Балансова модель

БАЛАНСОВА МОДЕЛЬ.

Вивчення балансових моделей, що становлять одне з найважливіших та напрямів і економіко-математичних досліджень, повинна бути об'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета — проілюструвати на прикладі балансових розрахунків застосування основних понять лінійної алгебры.

ЛІНІЙНА БАЛАНСОВА МОДЕЛЬ.

Нехай розглядається економічна система, що складається з n взаємозалежних галузей виробництва. Продукція кожної галузі частково йде зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовують у ролі сировини, напівфабрикатів чи інших засобів виробництва, у інших галузях, зокрема й у даної. Цю частка називають виробничим споживанням. Тому кожна гілка аналізованих галузей виступає як і виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) як і її споживач (перший рядок таблиці 1).

Означимо через xi валовий випускати продукцію i-го галузі за запланований період, і через yi — кінцевий продукт, що йде на зовнішнє для аналізованої системи споживання (засоби виробництва інших економічних систем, споживання населення, освіту запасів тощо.).

Отже, різницю xi — yi становить значну частину продукції i-го галузі, призначену для внутрішньовиробничого споживання. Будемо в подальшому думати, що баланс складається над натуральному, а вартісному разрезе.

Означимо через xik частка i-го галузі, яка споживається k-й галуззю, задля забезпечення випуску її продукції розмірі хk.

Таблиця 1.

№ споживання загалом кінцевий валовий отрас. внутре продукт выпуск.

производ. (уi) (хi) № 1 2 … k … n споживання отрас.

(е хik).

1 х11×12 … х1k … х1n е х1k у1×1.

2 х21×22 … х2k … х2n е х2k у2×2.

(((((((.

(((.

і хi1 xi2 (xik (xin е xik yi xi.

(((((((.

(((.

n xn1 xn2 (xnk (xnn е xnk yn xn.

разом произв. витрати е хi1 е xi2 (е xik (е xin в k-ю отрасль.

Вочевидь, величини, які працюють у рядках таблиці 1 пов’язані такими балансовими равенствами :

х1 — (х11 + х12 + (+ х1n) = у1×2 — (х21 + х22 + … + х2n) = у2 (1).

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... xn — (xn1 + xn2 + … + xnn) = yn.

Одне із завдань балансових досліджень у тому, щоб у базі даних про виконання балансу за попередній період визначити вихідні дані на запланований период.

Будемо постачати штрихом (х’ik, y’i тощо.) дані, які стосуються минулому періоду, а тими самими літерами, але не матимуть штриха — аналогічні дані, пов’язані з планованим періодом. Балансові рівності (1) повинні виконуватися як і минулому, і у планованому периоде.

Будемо називати сукупність значень y1, y2, …, yn, характеризуючих випуск кінцевий продукт, ассортиментным вектором :

_ у = (у1, у2, …, yn), (2).

а сукупність значень x1, x2, …, xn, визначальних валовий випуск всіх галузей (вектор-планом :

_ x = (x1, x2, …, xn). (3).

Залежність між двома цими векторами визначається балансовими равенствами (1). Але вони не дозволяють визначити по заданому, наприклад, вектор у необхідний забезпечення вектор-план x, т.к. крім шуканих невідомих хk, містять n2 невідомих xik, які у свою чергу залежить від xk.

Тому перетворимо ці рівності. Розрахуємо величини aik з співвідношень :

xik aik = --- (і, k = 1, 2, …, n). xk.

Величини aik називаються коефіцієнтами прямих витрат чи технологічними коефіцієнтами. Вони визначають витрати продукций i-го галузі, використовувані k-й галуззю на виготовлення її продукції, і залежать головним чином технології виробництва, у цієї k-й галузі. З певним наближенням можна вважати, що коефіцієнти aik постійні у певному проміжку часу, що охоплюють як минулий, і запланований період, тобто., что.

x’ik xik.

--- = --- = aik = const (4) x’k xk.

Виходячи з цього пропозиції имеем.

xik = aikxk, (5).

