Совершенствование валютних операцій Проминвестбанка

Формування оптимального портфеля цінних бумаг.

Завдання 1. Формування оптимального портфеля цінних паперів по модели.

Марковица.

Мета роботи: Одержати практичні навички та вміння формування портфелів цінних бумаг.

Порядок виконання задания.

1. Розрахувати по формулам (3−4) параметри математичну модель (2).

2. Скласти математичну модель оптимального портфеля (2) критерієм мінімального риска.

3. Вирішити завдання й визначити частки капіталу для придбання цінних паперів кожного вида.

4. Скласти математичну модель оптимального портфеля критерієм максимальної дохідності і заданого риска.

5. Вирішити задачу.

Стислі теоретичні сведения.

На фінансовому ринку обертається, зазвичай, кілька типів цінних паперів: державні цінних паперів, муніципальні облігації, корпоративні акції та т.п. Якщо в учасника ринку є вільні гроші, їх можна віднести до банку та отримувати відсотки чи купити ними цінні папери отримувати [pic][pic]дополнительный дохід. Однак у який банк віднести? Які цінних паперів купити? Цінні папери з низькими ризиками, зазвичай, і малодоходны, високоприбуткові, зазвичай, більш рискованны. Економічна наука може дати деякі рекомендації на вирішення цього вопроса.

Постановка завдання про оптимальному портфелі Марковица.

Розглянемо спільне завдання розподілу капіталу, який учасник ринку хоче витратити для закупівлі цінних паперів. Мета інвестора — укласти гроші те щоб зберегти свій капітал, а за можливості й наростити его.

Набір цінних паперів, утримуваних учасника ринку, називається його портфелем. Вартість портфеля — це сумарна вартість складових його паперів. І сьогодні його є Р, а ще через рік дорівнюватиме Р/, то (Р/- Р)/Р природно назвати дохідністю портфеля у відсотках річних. Тобто. дохідність портфеля — це дохідність на одиницю його стоимости.

Нехай xi — частка капіталу, витрачена для придбання цінних паперів i-го виду. Весь виділений капітал приймається за одиницю. Нехай diдохідність інвестицій у відсотках річних паперів i-го виду для одну грошову единицу.

Знайдемо доходність усього портфеля dp. З одного боку, за рік капітал портфеля дорівнюватиме 1+dp, з іншого — вартість паперів i-го виду збільшиться з x до хi+dixi, отже сумарна вартість портфеля будет.

[pic]+[pic][pic]=1+[pic]xidi. Прирівнюючи обидва висловлювання для вартості портфеля, получаем.

1+dp = 1+[pic]xidi. dp=[pic]xidi (1).

Отже, завдання збільшення капіталу портфеля еквівалентна аналогічної завданню про дохідності портфеля, вираженої через дохідності паперів та його частки формулою (1).

Зазвичай, дохідність коливається у часі, отже вважатимемо її випадкової величиною. Нехай mi, [pic]i — середня очікувана дохідність та середнє квадратическое відхилення (СКО) цієї випадкової дохідності, т. е.

[pic] mi=M[pic] - математичне очікування дохідності і ri=[pic], де Vii — дисперсія і - і дохідності. Будемо називати mi, ri відповідно ефективністю і ризиком і - і цінних паперів. Через Vij позначимо ковариацию доходностей цінних паперів і - го і j — го видів (чи кореляционный момент Кij).

Оскільки дохідність складових портфель цінних паперів випадкова, те й дохідність портфеля є й випадкова величина. Математичне очікування дохідності портфеля є M[pic]=x1M[pic]+…+xnM[pic]=[pic], позначимо його через mp. Дисперсія дохідності портфеля є D[pic] =.

[pic]. Також, як й у цінних паперів назвемо mpефективністю портфеля, а величину [pic]p=[pic] - ризиком портфеля rp. Зазвичай дисперсія дохідності портфеля позначається Vp.

Кожен власник портфеля цінних паперів стикається з дилемою: хочеться мати ефективність більше, а ризик менше. Проте поскольку.

«не можна впіймати двох зайців відразу», необхідно зробити певний вибір між ефективністю і ризиком (цей вибір, зрештою, визначається ставленням ЛПР до ефективності і риску).

