Математические методи в психології

Доклад.

на уроках «Математичні методи в психології» на тему:

«Змінні та його измерение.

Символи, дані і операции.

Позначення сигма (()".

підготувала студентка.

2003 г.

План.

1. Змінні та його измерение.

2. Символи, дані і операции.

3. Позначення сигма (().

Змінні та його измерение.

Перемінними є характеристики осіб або речей, наприклад, вагу, вік, час реакції, швидкість читання, кількість дітей, число студентів. Інтуїція та вітчизняний досвід підказують нам, що з цих змінних безупинні (тобто, виміру їх можуть дати будь-яку значення всередині деякою області), такі вагу, вік та палестинці час реакції. Ми твердо знаємо, деякі перемінні дискретні (тобто їх виміру можуть надавати лише окремі значення), наприклад кількість дітей. Найвідоміші ті дискретні перемінні, які вимірюються внаслідок рахунки. «Кількість дітей «то, можливо 0, 1, 2, 3 … Природно, ця змінна неспроможна приймати проміжні значення, скажімо 1,75.

З іншого боку, переконані, якби лише ми були відповідні прилади, кошти і час, можна було б вимірювати безперервні перемінні з бажаної точністю. Вимірюючи час у змаганнях по бігу, ми воліємо зупинятися на визначенні десятих секунди. Але хоча повідомляється, що відстань 90 м подолано за 10,4 сек, більш точні хронометри міг би показати, що рекордний термін одно 10,416 сік. Але це час не точно; просто воно вірно до тисячних часток секунди. Справжнього, чи точного, виміру перемінної ніколи не можна досягти, оскільки вимір завжди має десь обірвати точне значення (під точним значенням, чи міткою, зайве розуміти «справжню «або зовсім стійку мітку, якої буває. Реальна мітка то, можливо нестабільної у часі). Через це точне значення перемінної - це непряме значення. Воно є наслідком процесу виміру. Не розраховуємо на збіг непрямого і фактичного значень перемінної, але перше задає межі останньому. Наприклад, якщо зростання людини, обмірюваний з точністю до сантиметри, становить 157 див, його дійсний зростання на час і цих умовах перебуває між 156,5 і 157,5 см.

Вимірювання будь-який безупинної перемінної має супроводжуватись визначенням точності процесу виміру. Швидкості хронометрируются з точністю до десятої частки секунд; зростання то, можливо заміряний з точністю до сантиметри; вік — з точністю досі. Чутливість процесу виміру задається мінімальної одиницею цифровий шкали, яка фіксується. Отже, чутливістю у трьох вищенаведених прикладах були відповідно десяті частки секунд, сантиметри і дни.

Ми часто хочемо поставити ті кордону будь-якого знайденого значення, у яких перебуває точне значення. Наприклад, які мінімальні і максимальні справжні значення зростання; які відповідають встановленому зростанню 147 див, якщо вимір здійснюється з точністю до сантиметри? Межі, для точного значення околиці будь-якого знайденого значення встановлюються шляхом додатку і вирахування половини чутливості вимірювального процесу, від знайденого значення. Отже, людина з встановленим зростанням 147 див має дійсний зростання на інтервалі між 147 див — (1 см/2) = 146,5 див і 147 див + (1 см/2) = 147,5 см.

Наступні приклади повинні внести ясність у цю процедуру (визначення меж для точного значення такій формі потребує багато застережень і може розглядатися лише як суто орієнтовний). |Змінна |Чутливість |Результат |Межі точного | | |виміру |виміру |знаения | |Вага |кг |59 кг |58,5−59,5 кг | |Вік |рік |25 років |24 року 6 міс — 25| | | | |років 6 міс | |Час реакції |1/100 сік |0,53 сек |0,525−0,535 сек | |Час пробга |2/10 сек |5,6 сек |5,5−5,7 сік |.

Оцінки в педагогічних і психологічних тестах часто виходять в результаті підрахунку числа правильних відповідей, що дає випробовуваний. Джон відповів правильно на 45 з 90 питань стосовно поділу промови шкільного тесту на визначення здібностей. Тому відповідна цифрова мітка для перемінної «мовні здібності школяра «становить 45. Оскільки ми взагалі розглядаємо перемінні, які у основі педагогічних і психологічних тестів, як безперервні, чутливістю цих измеряющих коштів є одиниця чи одна точка шкали (якщо тести складено із окремих пунктів). Отже, точна мітка Джона у тісті лежить між знаками 44,5 і 45,5. Якщо спочатку це постане перед вами дивним, згадайте, що вимірюється безперервна змінна «мовні здібності школяра », а чи не дискретна «число точних відповідей » .