т.е. витрати i-го галузі k-ю галузь пропорційні її валовому випуску, чи, інакше кажучи, залежать лінійно від валового випуску xk. Тому рівність (5) називають умовою лінійності прямих затрат.

Розрахувавши коефіцієнти прямих витрат aik за такою формулою (4), використовуючи дані про виконання балансу за попередній період або визначивши їх в інший спосіб, одержимо матрицу.

a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n.

A= … ai1 ai2 … aik … ain an1 an2 … ank … ann.

которую називають матрицею витрат. Зауважимо, що це елементи aik цієї матриці неотрицательны. Це записують скорочено як матричного нерівності А>0 і називають таку матрицю неотрицательной.

Завданням матриці А визначаються все внутрішні взаємозв'язку між виробництвом і які споживанням, характеризуемые табл.1.

Підставляючи значення xik = aik = xk в усі рівняння системи (1), одержимо лінійну балансову модель :

x1 — (a11×1 + a12×2 + … + a1nxn) = y1 x2 — (a21×1 + a22×2 + … + a2nxn) = y2 (6).

… xn — (an1x1 + an2x2 + … + annxn) = yn ,.

характеризующую баланс витрат — випуску продукції, поданий у табл.1.

Система рівнянь (6) то, можливо записана компактніші, якщо використовувати матричну форму записи уравнений:

_ _ _.

Е (х — А (х = У, чи окончательно.

_ _.

(Є - А)(x = У, (6().

где Є - одинична матриця n-го порядку и.

1-a11 -a12 … -a1n.

E — A= -a21 1-a22 … -a2n.

…

— an1 -an2 … 1-ann.

Рівняння (6) містять 2N змінних (xi і yi). Тому, поставивши значеннями n змінних, можна із системи (6) знайти інші n — переменных.

Виходитимемо з заданого асортиментного вектора У = (y1, y2, …, yn) та імідж визначатимуть необхідний його виробництва вектор-план Х = (х1, х2, … хn).

Проілюструємо вищевикладене з прикладу гранично спрощеної системи, складається з двох виробничих отраслей:

табл.2.

№ отрас Споживання Разом Кінцевий Валовый.

№ витрат продукт випуск отрас 1 2.

0.2 0.4.

1 100 160 260 240 500.

0.55 0.1.

2 275 40.

315 85 400.

Разом витрат 575 в k-ю 375 200 галузь … 575.

Нехай виконання балансу за попередній період характеризується даними, поміщеними в табл.2.

Розраховуємо за даними таблиці коефіцієнти прямих затрат:

100 160 275.

40 а11 = ---- = 0.2; а12 = ---- = 0.4; а21 = ---- = 0.55; а22 = ---- = 0.1.

500 400 500.

Ці коефіцієнти записані в табл. 2 у кутках відповідних клеток.

Тепер то, можливо записана балансова модель (6), відповідна даним табл.2.

х1 — 0.2×1 — 0.4×2 = у1×2 — 0.55×1 — 0.1×2 = у2.

Цю систему двох рівнянь можна використовувати визначення х1 і х2 при заданих значеннях у1 і у2, від використання впливу валовий випуск будь-яких змін — у асортименті кінцевий продукт і т.д.

Приміром, поставивши у1=240 і у2=85, одержимо х1=500 і х2=400, поставивши у1=480 і у2=170, одержимо х1=1000 і х2=800 і т.д.

РІШЕННЯ БАЛАНСОВИХ УРАВНЕНИЙ.

З ДОПОМОГОЮ ЗВОРОТНОГО МАТРИЦЫ.

КОЕФІЦІЄНТИ ПОВНИХ ЗАТРАТ.

Повернімося знову до розгляду балансового рівняння (6).

Перше питання, що виникає за його дослідження, це питання існування при заданому векторі У>0 неотрицательного рішення х>0, тобто. про існуванні вектор-плана, забезпечує даний асортимент кінцевого продукту У. Будемо називати таке рішення рівняння (6() допустимим решением.

Зауважимо, що з будь-який неотрицательной матриці А стверджувати існування неотрицательного рішення нельзя.

Приміром, если.

0.9 0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6() А=, то Є - А =.

