П'єр де Ферма

П'єр де Ферма.

Аналітик, чи чесний !

Інакше вночі Эквидомидмститель.

Стисне твоє горло смертельної тоской.

Луї Феррон, «Досвід мюидальной геометрии».

«П'єр, син Домініка Ферма, буржуа та другого Консулату міста Бомона, хрещений 20 серпня 1601 р. Хрещений батько — П'єр Ферма, купець і брат названого Домініка, хрещена мати — Жанна Казнюв, і це». Підпис відсутня, але попередня запис підписано: «Дюма, вікарій». Документ шукали півтора століття і знайшли лише в 1846 р. завдяки зусиллям адвоката Топиака. Доти вважалося, що Ферма народився також і помер Тулузі, де 34 (!) року справно служив чиновником касаційної палати Тулузького парламенту. Маленький містечко Бомон лівому березі Гаронни поблизу Монтабане-на-Тарне (мови у Франції понад 34 Бомонов) і всі його у п’ять тисяч жителів по сьогодні над силах усвідомити значимість знахідки скрупульозного адвоката. Тут народився великий Ферма, останній математик-алхимик, решавший пусті завдання прийдешніх століть, найтихіший суддівський гачок, лукавий сфінкс, що замучив людство своїми загадками, обережний і ґречний чинуша, подтасовщик, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, одне із чотирьох титанів математики нового времени.

Цей сучасник Д’Артаньяна майже виїжджав з Тулузи, де осів після одруження на кузині про свою матір Луїзі де Лон, дочки радника тогонародних депутатів України. Завдяки тестю він дослужився до звання радника і придбав жадану приставку «де». Син третього стану, практичний нащадок багатих чинбарів, нашпигований латиною і францисканским благочестям, у нього було собі грандіозних завдань у житті. Він мав п’ятьох чад, згодом стали суддівськими чиновниками і священиками. Дві дочки Ферма прийняли монашество.

У свій бурхливий століття він проводив грунтовно допрацьований і тихо. Він писав філософських трактатів, як Декарт, ні наперсником французьких королів, як Виет, не воював, не подорожував, не створював і відвідував математичні гуртки, у відсутності учнів, і майже друкувався за життя. Чиновникам провінційних судів наказувалося вести замкнуту життя, уникаючи будь-яких проявів публічності. Мабуть Ферма, вважаючи себе солідним людиною, соромився своєї пристрасті до поширеним формальним ігор. По схилу років нашого героя пише: «Оскільки, відверто кажучи, вважаю геометрію самим високим упражнением для розуму, але водночас настільки непотрібним, що мало різницю між людиною, котрий займається лише геометрією, і майстерним ремісником. Я називаю геометрію найпрекраснішою професією в світі, проте лише професією, і це часто кажу, що вона хороша для проби сил, але з у тому, щоб піде у неї всі сили…». Відтоді він змінює собі тільки перед смертю, опублікувавши в Тулузі далеко ще не найблискучіші з своїх знахідок у невеликому трактаті «Про порівнянні кривих ліній прямими». Не виявивши ніяких свідомих претензій цього разу місце історія, Ферма несподівано вмирає у віці 64 років під час подорожі у справі службы.

Його прижиттєва популярність полягає в багатою листуванні, в якій він дошкуляв на друзів і недругів незвичними завданнями. Його посмертна слава розрослася завдяки скромним пометкам з полів «Арифметики» Диофанта. Зазвичай людству необхідно дещо десятиліть, щоб розібратися зі спадщиною чергового неуемного генія. Навіть такий загадковий «обранець богів» як Эварист Галуа випередив свій час максимум — на 60 років. На остаточне осмислення загадок Ферма знадобилося майже чотири століття. О, Ваша честь, щонайдобріша пан П'єр, чому від Вас так пахне сірої ?

Інтерес Вільгельма до математиці намітився у Ферма якось зненацька і в досить зрілому віці. У 1629 р. до його рук потрапляє латинський переклад роботи Паппа, у якому коротку зведення результатів Аполлония про властивості конічних перетинів. Ферма, поліглот, знавець правничий та античної філології, раптом за мету повністю відновити хід міркувань знаменитого вченого. З тим-таки успіхом сучасний адвокат може спробувати самостійно відтворити всі докази у монографії по алгебраїчній топології. Проте, немислиме підприємство увінчалася успіхом. Понад те, вдаючись у геометричні побудови древніх, він робить дивовижне відкриття: перебування максимумів і мінімумів площ постатей непотрібні хитромудрі креслення. Завжди можна скласти і вирішити якесь просте алгебраїчне рівняння, коріння якого визначають екстремум. Он алгоритм, що стане основою диференціального обчислення. У обривках листів, в незавершених рукописах крізь громіздкі вербальні позначення латиною чітко проступає щось болісно знакомое:

[pic] .