Практичний питання, який трохи згодом виникне, має стосунку до результатам вимірів і під час обчислень. Якщо 10 вимірів IQ мають однакове значення 105, а межі точного значення утворюють діапазон від 104,5 до 105,5, то 10 міток зазвичай вважаються рівномірно розподіленими в інтервалі, обмеженому межами точного значення. Якщо комусь для жодної мети потрібно дізнатися, скільки міток перевищує 105,2, слід врахувати 3 мітки з десяти в інтервалі від 104,5 до 105,5 (див. рис.). Це зручне припущення приймається щодо середніх величин і розрахунку міток, нижче яких ніяк лежать задані відсотки испытуемых.

Доводиться, на жаль, визнати, що правове поняття меж точних значень дискретних вимірі одна із робочих знарядь статистика. Але й безглуздо говорити, що точну цифру студентів, яких навчає даний викладач, лежить між 33,5 і 34,5 — очевидно, що й 34, — це все-таки іноді це робиться і під час расчетов.

Символи, дані і операции.

Якщо хочемо зазначити безліч чисел взагалі, не записуючи конкретно всі вони, ми вибираємо будь-яку довільну величину, наприклад Хi (читається «X з індексом і «»). X заміняє число; і, зване підрядковим індексом, вказує, яка кількість має i-го номер. Коли індекс зафіксовано, скажімо, на значенні 4, то Х4 означає певна кількість: четвертий член деякою групи. X1 позначає одне число, Х2- інше, причому 1 і 2 є лише позначками чи найменуваннями: ми можемо укласти з урахуванням індексу, що більше — Х1 чи Х2. Ми можемо позначити 4,3; 2,1; 6,7 і 3,5 через Х1, Х2, Х3 і X4. Звісно, ми могли позначити 4,3 через X2 замість X1, як ми зробили. X1- просто перше число з нашого послідовності з n чисел, а Хn — последнее.

Якщо маємо групу з n чисел (числом n то, можливо 2, 3, 100 чи будь-який інший число), то можемо позначити її елементи з допомогою символів X1, Х2, …, Хп. Взагалі i-е вимір (X) є Xi, де і то, можливо якимнибудь однією з індексів 1, 2, …, n.

Дані можуть бути перебувають у таблиці зі рядками і стовпчиками. Кожен елемент такого розташування можна описати, якщо ми знаємо групу (стовпець), де він перебуває, та її становище у цій групі (рядок): |Порядок всередині |Номер групи | |групи | | | |1 |2 |3 | |Перший (1) |Х11 = 4,0 |Х12 = 6,5 |Х13 = 4,4 | |Другий (2) |Х21 = 2,3 |Х22 = 2,1 |Х23 = 5,3 |.

Коли ми пишемо Х12, тут маємо на увазі першу елемент другої групи, 6,5. AM заміняє друге число у третій групі, 5,3. Коли ж ми пишемо Хij, то ми можемо позначати кожне з цих 6 чисел, надаючи і значення 1 чи 2, а j- 1, 2 чи 3.

Припустимо, ви збиралися провести експеримент, у якому 12 людина читали б одну брошуру, а 10 людина — іншу. Цілком можливо, що вам захочеться казати про числах, які вийдуть після цього експерименту, раніше, що вони отримають. Замість сказати: «Я збираюся порівняти третій номер У першій групі з іншим номером. у другий групі «, ви можете сказати: «Гадаю порівняти Х31 з Х22 ». Символи мають стати корисним і стенографічно ощадливим средством.

Дані можна класифікувати стосовно кожному кількості характеристик.

Позначення сигма (().

Аналіз більшості даних включає, ніби між іншим, складання, віднімання, множення і розподіл чисел. Оскільки хочемо поговорити про виконання цих операцій над групою чисел взагалі, зробимо операції у символах замість чисел.

Послідовність Х1, Х2, …, Хп є групою з n чисел, кожне число яких можна записати як Xi. Х1 + Х2 заміняє суму першого і другого чисел. Порядок індексів зазвичай цілком довільний. З тим самим успіхом можна було б послуговуватись Х2 + Х1 Х1 + Х2 + Х10 є сумою першого, другого і десятого номеров.

Ми часто хочемо скласти всю числа групи. Якщо групі є 5 чисел, то n = 5, а сума всіх чисел дорівнює Х1 + Х2 + … + Х5 Х1 + Х2 + … + Xn позначає суму всіх n чисел групи, коли точне значення n не сговорено.

Скорочення записи для Х1 + Х2 + … + Xn, яке часто вживається, така: [pic]Хi.

[pic]Хi позначає Х1 + Х2 + … + Xn.

