Замкнені множини і їх властивості
Наприклад: сегмент — замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок — замкнена (). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщогранична точка, то. Нехай гранична точка. Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність, яка збігається до. За теоремою 1.4 розділу 2, маємо. Оскільки, то, тобто. Твердження доведено. Зауваження… Читати ще >
Замкнені множини і їх властивості (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.
Інакше кажучи, F — замкнена множина, якщо .
Наприклад: сегмент [a;b] - замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок — замкнена (). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщогранична точка, то. Нехай гранична точка. Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність, яка збігається до. За теоремою 1.4 розділу 2, маємо. Оскільки, то, тобто. Твердження доведено.
Теорема 3.1. Об'єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.
Доведення. Нехай , — замкнені множини. Покажемо, що F — замкнена множина. Нехай. Покажемо, що є граничною точкою хоча б однієї з. Доведемо від супротивного. Припустимо, що не є граничною точкою жодної з множин. Так як, то існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від). Аналогічно, існує окіл, в якому нема жодної точки з (відмінної від) і т. д. Існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від). Тоді в околі де нема жодної точки з, а значить і з об'єднання (відмінної від). Тобто. Прийшли до протиріччя. Таким чином. Внаслідок замкненості точки, а значить і об'єднанню. Теорему доведено.
Зауваження: об'єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .
Кожна з множин замкнена, а об'єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).