Він швидко просунувся далі. Він знайшов достатні умови існування максимумів, навчився визначати точки перегину, провів касательные до всіх відомих кривим другого і третього порядку. Ще кілька років, і він знаходить новий суто алгебраїчний метод перебування квадратур для парабол і гіпербол довільного порядку (тобто з дитинства інтегралів від функцій виду yp = Cxq і ypxq = З), обчислює площі, обсяги, моменти інерції тіл обертання. Це справжній прорив. Відчуваючи це, Ферма починає шукати спілкування з математичними авторитетами на той час. Він впевнений у собі і жадає признания.

У 1636 р. він пише перше лист Його преподобію Марену Мерсенну: «Святий отець! Я Вам надзвичайно вдячний честю, яку Ви мені надали, подавши сподівання, що зможемо розмовляти письмово; …Я радий дізнатися щось від Вас про усіх «нових трактатах і книжках з Математиці, які з’явилася протягом останніх п’яти-шести років. …Я знайшов також багато аналітичних методів щодо різноманітних проблем, як числових, і геометричних, на вирішення яких аналіз Виета недостатній. Все це я поділюся з вами, коли ви захочете, до того ж це без будь-якого зарозумілості, від якого більш вільний і більше далекий, ніж будь-який інший на свете.».

Хто такий батько Мерсенн? Це францисканський чернець, учений скромних обдарувань і чудовий організатор, протягом 30 років очолював паризький математичний гурток, який став справжнім центром французької науки. Згодом гурток Мерсенна указом Людовіка XIV буде перетворено в Паризьку академію наук. Мерсенн невпинно вів величезну листування, та її келія в монастирі ордена минимов на Королівської площі була свого роду «поштамтом всім учених Європи, починаючи з Галілея і закінчуючи Гоббсом». Листування заміняла тоді наукові журнали, що з’явилися значно пізніше. Збіговиська у Мерсенна відбувалися щотижня. Ядро гуртка становили найблискучіші натуралісти того часів: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди звісно ж знаменитий і повсюдно визнаний Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянська мантія, два пологових маєтку, основоположник картезианства, «батько» аналітичної геометрії, одного з засновників нової математики, а як і друг і товариш Мерсенна по єзуїтського коледжу. Цей чудова людина стане реальністю для Ферма.

Мерсенн вважав результати Ферма досить цікавими, щоб запровадити провінціала на свій елітний клуб. Ферма відразу зав’язує листування зі багатьма членами гуртка і дослівно засинає листами самого Мерсенна. З іншого боку він відсилає на суд вчених чоловіків закінчені рукописи: «Запровадження до пласким і тілесним місцях», а через рік — «Спосіб відшукання максимумів і мінімумів» і «Відповіді стосовно питань Б. Кавальери». Те, що викладав Ферма була абсолютна новина, проте сенсація все-таки відбулося. Сучасники не здригнулися. Вони малий, що зрозуміли, зате знайшли однозначні вказівку на те, що ідея алгоритму максимізації Ферма запозичив із трактату Йоханнеса Кеплера з потішним назвою «Нова стереометрія винних бочок». Справді, в міркування Кеплера зустрічаються фрази типу «Обсяг постаті найбільший, коли з обидва боки місця найбільшого значення убування спочатку невідчутно». Та ідея дрібниці збільшення функції поблизу экстремума зовсім не від носилася повітря. Найкращі аналітичні уми того часу були готові до маніпуляцій із малими величинами. Річ у тім, що тоді алгебра вважалася різновидом арифметики, тобто математикою другого сорти, примітивним підручним засобом, розробленим потреб ницої практики («добре вважають лише торговці»). Традиція наказувала дотримуватися суто геометричних методів доказів, висхідних до античної математиці. Ферма перший зрозумів, що нескінченно малі величини можна складати і скорочувати, але досить важко передавати у вигляді отрезков.