0.6 0.9 -0.6 0.1 запишеться як 0.1 -0.8×1 у1 чи розгорнутої форме.

— 0.6 0.1×2 у2.

0.1×1 — 0.8×2 = у1 (().

— 0.6×1 + 0.1×2 = у2.

Склавши ці дві рівняння почленно, одержимо уравнение.

— 0.5×1 — 0.7×2 = у1 + у2, яка може задовольнятися неотрицательным значенням х1 і х2, якщо лише у1>0 і у2>0 (крім х1=х2=0 при у1=у2=0).

Нарешті рівняння загалом не мати рішень (система (6) — несовместная) чи мати незліченну кількість рішень (система (6) — невизначена).

Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, відповідає на поставлений вопрос.

Теорему. Якщо існує хоч одне неотрицательный вектор х>0, зрозумілу нерівності (Є - А)(х>0, тобто. якщо рівняння (6() має ненегативне рішення x>0, хоча для одного У>0, воно має для будь-якого У>0 єдине ненегативне решение.

Виявляється, що зворотна матриця (Є - А) буде обов’язково неотрицательной.

З способу освіти матриці витрат слід, що з попереднього часу виконується рівність (ЄА)(x (= У (, де векторплан x (і асортиментний вектор У (визначаються по сповненого балансу за минулий період, у своїй У (>0. Отже, рівняння (6() має одну ненегативне рішення x>0. З теореми укладаємо, що рівняння (6() має припустимий план і матриця (Є - А) має зворотний матрицу.

Окресливши зворотний матрицю (Є - А)-1 через P. S = || sik+ ||, запишемо рішення рівняння (6(() в виде.

_ _ x = S (У (7).

Якщо буде заданий вектор — кінцевий продукт У і обчислена матриця P. S = (E — A)-1, то цієї формули то, можливо визначено вектор-план х.

Рішення (7) можна в розгорнутої форме:

x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn (8).

… xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn.

ПОВНІ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ.

ЗАТРАТЫ.

З’ясуємо де економічний сенс елементів Sik матриці S.

Нехай роблять лише одиниця кінцевий продукт 1-ї галузі, т. е.

_ 0.

У1 = (.

Підставляючи цей вектор в рівність (7), получим.

1 S11.

_ 0 S21 _ x = P. S (: =: = S1.

0 Sn1.

_.

1 поставивши ассортиментным вектором У2 = 0, получим.

:

0 S12.

_ 1 S22 _ x = P. S (: =: = S2.

0 Sn2.

Аналогічно, валовий випуск x, необхідний виробництва одиниці кінцевий продукт k-й галузі, составит.

0 S1k.

_: S2k _ x = P. S (1 =: = Sk, (9).

: Snk.

т.е. k-й стовпець матриці S.

З рівності (9) випливає таке: Щоб випустити лише одиницю кінцевий продукт k-й галузі, необхідна за 1-ї галузі випустити х1=S1k, у 2-ї х2=S2k тощо., в i-го галузі випустити xi=Sik і, нарешті, в енну кількість галузі випустити xn=Snk одиниць продукции.

Так у своїй вигляді кінцевий продукт виробництва були тільки одиниця k-го продукту, то величини S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, є коефіцієнти повних витрат продукції 1-ї, 2-ї тощо., енну кількість галузей що йде на виготовлення зазначеної одиниці k-го продукту. Ми вже запровадили раннє коефіцієнти прямих витрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на одиницю продукції kі галузі, які враховували б лише ті частини продукції кожної галузі, яка споживається безпосередньо k-й галуззю. Але, очевидно, необхідно забезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-го галузі надходила б у k-ю галузь за кількості aik, то виробництво k-й галузі однаково було б забезпечено, бо знадобилося ще продукти 1- і галузі (a1k), 2-ї галузі (a2k) тощо. А своєю чергою не зможуть працювати, якщо не отримувати продукцію тієї ж i-го галузі (ai1, ai2, … тощо.). Проілюструємо сказане з прикладу табл.2.