Модель оптимального портфеля Марковица, що забезпечує мінімальний ризик та задану дохідність має вид:

[pic](2).

Необхідно визначити: x1, x2…xn.

Оптимальний портфель Марковица максимальної дохідності і заданного,.

(прийнятного) ризику rp можна в виде:

[pic](3).

Основні розрахункові формули для обчислення работы.

Вихідні дані до розрахунку є таблиця дохідності цінних бумаг:

|1 |2 |… |і |… |j |… |n-1 |n | | | | |di1 | |dj1 | | | | | | | |di2 | |dj2 | | | | | | | |… | |… | | | | | | | |dik | |djk | | | | | | | |… | |… | | | | | | | |din | |djn | | | |.

Середнє арифметичне дохідності і - ой цінних паперів вираховується за формулою: di[pic] (4).

Kовариация чи кореляційний момент доходностей цінних бумаг:

Vij=M[pic][pic][pic] (5), де [pic] і [pic][pic] - відхилення доходностей іі і j- і паперів середньої арифметичній доходности.

Розглянуті моделі ставляться до моделям нелінійного программирования.

Аби вирішити слід застосувати метод пов’язаних градієнтів чи метод.

Ньютона. За позитивного рішення рекомендується використовувати табличний процесор Excel та її надбудови Аналіз даних, і Пакет анализа.

Варіанти заданий:

Види цінних паперів та його доходности.

