Неєвклідова геометрія

року міністерство освіти Російської Федерации.

Головне управління загального характеру і професійного образования.

Адміністрації Іркутської области.

Державне освітнє учреждение.

Середнього професійного образования.

Братський педагогічний коледж № 2.

КУРСОВА РАБОТА.

Тема: Неевклідова геометрия.

Выполнил:

Студент 3 курсу У группы.

Вощевоз Світлана Николаевна.

Специальность:

0301 «Математика».

Руководитель:

Савельєва Катерина Васильевна.

Викладач вищої кваліфікаційної категории.

р. Братськ, 2001.

I. Основні поняття на геометрії Евкліда й у сучасної геометрії. II. Аксіоми в «Засадах» Евкліда III. Відкриття неевклідової геометрії. IV. З неевклідової геометрии.

V. Укладання. VI. Бібліографія. VII. Приложение.

Геометрія — це одне з найдавніших наук. Досліджувати різні просторові форми здавна спонукало людей їх практична діяльність. Давньогрецький учений Эвдем Родосський в IV столітті до нашої ери писав: «Геометрія було відкрито єгиптянами, і виникає виміру атмосферного явища Землі. Це вимір було ним необхідно внаслідок розлиття річки Ніл, постійно смывавшей кордону. Немає нічого дивного, що ця наука, як та інші, виникла із потреби человека».

Багато початкові геометричні відомості отримали також шумеровавилонські, китайські й інші вчені найдавніших часів. Встановлювалися вони спочатку дослідним шляхом, без логічних доказательств.

Як наука, геометрія вперше сформувалася у Стародавній Греції, коли геометричні закономірності і залежності, знайдені раніше дослідним шляхом, було наведено в належну систему і доказаны.

У III столітті до нашої ери грецький учений Евклид привів у систему відомі йому геометричні відомості у великому творі «Почала». Ця книга понад дві тисячі років служила підручником геометрії в усьому мире.

У своїй курсової роботі хочу показати, що, крім геометрії, яку вивчають у шкільництві (Геометрії Евкліда чи вживаної геометрії), є ще одна геометрія, геометрія Лобачевского.

Ця геометрія істотно відрізняється від евклідовій, наприклад, у ній стверджується, що за цю точку можна навести нескінченно багато прямих, паралельних даної прямий, сума кутів трикутника менше 180°. У геометрії Лобачевського немає прямокутників, подібних трикутників й дуже далее.

Неевклідова геометрія з’явилася внаслідок довгих спроб довести V постулат Евкліда, аксіому паралельності. Ця геометрія багато в чому дивовижна, незвичайна й відповідає нашим звичним поглядам про світі. Однак у логічному відношенні дана геометрія не поступається геометрії Евклида.

Почала Евкліда служили протягом понад 2.000 років зразком суворого дедуктивного викладу геометрии.

Однак у 19 столітті після відкриття геометрії Лобачевського — Бояй, а потім геометрії Рімана й у з переглядом основ математичного аналізу, проведеного Больцано, Каші, Абелем Гауссом та інші вченими, логічну побудову «Почав» Евкліда стало критикувати. У системі побудови було багато логічних дефектів, частина яких було замінена ще давнини. Ідеться насамперед основних понять геометрії і евклидовых определений.

Визначення нового поняття полягає у розкритті її змісту в перерахування його істотних ознак (властивостей) з допомогою інших раніше певних понять тощо. Зрештою, ми повинні дістатися деяких, зазвичай найпростіших і небагатьох понять, котрі були вихідними, вже логічно прямо не визначаються, а сприймають як засадничі поняття. Без виділення основних понять операція логічного визначення від інших понять взагалі було б бессмысленной.

Визначення, викладені у «Засадах» Евкліда, не задовольняють вимогам сучасної науки. Ось кілька нетаємних 23 визначень, якими починається книжка «Начал».

1. Крапка є те, що ні має частин (таке аналітичне визначення точки, повидимому, запозичене Евклидом у попередників і до Демокриту).

2. Лінія є довжина без ширины.

3. Кордони лінії суть точки.

4. Пряма є така лінія, яка однаково розташована стосовно до всіх своїх точкам.

5. Поверхня є те, що є лише довжину, і ширину.

6. Кордони поверхні суть линии.

7. Площину є поверхню, яка однаково розташована стосовно всім прямим, у ньому лежащим.

8. Плоський кут є взаємне нахил двох можна зустріти ліній, розміщених у однієї плоскости.

Такі визначення не вважається логічно конкретними. По-перше, в цих визначеннях вживаються такі поняття (частина, довжина, ширина, кордон тощо.), які самі слід визначити. По-друге, ідея основних понять (в сучасному сенсі) у Евкліда взагалі немає. Утретіх, його визначення туманні і незрозумілі, наприклад, 4 і аналогічних сім. Взагалі ж визначення Евкліда є лише описом геометричних образів, і, зазвичай, як доказ теорем він ними не пользовался.