Знадобилося майже століття, щоб Жан д’Аламбер у знаменитій «Енциклопедії» визнав: «Ферма був винахідником нових числень. Саме в нього ми зустрічаємо перше додаток диференціалів перебування дотичних». Наприкінці XVIII століття ще точніше висловиться Жозеф Луї граф де Лагранж: «Але геометри — сучасники Ферма — не зрозуміли цього нового роду обчислення. Вони лише окремі випадки. І це винахід, що з’явилася незадовго перед „Геометрією“ Декарта, залишалося безплідним протягом 40 років». Лагранж має на увазі 1674 р., коли з’явилися на світ «Лекції» Ісаака Барроу, які висвітлювали метод Ферма.

До того ж швидко виявилося, що Ферма більш схильні формулювати нові проблеми, ніж, ніж смиренно виконувати завдання, запропоновані метрами. У період дуелей обмін завданнями між вченими мужами був загальноприйнято, ніж формою з’ясування проблем, що з субординацією. Проте Ферма року знає заходи. Кожне його лист — це виклик, у якому десятки складних невирішених завдань, причому на найнесподіваніші теми. Ось зразок його стилю (адресовано Френиклю де Бессі): «Item, який найменший квадрат, який за зменшенні на 109 і додаванні одиниці дасть квадрат? Якщо ви не пришлете мені загального сценічного рішення, то надішліть приватне тих двох чисел, що їх вибрав невеликими, щоб Вас невідь що утруднити. Після того як Я одержу від Вас відповідь, я запропоную Вам деяких інших речі. Зрозуміло без особливих застережень, що у моєму пропозиції потрібно знайти цілі числа, оскільки у разі дробових чисел найнезначніший арифметик міг би дійти мети.» Ферма часто повторювався, формулюючи одні й ті запитання по кілька разів, й навіть відверто блефовал, стверджуючи, що має надзвичайно витонченим рішенням запропонованої завдання. Не обходилося і прямих помилок. Деякі були помічені сучасниками, а де які підступні затвердження вводили на манівці читачів у перебігу столетий.

Гурток Мерсенна прореагував адекватно. Лише Робервиль, єдиний член гуртка, мав проблеми з походженням, зберігає дружній тон листів. Добрий пастир батько Мерсенн намагався напоумити «тулузького нахабу». Але Ферма має наміру виправдовуватися: «Преподобний отець! Ви мені пишете, що постановка моїх неможливих проблем розсердила і остудила панів Сен-Мартена і Френикля і це спричинилося до припинення їх листів. Однак я геть хочу заперечити їм, що той, що здається спочатку неможливим, насправді безглуздо і є багато проблем, про які, як Архімед … «і т.д.

Проте Ферма лукавить. Саме Френиклю він послав завдання про перебування прямокутного трикутника з целочисленными сторонами, площа якого дорівнює квадрату цілого числа. Послав, хоча знав, що завдання явно не має решения.

Саму ворожу позицію стосовно до Ферма зайняв Декарт. У його листі Мерсенну від 1938 р. читаємо: «оскільки з’ясували, що це той самий людина який до того намагався спростувати мою „Діоптрику“, й, оскільки Ви повідомили мене, що він послав після того, як прочитав мою „Геометрію“ і з подивом, що не знайшов таку ж річ, т. е. (як маю підставу його витлумачити) послав це із єдиною метою розпочати суперництво і обіцяв показати, що у цьому він знає більше, чому, й, оскільки ще з ваших листів з’ясували, що з ним значиться репутація дуже обізнаного геометра, вважаю себе зобов’язаним йому відповісти.» Свій відповідь Декарт згодом урочисто визначить як «малий процес Математики проти р. Ферма».

Легко зрозуміти, що призвело в лють славетного вченого. По-перше, в міркуваннях Ферма постійно фігурують координатні осі і помилкове уявлення чисел відрізками — прийом, який Декарт всебічно розвиває у своїй хіба що виданій «Геометрії». Ферма дійшов ідеї заміни креслення обчисленнями цілком самостійно, у чомусь він навіть більше послідовний, ніж Декарт. По-друге, Ферма блискуче демонструє ефективність свого методу перебування мінімумів з прикладу завдання про найкоротшому шляху світлового променя, уточнюючи і доповнюючи Декарта з його «Диоптрикой».