|вариан|Акции |Акції |Акції |Акції |Акції |Акції |mp |rp | |т |типу 1 |типу 2 |типу 3 |типу 4 |типу 5 |типу 6 | | | |1 |11,954 |13,907 |14,263 |14,611 |13,491 |12,424 |13 |0,0| | | | | | | | | |88 | | |11,913 |12,074 |11,960 |15,207 |13,367 |14,318 | | | | |11,572 |12,654 |14,203 |11,762 |13,568 |14,922 | | | | |12,591 |12,880 |13,333 |13,217 |14,256 |15,677 | | | | |11,638 |12,269 |12,537 |13,624 |13,694 |13,718 | | | | |12,536 |13,659 |13,864 |12,909 |12,687 |14,753 | | | |2 |11,820 |13,783 |12,361 |14,612 |12,084 |13,537 |12,5 |1 | | |11,806 |11,931 |12,132 |13,444 |13,332 |15,209 | | | | |13,376 |13,424 |14,519 |14,817 |13,918 |16,153 | | | | |12,175 |12,381 |14,647 |13,911 |13,596 |14,714 | | | | |10,139 |12,112 |11,820 |10,399 |11,604 |13,345 | | | | |11,786 |13,505 |13,440 |14,856 |12,688 |13,533 | | | |3 |11,574 |12,955 |14,174 |14,016 |13,100 |13,394 |13,3 |0,2| | |12,602 |13,421 |14,663 |15,042 |13,572 |15,713 | | | | |12,012 |12,654 |12,996 |13,896 |13,463 |12,148 | | | | |12,245 |13,043 |14,517 |15,338 |14,976 |14,063 | | | | |12,502 |13,879 |13,744 |14,726 |13,145 |12,669 | | | | |12,976 |13,482 |14,434 |15,594 |15,467 |14,364 | | | |4 |14,162 |15,191 |16,511 |15,118 |14,409 |17,416 |14 |0,7| | | | | | | | | |7 | | |12,522 |12,995 |15,415 |15,263 |14,700 |13,072 | | | | |13,123 |15,042 |13,177 |16,430 |14,913 |14,860 | | | | |12,043 |12,570 |14,005 |14,864 |12,917 |12,820 | | | | |11,472 |12,600 |11,845 |12,878 |14,097 |14,554 | | | | |12,441 |13,296 |13,139 |15,486 |12,849 |14,172 | | | |5 |11,265 |12,891 |11,612 |12,845 |11,401 |13,668 |12,8 |2 | | |12,131 |12,365 |12,890 |12,283 |13,833 |15,160 | | | | |14,480 |15,143 |17,277 |15,657 |14,960 |15,963 | | | | |12,572 |13,837 |12,596 |13,157 |15,296 |16,424 | | | | |10,865 |12,623 |11,558 |14,056 |10,873 |14,489 | | | | |11,962 |12,287 |13,799 |12,841 |13,769 |15,677 | | | |6 |10,908 |11,940 |12,719 |11,464 |12,486 |11,458 |13,123|3,2| | | | | | | | | |3 | | |9,766 |9,842 |10,987 |10,843 |12,003 |13,471 | | | | |11,702 |12,463 |13,454 |12,725 |13,619 |13,226 | | | | |11,472 |12,097 |12,784 |12,302 |14,188 |12,603 | | | | |13,503 |13,740 |13,848 |14,758 |15,457 |13,570 | | | | |15,456 |16,452 |16,450 |17,013 |17,052 |17,229 | | | |7 |10,161 |12,144 |10,537 |13,397 |10,223 |12,266 |12 |1,2| | |11,492 |12,945 |11,892 |12,298 |12,097 |11,582 | | | | |12,428 |12,895 |15,227 |13,407 |14,462 |14,330 | | | | |12,416 |13,050 |14,567 |15,240 |13,731 |13,284 | | | | |10,813 |12,380 |12,008 |14,134 |10,968 |11,675 | | | | |13,388 |14,643 |15,659 |16,734 |15,631 |16,916 | | | |8 |9,889 |11,603 |11,612 |12,721 |11,453 |12,102 |13,25 |2 | | |12,517 |13,256 |12,947 |12,596 |12,853 |13,036 | | | | |12,786 |12,822 |15,447 |14,452 |15,143 |16,247 | | | | |11,863 |12,114 |13,359 |13,437 |11,913 |15,300 | | | | |11,444 |13,292 |13,703 |11,504 |13,406 |15,255 | | | | |14,696 |15,946 |16,829 |17,698 |16,051 |17,140 | | | |9 |11,999 |13,995 |13,415 |12,868 |12,339 |13,682 |13,333|0,0| | | | | | | | | |8 | | |12,241 |12,793 |14,227 |13,426 |12,656 |15,808 | | | | |12,120 |13,933 |14,592 |13,354 |12,278 |14,786 | | | | |11,506 |13,401 |12,193 |13,845 |12,406 |13,317 | | | | |12,376 |13,710 |15,068 |13,133 |12,707 |14,716 | | | | |12,148 |13,970 |15,119 |12,886 |14,518 |13,300 | | | |10 |11,293 |11,493 |13,753 |12,936 |12,881 |13,820 |12 |0,3| | |12,112 |12,919 |12,415 |14,048 |14,770 |14,310 | | | | |11,429 |13,098 |14,277 |14,551 |11,639 |13,524 | | | | |10,526 |11,988 |11,705 |12,466 |11,825 |10,864 | | | | |11,467 |13,364 |12,171 |11,631 |11,923 |13,764 | | | | |11,467 |13,334 |12,338 |14,208 |12,271 |13,324 | | | |11 |11,954 |13,381 |14,468 |12,274 |13,094 |13,014 |12 |0,4| | |11,913 |12,754 |14,452 |13,449 |14,079 |14,121 | | | | |11,572 |12,623 |11,901 |12,132 |13,555 |14,708 | | | | |12,591 |14,289 |12,943 |15,645 |15,376 |15,788 | | | | |11,638 |12,955 |12,637 |11,702 |12,786 |13,542 | | | | |12,536 |14,495 |14,612 |14,490 |12,852 |12,658 | | | |12 |11,820 |12,832 |13,906 |12,432 |13,609 |12,919 |12,8 |0,5| | |11,806 |12,724 |14,135 |14,936 |14,227 |14,873 | | | | |13,376 |14,119 |14,326 |15,519 |15,372 |15,364 | | | | |12,175 |12,236 |14,132 |13,943 |12,417 |13,732 | | | | |10,139 |12,117 |10,606 |10,683 |10,995 |12,416 | | | | |11,786 |12,572 |14,074 |15,135 |14,459 |12,269 | | | |13 |11,574 |11,725 |11,798 |12,740 |13,207 |13,470 |13,5 |0,2| | | | | | | | | |5 | | |12,602 |14,100 |13,887 |14,496 |13,683 |15,434 | | | | |12,012 |13,772 |14,191 |13,929 |13,937 |13,956 | | | | |12,245 |12,743 |14,992 |15,045 |14,583 |12,772 | | | | |12,502 |13,123 |15,173 |13,344 |12,592 |14,666 | | | | |12,976 |13,812 |15,706 |15,414 |15,655 |14,494 | | | |14 |14,162 |15,519 |16,403 |17,273 |15,211 |18,008 |12 |0,5| | | | | | | | | |96 | | |12,522 |12,853 |15,488 |15,031 |14,035 |14,447 | | | | |13,123 |13,967 |13,330 |14,221 |13,849 |16,304 | | | | |12,043 |13,658 |13,493 |13,774 |14,343 |13,151 | | | | |11,472 |12,136 |14,103 |12,386 |12,564 |13,363 | | | | |12,441 |13,616 |12,717 |14,347 |15,090 |15,575 | | | |15 |11,265 |12,052 |14,016 |14,047 |12,064 |11,667 |13 |0,7| | |12,131 |12,983 |12,296 |15,291 |14,095 |13,940 | | | | |14,480 |16,275 |16,717 |16,194 |15,413 |15,427 | | | | |12,572 |13,244 |14,897 |14,571 |15,340 |15,674 | | | | |10,865 |11,659 |10,923 |11,533 |13,089 |11,709 | | | | |11,962 |13,388 |12,492 |14,907 |13,977 |14,358 | | | |16 |10,908 |11,114 |13,790 |11,873 |13,029 |11,012 |13,5 |2 | | |9,766 |11,117 |12,354 |11,287 |12,546 |10,249 | | | | |11,702 |12,455 |13,484 |12,153 |13,075 |12,310 | | | | |11,472 |12,053 |11,617 |14,065 |11,503 |13,322 | | | | |13,503 |14,469 |14,195 |16,018 |14,812 |15,556 | | | | |15,456 |17,355 |16,685 |15,598 |16,603 |19,311 | | | |17 |10,161 |10,431 |10,695 |13,393 |11,153 |11,751 |12 |0,6| | | | | | | | | |8 | | |11,492 |13,087 |11,889 |12,564 |13,613 |11,699 | | | | |12,428 |14,259 |12,561 |13,100 |13,888 |14,348 | | | | |12,416 |14,059 |12,522 |13,706 |14,389 |13,536 | | | | |10,813 |10,818 |12,951 |12,192 |11,765 |14,450 | | | | |13,388 |14,590 |14,628 |14,764 |14,307 |16,962 | | | |18 |9,889 |11,198 |10,095 |12,783 |11,183 |10,835 |13,33 |1,5| | |12,517 |13,735 |14,247 |13,208 |15,072 |15,429 | | | | |12,786 |13,231 |15,070 |13,013 |14,133 |16,174 | | | | |11,863 |12,183 |13,377 |13,203 |11,916 |12,421 | | | | |11,444 |11,999 |13,243 |14,233 |13,024 |12,491 | | | | |14,696 |14,906 |14,730 |17,126 |17,331 |15,297 | | | |19 |11,999 |12,509 |12,361 |14,850 |14,026 |15,078 |10 |0,1| | |12,241 |13,124 |15,153 |14,655 |15,038 |15,460 | | | | |12,120 |12,240 |12,945 |12,701 |13,006 |13,616 | | | | |11,506 |12,815 |13,497 |13,746 |13,218 |14,658 | | | | |12,376 |12,808 |14,477 |15,690 |14,127 |12,427 | | | | |12,148 |13,932 |13,771 |14,039 |14,440 |12,250 | | | |20 |11,293 |11,563 |14,165 |14,763 |12,874 |14,426 |12 |0,2| | | | | | | | | |8 | | |12,112 |13,348 |13,988 |12,222 |14,409 |13,381 | | | | |11,429 |11,680 |14,364 |11,472 |13,201 |11,925 | | | | |10,526 |11,960 |11,740 |12,709 |12,061 |12,319 | | | | |11,467 |11,774 |11,862 |12,466 |12,013 |12,865 | | | | |11,467 |11,747 |12,326 |13,699 |13,968 |12,173 | | | |21 |11,954 |13,543 |13,158 |14,299 |14,420 |12,797 |13,6 |0,0| | | | | | | | | |6 | | |11,913 |12,292 |13,565 |13,888 |13,886 |12,930 | | | | |11,572 |11,745 |12,146 |12,162 |13,720 |15,055 | | | | |12,591 |14,354 |12,829 |14,346 |13,412 |16,083 | | | | |11,638 |13,317 |13,026 |11,899 |14,227 |13,862 | | | | |12,536 |14,156 |14,004 |15,164 |14,165 |12,651 | | | |22 |11,820 |12,499 |11,834 |15,220 |12,420 |12,394 |13,281|0,5| | |11,806 |12,803 |14,115 |14,830 |12,295 |14,506 | | | | |13,376 |13,724 |15,571 |14,055 |15,511 |14,009 | | | | |12,175 |13,275 |14,218 |14,957 |13,936 |12,930 | | | | |10,139 |10,635 |10,975 |12,273 |10,431 |13,031 | | | | |11,786 |13,607 |14,470 |14,452 |13,871 |12,949 | | | |23 |11,574 |12,615 |12,977 |14,600 |11,962 |12,629 |12,630|1 | | | | | | | | |4 | | | |12,602 |14,600 |13,219 |12,806 |14,657 |13,855 | | | | |12,012 |12,482 |12,072 |13,876 |13,781 |12,645 | | | | |12,245 |14,012 |13,432 |14,994 |14,489 |14,450 | | | | |12,502 |12,511 |12,574 |12,581 |13,727 |13,138 | | | | |12,976 |14,279 |15,732 |15,464 |15,332 |15,686 | | | |24 |14,162 |15,097 |16,664 |15,119 |15,614 |16,602 |14 |0,9| | | | | | | | | |9 | | |12,522 |13,107 |13,259 |15,520 |14,122 |15,000 | | | | |13,123 |13,462 |14,243 |15,733 |14,196 |13,900 | | | | |12,043 |12,656 |14,471 |13,502 |13,883 |15,184 | | | | |11,472 |12,402 |14,301 |11,937 |12,424 |13,662 | | | | |12,441 |12,922 |12,501 |14,496 |14,711 |16,107 | | | |25 |11,265 |12,585 |11,693 |11,892 |12,272 |11,771 |13,050|1,8| | | | | | | | |3 | | | |12,131 |13,804 |14,553 |12,888 |12,203 |13,570 | | | | |14,480 |15,883 |16,938 |17,964 |15,827 |16,217 | | | | |12,572 |13,682 |14,710 |13,215 |14,412 |12,883 | | | | |10,865 |11,008 |12,093 |10,942 |11,787 |14,353 | | | | |11,962 |12,771 |12,948 |12,553 |14,741 |14,898 | | | |26 |10,908 |12,573 |13,457 |13,093 |13,315 |12,251 |13,476|2,5| | | | | | | | |8 | | | |9,766 |11,044 |11,508 |11,785 |10,927 |10,205 | | | | |11,702 |13,345 |13,567 |14,966 |14,416 |13,449 | | | | |11,472 |11,740 |12,569 |12,698 |13,065 |11,547 | | | | |13,503 |14,632 |16,452 |14,309 |15,559 |16,024 | | | | |15,456 |16,674 |17,416 |16,571 |17,512 |19,215 | | | |27 |10,161 |12,013 |12,309 |13,480 |10,737 |10,362 |12,653|2 | | | | | | | | |1 | | | |11,492 |12,874 |12,130 |11,774 |12,208 |13,078 | | | | |12,428 |14,133 |13,361 |15,555 |13,970 |12,772 | | | | |12,416 |13,743 |12,485 |15,630 |14,477 |14,736 | | | | |10,813 |10,866 |12,196 |10,991 |12,082 |11,145 | | | | |13,388 |15,128 |13,703 |16,777 |13,895 |17,200 | | | |28 |9,889 |11,361 |10,420 |10,167 |10,772 |11,689 |13,209|1,8| | |12,517 |12,568 |13,011 |12,590 |13,770 |14,967 | | | | |12,786 |14,656 |12,976 |13,292 |14,371 |13,211 | | | | |11,863 |13,064 |14,263 |15,093 |13,658 |12,023 | | | | |11,444 |12,354 |13,277 |12,915 |13,978 |15,040 | | | | |14,696 |16,068 |17,289 |15,475 |15,921 |16,822 | | | |29 |11,999 |13,785 |12,086 |13,075 |12,001 |14,557 |12,489|0,4| | | | | | | | |1 |88 | | |12,241 |13,972 |12,655 |15,409 |14,427 |15,364 | | | | |12,120 |12,223 |13,483 |14,749 |13,943 |15,458 | | | | |11,506 |12,741 |13,154 |14,019 |13,421 |14,352 | | | | |12,376 |12,607 |15,165 |15,504 |12,505 |16,273 | | | | |12,148 |13,647 |13,685 |13,575 |13,531 |13,580 | | | |30 |11,293 |11,455 |11,496 |13,262 |12,301 |13,370 |12,126|0,5| | | | | | | | |05 | | | |12,112 |13,212 |14,231 |14,946 |12,130 |13,687 | | | | |11,429 |12,990 |11,766 |14,277 |12,649 |12,901 | | | | |10,526 |10,985 |11,664 |10,955 |12,575 |11,408 | | | | |11,467 |13,087 |13,639 |12,660 |11,969 |14,170 | | | | |11,467 |12,661 |13,769 |11,926 |13,023 |14,202 | | |.