Нехай нам не цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2- і галузі (k=2) і хочемо визначити витрати продукції 1-ї галузі на одиницю цієї категорії продукції. З табл. 2 знаходимо, що у кожну одиницю продукції 2-ї галузі (х2=1) витрачається: продукції 1-ї галузі a12=0.4 і 2-ї галузі a22=0.1.

Такі будуть прямі витрати. Нехай потрібно виготовити у2=100. Чи можна при цьому планувати випуск 1-ї галузі х1=0.4(100=40? Звісно, не можна, т.к. необхідно враховувати, що 1-ша галузь частину своєї продукції споживає сама (а11=0.2), і тому сумарний її випуск слід скоригувати: х1=40+0.2(40=48. Проте ця цифра неправильна, т.к. сьогодні вже слід виходити із нового обсягу продукції 1-ї галузі - х1(=48 тощо. Але річ не лише цього. Відповідно до табл. 2 продукція 2-ї галузі також потрібна для виробництва та 1-ї та 2-ї деяких галузей і тому знадобиться випускати більше, ніж у2=100. Але тоді зростуть потреби у продукції 1-ї галузі. Тоді достатньо звернутись до складеної систем рівнянь, поклавши у1=0 і у2=1 (див п.2):

0.8×1 — 0.4×2 = 0.

— 0.55×1 + 0.9×2 = 1.

Розв’язавши цю систему, одержимо х1=0.8 і х2=1.5. Отже, у тому щоб виготовити одиницю кінцевий продукт 2-ї галузі, необхідна за 1-ї галузі випустити продукції х1=0.8. Цю величину називають коефіцієнтом повних витрат і позначають її через S12. Отже, якщо а12=0.4 характеризує витрати продукції 1-ї галузі виробництва одиниці продукції 2-ї галузі, використовувані безпосередньо у 2-ї галузі (чому вони були названі прямі витрати), то S12 враховують сукупні витрати продукції 1-ї галузі як прямі (а12), і непрямі витрати, реалізовані через інші (у разі через 1-шу ж) галузі, але у кінцевому підсумку необхідних забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту 2-ї галузі. Ці непрямі витрати становлять S12-a12=0.8−0.4=0.4.

Якщо коефіцієнт прямих витрат обчислюється на одиницю валового випуску, наприклад а12=0.4 при х2=1, то коефіцієнт повних витрат розраховується на одиницю кінцевого продукта.

Отже, величина Sik характеризує повні витрати продукції i-го галузі для одиниці кінцевий продукт k-й галузі, які включають як прямі (aik), і непрямі (Sik — aik) затраты.

Вочевидь, що завжди Sik > aik.

Якщо потрібно випустити уk одиниць k-го кінцевий продукт, то відповідний валовий випуск кожної галузі становитиме виходячи з системи (8):

x1 = S1k (yk, x2 = S2k (yk, …, xn = Snk (yk ,.

что можна записати коротше в виде:

_ _ x = Sk (yk (10).

Наконец, якщо потрібно випустити набір кінцевий продукт, поставлене ассортимент;

_ у1 ным вектором У =: , то валовий випуск k-й галузі xk, необхідний його уn.

обеспечения, визначиться виходячи з рівностей (10) як скалярне твір шпальти Sk на вектор У, т. е.

_ _ xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk (y, (11) а весь вектор-план x знайдеться з формули (7) як твір матриці P. S на вектор У.

Отже, підрахувавши матрицю повних витрат P. S, можна за формулам (7) — (11) розрахувати валовий випуск кожної галузі й сукупний валовий випуск всіх галузей незалежно від заданому асортиментному векторі У.

Можна ще визначити, яке зміна в вектор-плане (x = ((х1, (х2, …, (хn) викликає заданий зміна асортиментного продукту (У = ((у1, (у2, …, (уn) по формуле:

_ _.

(x = S ((У, (12).

Наведемо приклад розрахунку коефіцієнтів повних витрат балансовою табл. 2. Ми маємо матрицю коефіцієнтів прямих затрат:

2 0.4.

А =.

0.55 0.1.

Следовательно,.

1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4.

Є - А = =.

— 0.55 1 -0.1 -0.55 0.9.