Заслуги Декарта як мислителя і новатора величезні, але відкриємо сучасну «Математичну енциклопедію» і переглянемо список термінів пов’язані з його ім'ям: «Декартовы координати» (Ляйбніц, 1692), «Декартов лист», «Декарта овали «. Жоден з його міркувань не увійшло історію як «Теорему Декарта». Декарт насамперед ідеолог: він засновник філософської школи, він формує поняття, удосконалює систему буквених позначень, але у його картинах мало нових конкретних прийомів. У протилежність йому П'єр Ферма мало пише, але з кожному приводу може придумати масу дотепних математичних трюків (див. там-таки «Теорему Ферма», «Принцип Ферма», «Метод нескінченного спуску Ферма»). Мабуть, вони цілком справедливе заздрили одна одній. Зіткнення було неминуче. При єзуїтському посередництві Мерсенна розгоряється війна, що тривала двох років. Втім, Мерсенн й тут мав рацію перед історією: нещадна сутичка двох титанів, їх напружена, м’яко висловлюючись, полеміка сприяла осмисленню ключових понять математичного анализа.

Першим втрачає інтерес до дискусії Ферма. Очевидно, прямо освідчився з Декартом і більше будь-коли зачіпав суперника. У одній з своїх останніх робіт «Синтез для рефракції», рукопис якій він послав де ла Шамбру, Ферма через слово згадує «ученейшего Декарта» і всіляко підкреслює його пріоритет у питаннях оптики. Тим часом ця рукопис містила опис знаменитого «принципу Ферма», який забезпечує вичерпне пояснення законів відблиски і заломлення світла. Реверанси убік Декарта у роботі цього рівня були цілком излишни.

Що ж сталося? Чому Ферма, відклавши убік самолюбство, зробив примирення? Читаючи листи Ферма минулих років (1638 — 1640 рр.), можна припустити найпростіше: у період його свої інтереси різко змінилися. Він закидає модну циклоиду, перестає цікавитися дотичними й майданами, і довгі 20 років забуває про своє методі перебування максимуму. Маючи величезні заслуги у математиці безперервного, Ферма повністю поринає у математику дискретного, залишивши обридлі геометричні креслення своїх опонентів. Його нової пристрастю стають числа. Власне, вся «Теорія чисел», як самостійна математична дисципліна, своєю появою світ повністю зобов’язана життя і творчості Ферма.

У працях древніх, зі своїми культом креслення, ми бачимо дивовижно мало досліджень з теорії чисел. Евклид зазначає деякі правила подільності і доводить нескінченність безлічі простих чисел. Можна ще пригадати cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) — метод виділення простих чисел з натурального низки. Ось, мабуть, і всі. Окремо стоять твори Диофанта (III століття до зв. е.), що розглядав завдання про надання чисел і вирішував невизначені рівняння у цілих числах. З тринадцяти книжок його «Арифметики» донині дійшло лише шість. У Європі переклади творів Диофанта на латинський та французькою мовами з’явилися ще на початку XVII в. Баше де Мезириак в 1621 р. видав переклад «Арифметики» зі своїми докладними коментарями і доповненнями. Саме ця видання, потрапивши в руки Ферма, зіграє видатну роль історії математики.

Ферма найуважніше штудіює «Арифметику» й поміщає на полях книжки 46 зауважень до тексту. Крім цих позначок, положення з теорії чисел (переважно без доказів) розсіяні в листах Ферма. Цього цілком вистачило до виникнення нового напрями у математиці. Після смерті Ферма його син Самюель видав у 1670 р. що належить батькові примірник «Арифметики» під назвою «Шість книжок арифметики олександрійця Диофанта з коментарями Л. Р. Баше і зауваженнями П. де Ферма, тулузького сенатора». У книжку було включено й деякі листи Декарта і під повний текст твори Жака де Бильи «Нове відкриття мистецтві аналізу», написане з урахуванням листів Ферма. Видання мала шалений успіх. Перед здивованими фахівцями відкрився небачений яскравий світ. Несподіванка, а головне доступність, демократичність теоретико-числовых результатів Ферма породили безліч мавпувань. Тоді далеко не всі розумів як обчислюється площа параболи, але кожен школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма. Почалася справжня полювання за невідомими і втраченими листами вченого. До кінця XVII в. було видано і перевидано кожне знайдене його слово. Але бурхлива історія розвитку ідей Ферма лише начиналась.