Завдання 2. Формування оптимального портфеля цінних паперів по модели.

Тобина.

Порядок виконання задачи.

1. Відповідно до варіантом завдання отримати дані про ефективності безризикових паперів [pic]и допустимому ризику портфеля [pic].

2. Дані ефективності ризикових паперів [pic] й необхідні результати розрахунків узяти з попередньої задачи.

3. Скласти математичну модель портфеля Тобина мінімального риска.

(1) і вирішити ее.

4. Скласти математичну модель портфеля Тобина максимальної дохідності і розв’язати цю проблему. При чисельній рішенні використовувати метод пов’язаних градієнтів чи Ньютона. Для обчислень можна використовувати ЭВМ.

5. Зробити висновки з работе.

Стислі теоретичні сведения.

Портфель Тобина мінімального риска.

[pic] (1) де m0 — ефективність безризикових паперів; x0 — частка капіталу вкладена в безрисковые папери; xi, xj — частка капіталу вкладена в цінних паперів i-го і j-го видів; mi — математичне очікування (середнє арифметичне) дохідності і - і цінних паперів; vij — кореляційний момент між ефективністю паперів i-го і j -го видов;

Портфель Тобина максимальної эффективности.

[pic](2).

де rp — ризик портфеля.

Розрахункові формули аналогічні формулам завдання складання оптимального портфеля цінних паперів Марковица.

Варіанти заданий.

|№ варіанта |m0 |rp |mp |№ варіанта |m0 |rp |X0 | |1 |10 |0,3 |13,5 |16 |9 |0,05 |12,2| |2 |10 |0,3 |13,3 |17 |9 |0,05 |12,2| |3 |10 |0,3 |12,55 |18 |9 |0,05 |12,2| |4 |10 |0,3 |12,55 |19 |9 |0,05 |12,2| |5 |10 |1 |12,55 |20 |9 |0,05 |12,2| |6 |10 |0,5 |12,7 |21 |9 |0,05 | | |7 |10 |0,04|12,7 |22 |9 |0,088 |12,8| |8 |10 |0,04|12,7 |23 |9 |0,09 |12,8| |9 |10 |0,04|12,7 |24 |9 |0,12 |12,8| |10 |10 |0,04|12,7 |25 |9 |0,1 |12 | |11 |8 |0,05|12,7 |26 |9 |0,05 |12 | |12 |8 |0,05|12,7 |27 |9 |0,05 |12,3| |13 |8 |0,09|12,5 |28 |9 |0,12 |12,2| |14 |8 |0,05|12,5 |29 |8 |0,1 |12 | |15 |9 |0,05|12,2 |30 |8 |0,1 |12 |.