Определитель цієї матрицы.

0.8 -0.4.

D [ E — A ] = = 0.5.

— 0.55 0.9.

Построим приєднану матрицю (Є - А)*. Имеем:

0.9 0.4.

(Є - А)* = ,.

0.55 0.8.

откуда зворотна матриця, що є таблицю коефіцієнтів повних витрат, буде следующей:

1 0.9 0.4 1.8 0.8.

P.S = (Є - А)-1 = --- =.

0.5 0.55 0.8 1.1 1.6.

З цієї матриці укладаємо, що повні витрати продукції 1-ї та 2-ї галузі, на виробництво одиниці кінцевий продукт 1-ї галузі, становить S11=0.8 і S21=1.5. Порівнюючи з прямими витратами а11=0.2 і а21=0.55, встановлюємо, непрямі витрати у разі становитимуть 1.8- 0.2=1.6 і 1.1−0.55=0.55.

Аналогічно, повні витрати 1-ї та 2-ї галузі виробництва одиниці кінцевий продукт 2-ї галузі рівні S12=0.8 і S22=1.5, звідки непрямі витрати становитимуть 0.8−0.4=0.4 і 1.6−0.1=1.5.

Нехай потрібно виготовити 480 одиниць продукції 1-ї та 170 одиниць 2-ї отраслей.

Тогда необхідний валовий випуск x = х1 знайдеться з рівності (7): х2.

_ _ 1.8 0.8 480 1000 x = S (У = (=.

1 1.6 170 800 .

ПОВНІ ВИТРАТИ ПРАЦІ КАПІТАЛОВКЛАДЕНЬ І Т.Д.

Розширимо табл.1, включивши до неї, крім продуктивних витрат xik, витрати, капіталовкладень тощо. з кожної галузі. Нові джерела витрат впишуться в таблицю як нові n+1-я, n+2-я тощо. додаткові строки.

Означимо витрати в k-ю галузь через xn+1,k, і скоротити витрати капіталовкладень — через xn+2,k (де k = 1, 2, …, n). Приблизно так як вводилися прямі витрати aik,.

xn+1,k введемо в розгляд коефіцієнти прямих витрат праці an+1,k = -----, и.

xk xn+2,k капіталовкладень an+2,k = -----, що становлять витрата відповідного xk ресурсу на одиницю продукції, випущену k-й галуззю. Включивши ці коефіцієнти в структурну матрицю (тобто. дописавши у вигляді додаткових рядків), одержимо прямокутну матрицю коефіцієнтів прямих затрат:

a11 a12 … a1k … a1n a21 a22 … a2k … a2n переважна більшість матрицы.

…

А (= ai1 ai2 … aik … ain.

… an1 an2 … ank … ann an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n додаткові строки.

При рішення балансових рівнянь як і використовується лише переважна більшість матриці (структурна матриця, А). Проте за розрахунку запланований період витрат праці, або капіталовкладень, необхідні випуску даного кінцевий продукт, беруть участь додаткові строки.

То хай, наприклад, виробляється одиниця продукту 1-ї галузі, т. е.

_ 1.

У = 0.

:

0 .

І тому потрібно валовий випуск продукции.

S11.

_ _ S21 x = S1 = :

Sn1.

Підрахуємо необхідні у своїй витрати Sn+1,1. Вочевидь, з сенсу коефіцієнтів an+1,k прямих витрат праці як витрат за одиницю продукції k-й галузі й величин S11, S12, …, S1n, характеризуючих скільки одиниць продукції необхідно випустити у кожному галузі, одержимо витрати у 1-шу галузь, як an+1,1S11, у 2-у — an+1,2S21 тощо., нарешті у n-ю галузь an+1,nSn1. Сумарні витрати, пов’язані з виробництвом одиниці кінцевий продукт 1-ї галузі, составят:

_ _.

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,.

т.е. рівні скалярному твору (n+1)-і рядки розширеній матриці А (, яку позначимо an+1, на 1-ї стовпець матриці S.

Сумарні витрати, необхідних виробництва кінцевого продукту k-й галузі, составят:

_ _.