Згодом Ферма пояснить своє захоплення числами у листі англійським математикам Дигби і Броункеру. Це — лист має спеціальний підзаголовок: «Другий виклик Ферма математикам». Ферма пише: «Чи хтонибудь може запропонувати і навіть зрозуміти суто арифметичні завдання. Бо хіба Арифметика не толковалась скоріш геометрично, ніж арифметично. Це підтверджує більшість праць давніх часів і нових авторів; підтверджують те й праці самого Диофанта. Він трохи більше інших віддалився від геометрії, розпочавши викладати Аналітику в раціональних числах; але й цю частину ні позбавлена геометрії, що цілком довели книжки Виета „Зететика“, де метод Диофанта переноситься на безперервні величини, а отже, і геометрію. … Лише я, як що йде попереду факелоносец, пропоную вам як доказ чи побудови таку теорему чи завдання. Якщо вже ви її вирішите, то зрозумієте, що завдання що така ні тонкощами, ні труднощами, ні способом докази не поступаються славнозвісним проблемам геометрии».

Що й казати шукав І що відкрив П'єр Ферма, займаючись числами? Ризикнемо припустити, що найбільше Ферма цікавили способи побудови простих чисел. Він мріяв знайти явну формулу, що дозволяє швидко вираховуватимуть як завгодно великі прості числа. На полях «Арифметики» він висловив припущення, що таких «генератором» простих чисел буде формула.

[pic], n = 0,1,2,… Справді, при n = 0, 1, 2, 3, 4 отримуємо прості числа 3, 5, 17, 257, 65 537. Ферма думав, що з всіх інших n числа F (n) — прості, і неодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат .

Знадобилося років, щоб Леонард Эйлер в 1733 р. спростував твердження Ферма. Це було із подачі Християна Гольдбаха, що у 1729 р. писав котрий перебував Петербурзі Эйлеру: «Чи відомо тобі зауваження Ферма у тому, що це числа виду [pic] саме 3, 5, 17 тощо. суть прості, причому він, за його визнанням, не зміг цього довести, наскільки мені відомо, після нього не довів». Эйлер кілька років подумав і показав, що вони при n = 5 число F (5) ділиться на 641:

[pic]. Для отримання цього результату Эйлеру довелося зазнати 160 делителей. Складовими виявилися і ще числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Найбільше з відомих у справжній момент складових чисел Ферма F (452) складається з 10 135 цифр і ділиться на 27(2455+1 (показане з допомогою ЕОМ). Задля справедливості слід підкреслити, що Ферма, вважаючи числа F (n) простими, будь-коли стверджував, що має доказом цього факту. З іншого боку сьогодення часу відомо стільки ж простих чисел Ферма, як з знали у часи Ферма, саме: 3, 5, 17, 257, 65 537.

Отже, Ферма помилявся. Його формула виробляла переважно складові, а не прості числа. Проте, ідея «генерування» простих чисел була сприйнята охоче. Той самий зовсім на легковажний Эйлер запропонував багаточлен x2-x+41, який за всіх цілих x від 0 до 40 дає лише числа. Эйлер не полінувався проробити це вираховування, хоча чудово знав, що багаточлен з цілими коефіцієнтами неспроможна попри всі натуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні, попри зусилля сотень професіоналів і тисяч дилетантів, ми досі не вміємо обраховувати як завгодно великі прості числа, хоча знає безліч нюансів про їхнє розподілі. Одна з найбільш яскравих результатів цій галузі належить академіку Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850): число простих чисел не переважаючих n приблизно дорівнює [pic] при n ((.

Ферма помилився, але Ферма було б не Ферма, якби дозволив хоч однієї своєї теоремі безславно канути в льоту. «Кляті числа як перевертні» вилазили в далекі від теорії чисел дослідженнях. У 1796 р. 19-річний студент Геттінгенського університету Карл Фрідріх Гаусс справив сенсацію, довівши теорему: правильний багатокутник буде побудовано з допомогою циркуля і лінійки тоді й тільки тоді, коли кількість його сторін одно 2ap1p2… pb, де всі прості числа pi є числами Ферма, т. е. мають вид [pic]. Те була помста Ферма пихатим геометрам. Теорему Гаусса підвела риску під багатовіковими спорами про можливість побудови правильних многоугольников і заощадила багато часу любителям математики. З цієї теореми слід, які можна побудувати правильні 3-, 5-, 17-, 257-, 65 537- та інші багатокутники і не можна побудувати, наприклад, правильні 7-, 11-, 13- косинці. Для невіруючих Гаусс не полінувався побудувати правильний 17-угольник.