[pic]Хi = Х1 + Х2 + X3 [pic]Хi = Х3 + Х4 + X5.

(- це грецька прописна літера «сигма ». [pic]Хi читається як «сума Хi коли і пробіга значення від 1 до 5 ». [pic]Хi читається як «сума Хi коли і пробіга значення від 1 до n » .

Загальновизнано, що стисле позначення (є ощадливим. Статистики беруть із этою велику пользу.

Складання чисел, помножених, наприклад, на 6 чи зведених в квадрат (це що означає помножених його ж), здійснюється, звісно ж. Припустимо, хочемо помножити кожна з n чисел на 2 й примусити скласти результати. Бажана сума есть.

2X1 + 2X2+…+2Xn.

Отже ви напевно помітите, що ця сума — той самий, що и.

2(X1 + X2+…+Xn).

Використовуючи (-позначення, ми можемо замінити (X1 + 2X2+…+2Xn) на [pic]Хi Результат можна записати так:

2X1 + 2X2+…+2Xn = [pic]2Хi = 2[pic]Хi.

Цей результат виник внаслідок будь-якого магічного властивості числа 2: з числами 4, 60 чи 131,4 результат буде хоча б. У насправді, якщо з є якесь постійне число (тобто число, яке залежить від і), то сX1 + сX2+…+сXn = [pic]сХi = с[pic]Хi (Правило 1).

Якщо постійне число (константу) з додати до кожного з n чисел, то получим.

X1 + з, X2+ з, …, Xn + с.

Сума цих значений.

(X1 + з) + (X2+ з) + … + (Xn +з) = [pic](Xi +с).

При додаванні ми можемо перегрупувати вересня будь-якому порядку до того, як складывать.

[pic](Xi +з) = (X1 + X2+…+Xn) + (з + з + … + с).

Перша сума круглі дужки справа дає [pic]Хi.

Яка ж друга сума круглі дужки? Скільки з складено? Відповідь: n. Тому друга сума дорівнює nс. Следовательно,.

[pic](Xi +з) = [pic]Хi + [pic]с = [pic]Хi + nс (Правило 2).

Інший важливий вираз — сума квадратів n чисел.

(X1 [pic] X1) + (X2 [pic] X2) + … + (Xn [pic]Xn) = [pic] + [pic] + …

+ [pic], яке символічно змальовується як [pic]Х[pic].

Аналогично.

[pic] + [pic] + … + [pic] = [pic]Х[pic] хоча у елементарної статистиці цей вислів зустрічається редко.

Зауважимо, що [pic]Хi символічно зображує однину: число, яке виходить додаванням n чисел.

[pic]Хi то, можливо 10, 13 чи 1300. с[pic]Хi цей витвір двох чисел сек. і [pic]Хi. ([pic]Хi) ([pic]Хi) є твором числа (деякою суми), помноженого на себе. Ми також запишемо це наступним образом:

([pic]Хi) ([pic]Хi) = ([pic]Хi)2.

Якщо Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то [pic]Хi = 10, а ([pic]Хi)2 = 100.

Звичайним в статистичному аналізі є выражение.

[pic](Xi +с)2 = (X1 + с)2 + (X2+ с)2 + … + (Xn +с)2 (Xi +с)2, однакову (Xi +з) (Xi +з), інакше можна записати так:

Xi + с.

[pic].

[pic].

Справді, тогда.

[pic](Xi +с)2 = [pic](Х[pic] + 2сХi +с2).

Вислів в дужках можна записати n раз наступним образом:

Х[pic] + 2сХ1 +с2.

Х[pic] + 2сХ2 +с2.

… … …

… … …

Х[pic] + 2сХn +с2.

Чому дорівнює сума першого шпальти даного висловлювання? Вона дорівнює Х[pic]+ Х[pic] + … + Х[pic] = [pic]Х[pic]. Яка сума другого шпальти? Вона составляет.

2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn), що як коротко можна записати як 2с[pic] Хi. Яка сума третього шпальти? Це с2 + с2 + … + с2 = nc2. Складаючи суми цих шпальт, имеем.

[pic](Xi +с)2 = [pic]Х[pic] + 2с[pic]Хi.+ nc2. (Правило 3).

Хоча такі дії правильні, вони не містять необхідності. Натомість можна «розподілити «знак підсумовування перед кожним членом й одержати безпосередньо хоча б результат:

[pic](Xi +с)2 = [pic](Х[pic] + 2сХi +с2) = [pic]Х[pic] + [pic]2сХi +.

[pic]с2 =.

= [pic]Х[pic] + 2с[pic]Хi.+ nc2.

———————————;

††???††††???†††???††††???

105,5.

105,2.

104,5.

105,0.