детально.

Еліпс є ГМТ, для яких сума відстаней від фокусів є константа (на рис. 1 відрізок АВ). Точка C ковзає по АВ, ділячи його на відрізки r1 і r2. Відповідними радіусами будуються кола із центрами в точках F1 і F2. Точки їх перетину E і D позначаються як такі, що залишають слід (це є можливістю GeoGebra). Переміщуючи точку C по відрізку АВ змінюємо радіус кіл, і точки E і D окреслюють еліпс. Переміщуючи точки А, В, F1 і F2 одержуємо інші еліпси.

Гіпербола ГМТ, для яких різниця відстаней від фокусів є константа (відрізок АВ на рис. 2). Різниця відрізків AC і BC є AB. Переміщення точки C дозволяє змінювати довжини AC і BC не змінюючи їхньої різниці. Будуємо кола із центрами в точках F1 і F2 радіусами AC (r2) і BC (r1). Точки перетину D, E, H і J лишають слід. Переміщуючи точку C змінюємо радіуси кіл (r1 та r2), і точки D, E, H і J окреслюють обидві гілки гіперболи.

Овали Кассіні ГМТ, для яких добуток відстаней від фокусів є константа (на рис. 3 відрізок АВ). Уводимо одиничний відрізок CD. У прямокутному трикутнику KGI висота KH=y[ab. Побудуємо на тій же висоті прямокутний трикутник HML так, щоб переміщаючи точку L можна було змінювати співвідношення відрізків, а і b. Будуємо кола із центрами в точках F1 і F2 і радіусами, а і b. Точки перетину N і O лишають слід. Переміщаючи точку L змінюємо радіус кіл, і точки N і O окреслюють шуканий овал.

Гіпербола, побудована як ГМТ.

Овали Кассіні, побудовані як ГМТ Оскільки всі розглянуті фігури виникають (як вже вказувалось) у точках перетину кіл змінюваного радіуса (тобто за єдиним принципом), а закони цієї зміни різні для кожної з фігур, то це й дає різні ГМТ. Будуючи так ілюстрації до визначень (та виконуючи дослідження на основі виконаних побудов) студенти формують особистісно значимий концептуальний простір геометрії. Такий підхід дозволяє студентам відчути визначення геометричних фігур як особистий досвід (активується епізодична пам’ять) і зробити ці знання особистісно значимими.

Результати досліджень та їх обговорення.

Навчання є самостійним, індивідуально-значимим, а тому дуже діючим джерелом розвитку особистості. Це створення студентом уявлень про навколишню дійсність за допомогою формування особистісно значимого її образу. У випадку дослідження геометричного образу. Іншими словами: навчання це прийняття деякого нормативу, але обов’язково «пропущеного» через суб'єктний досвід. При цьому наукова картина світу в поняттях вибудовується відповідно до предметної області знань. Це означає, що далеко не будь-які поняття, організовані в систему, будуть засвоєні, а тільки ті, які входять до складу особистісно-значимого досвіду студента, утворюючи таким чином (з урахуванням епізодичної пам’яті) повноцінні концепти. Завдання навчання погодити семантичні знання із суб'єктивним досвідом студента через практику. Знання має стати особистісно значимим. Таким чином, засвоюючи заданий зміст, студент не просто отримує наукову інформацію, а перетворює її на основі власного досвіду, тобто будує суб'єктну модель пізнання, основану на концептах. Тому потрібно дати йому можливість це зробити стосовно базових понять, визначень тощо. Але при цьому варто розглядати не кожне визначення окремо, а зв’язаними в систему (як у прикладі, наведеному в пункті 4).

Таким чином, використання ІКТ дає змогу не просто інтенсифікувати навчальний процес з математики, а й значно розширити коло розглядуваних питань, вправ, задач, активізувати навчально-пізнавальну евристичну діяльність студентів.

Але, вочевидь, їх використання в навчанні має бути не самоціллю, а дидактично виправданим і гармонійно інтегрованим з традиційними методичними системами навчання, а також ґрунтуватись на засадах загальних дидактичних принципів навчання.