Займаючись таємницями простих чисел Ферма сформулював багато положень про представимости чисел квадратичными формами. Наприклад, то побачив такі дивовижно прості i глибокі закономерности:

1. Формою x2+y2 представимы все прості числа, які у прогресії 4n+1, причому всі вони представимо цієї формою єдиним чином. Жодна просте число з прогресії 4n+3 не представимо суммою двох квадратов.

2. Формою x2+2y2 представимы все прості числа, які у прогресіях 8n+1 і 8n+3. Жодна просте число з прогресій 8n+5 і 8n+7 не представимо як x2+2y2 .

3. Формою x2−2y2 представимы все прості числа, які у прогресіях 8n+1 і 8n+7. Жодна просте число з прогресій 8n+5 і 8n+3 не представимо як x2−2y2 .

4. Формами x2+3y2 і x2+xy+y2 представимы все прості числа, що лежать в прогресії 3n+1. Жодна просте число з прогресії 3n+2 не представимо зазначеними формами.

Ферма залишив взагалі обмаль пояснень, що дає змогу встановити, як йому удалося одержати ці найвищою мірою загальні результати. Лише перед смертю листі до де Каркави Ферма частково обгрунтував становище (1) з допомогою свого методу нескінченного спуску. Можна лише жалкувати сучасників Ферма, які регулярно отримували варіації на задану тему тверджень (1) — (4) як завдань. Перші повні докази цих тверджень вдалося лише Эйлеру. Попутно він сформулював дуже важливу теорему про подільності - так званої квадратичний закон взаємності, доказ якого дав Гаусс. Через захоплення квадратичными формами пройшли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а наше століття — Вейль, Артин і з інші блискучі математики. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайно плідні себто побудови далекосяжних узагальнень та формування новопонять. Добру половину термінів сучасної абстрактної алгебри виникла з спроб довести затвердження Ферма.

Одне з найважливіших результатів Ферма отримав спеціальну назву «Мала теорема Ферма». Це фундаментальний факт теорії подільності на прості числа: нічого для будь-якого простого p і жодного a (1, яке ділиться на p, різницю ap -1−1 ділиться на p. Наприклад, нехай a=5, p=2, 3, 7, 11. Тоді 52−1-1=2(2, 53−1-1=3(8, 57−1-1=7(2232, 511−1- 1=11(8878. Ферма висловив цю теорему у листі Френиклю де Бессі в 1640 р. зі звичайним йому зауваженням: «…б Вам надіслав доказ, якщо би побоювався бути надто длинным».

Перше доказ «Малої теореми Ферма» дав Ляйбніц. Потім Эйлер, починаючи з 1736 р., публікує одразу трьох різних докази, які показують, що Ферма цілком міг вміти доводити свою теорему. Нащадки часто шукали елементарні докази тверджень Ферма, намагаються зрозуміти наскільки лукавив великий тулузец. Проблеми Ферма хвилювали Эйлера на протязі усього життя. У 1760 р. він отримав істотне узагальнення його «Малої теореми»: нехай ((m) — число натуральних чисел, не переважаючих m і взаємно простих з m. Тоді нічого для будь-якого m і жодного a (1, взаємно простого з m, різницю a ((m)-1 ділиться на m. Цю терему Эйлер скромно опублікував ролі четвертого докази «Малої теореми Ферма».

Нарешті, ми переходимо до викладу найзнаменитішою теореми історія математики. Ця теорема отримала популярність як «Велика теорема Ферма» (вона ж «Велика», вона ж «Остання»). На сучасному це мові звучить так: немає відмінних нуля цілих чисел x, y і z, котрим має місце равенство.

[pic] при n>2.

Зрозуміло, ніякого рівняння у Ферма був. Він мені взагалі не знав знака рівності, а використовував латинське eq. Наводимо твердження Ферма в оригінальному виде:

«Куб, проте, на два куба чи квадроквадрат на два квадроквадрата і взагалі жодну нескінченно понад квадрата ступінь на два тієї самої назви неможливо розділити». Не поставивши точку, Ферма приписав: «я відкрив воістину дивовижне доказ цієї пропозиції. Але він не вміщується на вузьких полях.».

Цією фразою Ферма прокоментував завдання з Диофанта: «Поставлене квадрат розкласти на два квадрата». Дане зауваження є другим по рахунку з виявлених з полів «Арифметики». Перше стосувалося життєвих тем.