Sn+1,k = an+1Sk (13).

Назовем ці величини коефіцієнтами повних витрат праці. Повторивши все наведені міркування при розрахунку необхідних капіталовкладень, прийдемо аналогічно попередньому до коефіцієнтам повних витрат капиталовложений:

_ _.

Sn+2,k = an+2Sk (14).

Нині можна доповнити матриць P. S рядками, які з елементів Sn+1,k і Sn+2,k, утворити розширену матрицю коефіцієнтів повних затрат:

S11 S12 … S1k … S1n матриця коэффициентов.

S21 S22 … S2k … S2n повних внутрипроизводст.

… затрат.

P.S (= Si1 Si2 … Sik … Sin.

…

(15).

Sn1 Sn2 … Snk … Snn.

Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n додаткові строки.

Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n.

Користуючись цієї матрицею можна розрахувати незалежно від заданому асортиментному векторі У як необхідний валовий випускати продукцію x (навіщо використовується матриця P. S), а й необхідні сумарні витрати xn+1, капіталовкладень xn+2 тощо., які забезпечують випуск даної кінцевої продукції У.

Очевидно,.

xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn, (16) xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,.

т.е. сумарне кількість праці та капіталовкладень, необхідні забезпечення асортиментного вектора кінцевої продукції У, рівні скалярним творам відповідних додаткових рядків матриці P. S (вектор У.

Нарешті, об'єднуючи формулу (7) з формулами (16), дійшли наступній компактній форме:

x1 x2.

_: _ x = xn = S (У (17) xn+1 xn+2.

Нехай додатково до даних, вміщеним в табл. 2, відомі за підсумками виконання балансу фактичні витрати xn+1,k (в тис. людино-годин) і капіталовкладень xn+2,k (в тис. крб.), що записані в табл.3.

Переходячи до коефіцієнтам прямих витрат aik, одержимо розширену матрицу:

0.2 0.4.

А (= 0.55 0.1.

0.5 0.2.

1.5 2.0.

Таблиця 3.

№ галузей споживання разом кінцевий валовый.

№ витрат продукт випуск галузей 1 2.

1 100 160.

260 240 500.

2 275 40.

315 85 400.

працю 250 80.

капиталовложе- 750 800 1550.

ния.

Зворотний матриця P. S = (E — A)-1 була вже підрахована у минулому пункте.

З (13) розрахуємо коефіцієнти повних витрат праці (Sn+1,k=S3,k):

_ _.

S31 = a3(S1 = 0.5 (1.8 + 0.2 (1.1 = 1.12 ;

_ _.

S32 = a3(S2 = 0.5 (0.8 + 0.2 (1.6 = 0.72.

и капіталовкладень Sn+2,k = S4, k:

_ _.

S41 = a4(S1 = 1.5 (1.8 + 2.0 (1.1 = 4.9 ;

_ _.

S42 = a4(S2 = 1.5 (0.8 + 2.0 (1.6 = 4.4 .

Отже, розширена матриця P. S (коефіцієнтів повних витрат прийме вид:

1.8 0.8.

P.S (= 1.1 1.6.

1.12 0.72.

4.9 4.4.

Якщо задатися на запланований період колишнім ассортиментным вектором У = 240, то розрахувавши по формулам (16) сумарні витрати xn+1 и.

85 капіталовкладень xn+2, змогли б отримати xn+1 = x3 = 1,12 (240 + 0.72 (85 = 268.8 + 61.2 = 330 тис. чел.-ч. і xn+2 = xn = 4.9 (240 + 4.4 (85 = 1176 + 374 = 1550 тыс. руб., що збігаються з вихідними даними табл.3.

Проте на відміну від табл. 3, де ті сумарні витрати групуються за галузями (250 і 80 чи 750 і 800), тут розподілені за видами кінцевої продукції: продукції 1-ї галузі 268.8 на продукцію 2-ї галузі 61.2; відповідно витрати капіталовкладень становлять 1176 і 374.

При будь-якому новому значенні асортиментного вектора У все показники плану, такі, як валова продукція кожної галузі й сумарні витрати трудових ресурсів немає і капіталовкладень знайдемо з формули (17).

То хай заданий асортиментний вектор У = 480. Тогда.

_ х1 1.8 0.8 1000 x = х2 = 1.1 1.6 480 = 800.

х3 1.12 0.72 170 600.

х4 4.9 4.4 3100.

Звідси укладаємо, що запланований випуск кінцевий продукт У може бути досягнуто при валовому випуску 1-ї та 2-ї галузей: х1=1000 і х2=800, при сумарних витратах праці х3=660 тис. чел.-ч. і за витратах капіталовкладень х4=3100 тыс. руб.

Розглянуті теоретичні і питання приклади розрахунку, звісно, далеко ще не вичерпують важливу для практики область балансових досліджень. Тут проілюстровано лише одна напрям докладання лінійної алгебри в економічних исследованиях.

Задача.

У таблиці вказані видаткові норми два види сировини й палива на одиницю продукції відповідного цеху, трудомісткість продукції человекогодиннику на одиницю продукції, вартість одиниці відповідного матеріалу і оплата за 1 чел.-ч.

Таблица.

Норми расхода.

позначення Стоимость.

I II.

III.

Сировину I 1.4 2.4 0.8 a4 5.

Сировину II — 0.6 1.6 a5 12.

Сировину III 2.0 1.8 2.2 a6 2.

Трудомісткість 10 20 20 а7 12.

Визначити: а) сумарний витрата сировини, палива й трудових ресурсів виконання виробничої програми; б) коефіцієнти прямих витрат сировини, палива й праці в одиницю кінцевої продукції кожного цеху; у розхід сировини, палива й трудових ресурсів цехами; р) виробничі витрати з цехах (в крб.) і всю виробничу програму заводу; буд) виробничі видатки одиницю кінцевої продукции.

Рішення: а) Сумарний витрата сировини I можна було одержати, помноживши відповідну 1-шу рядок другий таблиці на вектор x, т. е.

_ _ 235 а4х = (1.4; 2.4; 0.8) 186 = 1088.

Аналогічно можна отримати роботу витрата сировини II і т.д.

Усе це зручно записати як произведения:

1.4 2.4 0.8 235 1088 Сировину I.

0 0.6 1.6 186 = 746 Сировину II.

2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо.

0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.

б) Витрата сировини I на одиницю кінцевої продукції 1-го цеху (у1=1) знайдемо з висловлювання 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Отже, відповідні коефіцієнти повних витрат сировини, палива й праці в кожну одиницю кінцевий продукт одержимо з твору матрицы:

I II III.

1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сировину I.

0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сировину II.

2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо.

10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд.

Отже, наприклад, виготовлення у1=1 необхідно затратити 1.97 одиниць сировини I, 0.17 одиниць сировини II, 2.53 одиниць палива й 15.2 чол.- год. в) Витрата сировини, палива й т.д. з кожного з цехів одержимо з множення їх видаткових норм на відповідні валові випуски цехами. Через війну одержимо матрицю повних расходов:

I II III.

Сировину I 330 440 318.

Сировину II 0 111 635.

Паливо 470 335 873.

Праця 2350 3720 7940.

г) Виробничі витрати на цехах маємо очікувати шляхом множення зліва рядки вартостей (5; 12; 2; 1.2) на останню матрицу:

330 440 318.

0 111 635 I II III.

(5; 12; 2; 1.2) 470 335 873 = (5410; 8666; 20 484).

2350 3720 7940.

д) Нарешті, виробничі видатки одиницю кінцевої продукції, необхідних визначення собівартості продукції, можемо знайти шляхом множення зліва матриці повних витрат, знайденою в п.б., на рядок цен:

1.97 2.92 1.36.

0.17 0.84 2.09 I II.

III.

(5; 12; 2; 1.2) 2.53 2.60 5.23 = (35.3; 59.6; 75.7).

15.2 24.8 28.0.

Отже, внутрипроизводственные видатки одиницю товарної продукції I, II і III цехів відповідно становлять: 35.3 крб., 59.6 крб., 75.7 руб.