Невизначені рівняння (т. е. рівняннями з цими двома невідомими) виду [pic] цікавили античних греків у зв’язку з теоремою Піфагора. Вони шукали (і знаходили) трійки цілих чисел, що утворюють боку прямокутного трикутника. Це означає, що з n =1, 2 рівняння на тлі має незліченну кількість рішень. Здогад Ферма в тому, що з всіх інших n таких трійок не существует.

Навряд Ферма був охарактеризований першим, хто до такому висновку. Наприклад, близько тисячі років тому я узбецький математик Хамід ал-Хадженди (що означає Хамід з Ленинабада) стверджував, що рівняння x3+y3=z3 немає рішень на цілих числах. Сьогодні зрозуміло, що Хамід у відсутності ніяких особливих шансів довести це утверждение.

Що стосується Ферма достеменно відомо, що він довів «Велику теорему» при n=4 з полів тієї самої «Арифметики». І це єдиний теоретико-числовое доказ Ферма дійшла донині. На протязі 20 років Ферма завзято намагається привернути увагу математиків до «Великої теоремі», пропонуючи окремі випадки як завдань. Випадок n=3 він формулює за п’ять листах, причому у останньому листі (від серпня 1659 р.) пише, що довів теорему для n=3 методом спуску. Тим більше що «Велику теорему» у загальне випадку n>2 Ферма сформулював лише одне разів у згаданому зауваженні з полів «Арифметики». Він формулює її не разу ні у одному з листів. Він пропонує лише окремі випадки (n=3, 4), щодо яких переконливо пише, що має доказом. Навіть у листі до де Каркави від 1659 р., у якому Ферма перераховує свої основні досягнення, про «Великої теоремі» загалом ані слова про. Це може означати лише одна: Ферма виявив прогалини у своїй «воістину дивовижному доказі», котрі і не зміг устранить.

Зрозуміло, це остудило нащадків. Починаючи з кінця XVII в. почалася небачена зі своєї напруженості гонка за доказом «Великої теореми Ферма». Оманлива простота формулювання теореми прирекла тисячі шанувальників математики на безплідні пошуки докази або спростування теореми. Понад сто нікому учений не вдавалося просунутися вперед навіть за розгляді окремі випадки конкретних значень показника n.

Перший серйозний результат було отримано ясна річ Эйлером (1768). Він показав, що випадок n=4 унікальний. Це єдиний приватний варіант «Великої теореми «, коли доказ має цілком елементарний характер. Вже за n=3 виникають значні ускладнення. Настільки суттєві, що з’являється привід вкотре сумніватися у чесності Ферма. Эйлер довів теорему для випадку n=3, розглядаючи комплексні числа виду [pic], де a, b — цілі числа. У XVII в. така єресь не могла прийти на думку навіть Ферма.

У принципі, доказ Эйлера було дефектним, оскільки вона необгрунтовано переніс ряд властивостей звичайних чисел на числа виду [pic]. У частковості він припускав одиничність розкладання таких чисел на прості множники. Для усунення прогалин в доказі Эйлера знадобилися принципово нові алгебраїчні абстракції: числові кільця і ниви. Реалізацію програмних засобів почав Гаусс, якому належить перше абсолютно суворе доказ «Великої теореми Ферма» для n=3.

Доказ для випадку n=5 запропонували майже одночасно у атмосфері гострого суперництва два француза: Лежен-Дирихле і Лежандр (1825). Обидва докази були дуже складними. У 1839 р. теорема Ферма було доведено наступного простого показника n=7. Це вдалося завдяки титанічних зусиль Ламі. Він також в 1847 р. оголосив, що довів теорему для всіх простих показників n>3. Проте пильний Лиувиль відразу ж потрапити виявив в міркуваннях Ламо помилку подібну з тим, яку допустив Эйлер. Ламо був змушений визнати своє поражение.

Поки в Франції відбувалися ці події, у Німеччині молодий математик Куммер завзято займається теоремою Ферма. Повторивши все помилки Ламі, він дійшов поняттю «ідеальних чисел», котрим розкладання на прості множники єдино. Узагальнення цього поняття створило запаморочливих абстрактних конструкцій, що сьогодні вивчаються в спеціальному розділі алгебрі під назвою «Теорія ідеалів». Куммер, присвятив теоремі кілька десятиліть, наприкінці життя вмів доводити «Велику теорему Ферма» всім простих показників n.