При дедуктивному побудові геометрії, як будь-який інший науки, слід виходити тільки з основних невизначених понять, але й з деяких небагатьох і найпростіших тверджень, тобто недовідних пропозицій, званих іноді постулатами (вимогами), а найчастіше аксіомами (аксіома — грецьке слово, що означає «безспірне становище», і навіть «шановане»), про те, щоб, виходячи з них, можна було суворо логічно обгрунтувати, тобто довести й інші пропозиції, звані вже теоремами (Цей термін запроваджено Арістотелем, його вживав не Евклид, яке коментатори. Початковий зміст цього грецького слова був «рассматриваемое»).

У Евкліда постулати і аксіоми, що він не ототожнював (в нього постулати носять суто геометричний характер) йдуть за вищеназваними визначеннями. Ось вони: Постулаты.

1. Потрібна, щоб від транспортування кожної точки до кожної інший точці можна було провести пряму линию.

2. І, щоб кожну пряму можна було невизначено продолжить.

3. І, що з будь-якого центру можна було описати окружність будь-яким радиусом.

4. І, щоб усе прямі кути були равны.

5. І, щоб щоразу, коли пряма утворює із нею внутрішні односторонні кути, сума котрих значно менша двох прямих, ці прямі перетиналися з протилежного боку, з якою ця сума менше двох прямих. Аксиомы.

1. Рівні порізно третьому рівні між собой.

2. І якщо рівним додати рівні, одержимо равные.

3. І якщо рівних віднімемо рівні, одержимо равные.

4. І якщо нерівним додамо рівні, одержимо не равные.

5. І якщо краще подвоїмо рівні, одержимо равные.

6. І половини рівних, рівні між собой.

7. І совмещающиеся равны.

8. І ціле більше части.

9. І дві прямі що неспроможні укласти пространства.

Найважливішим недоліком системи евклидовых аксіом, зокрема й його постулати, є його неповнота, тобто недостатність їх задля суворо логічного побудови геометрії, у якому кожне пропозицію, коли вона не фігурує у списку аксіом, має бути логічно виведено з усіх. Тому Евклид при доказі теорем який завжди грунтувався на аксіомах, а вдавався до інтуїції, до наочності і «почуттєвим» сприйняттям. Наприклад, поняттю «між» він приписував суто наочний характер; він мовчазно припускав, що пряма, через внутрішню точку окружності, неодмінно має перетнути їх у двох точках. Заодно він грунтувався лише на наочності, а чи не на логіці; доказу цього факту він ніде назву, і не міг, тому що в нього були відсутні аксіоми безперервності. Немає в нього та його деяких інших аксіом, без яких суворо логічне доказ теорем невозможно.

Критика евклидовского обгрунтування геометрії, що тривала на протязі кількох століть, і стала особливо гострої о 19-й столітті, призвела до спробам нового дедуктивного побудови геометрії, відповідального сучасним вимогам науки.

Однією з учених, предвосхитивших неевклидову геометрію, був італійський чернець Джироламо Саккери (1667−1733), викладав граматику в єзуїтською колегії в Мілані. Тут під впливом Джованні Чевы (Джованні Чева (1648−1734) — італійський інженерів-гідравлік і економіст) Саккери зацікавився математикою і став серйозно займатися нею. Згодом він викладав математику в університеті міста Упавши. На останньому року своєї життя Саккери опублікував (латинською мові) книжку за заголовком «Евклид, очищений від усіх плям». У ньому він поставив собі завдання виправити всі недоліки («плями») «Почав» Евкліда, насамперед довести V постулат. Саккери рішучіше і далі своїх попередників зробив спробу довести цей постулат від протилежного. Цей шлях не зумів проробити остаточно, але йдучи ним, Лобачевський, а згодом відкрив неевклидову геометрию.

Розглядаючи чотирикутник (рис. 1), який його ім'я, Саккери прагне довести, що гіпотези тупого і гострого кутів призводять до логічним протиріччям і залишається лише гіпотеза прямого кута, з якої випливає евклидов V постулат. Він легко спростовує гіпотезу тупого кута, він доводить, что:

1. геометричне місце точок площині, равноотстоящих від даної прямий з одного боку, перестав бути прямій чи окружністю, а інший линией.

(яку Лобачевський згодом назвав эквидистантой, то есть.

«равноотстоящей»);

2. дві прямі, які у площині (рис. 2), або перетинаються лише у точці (такі прямі Лобачевський назвав «сходящимися»), або перетинаються, маючи загальний перпендикуляр, з обох боків від якої вони друг від друга видаляються («які суперечать прямі» в терминологии.

Лобачевського), або перетинаються, віддаляючись друг від друга щодо одного напрямку і асимптотически наближаючись й інші (параллельные.

Лобачевского).

Якби Саккери користувався лише логічними висновками, суворої дедукцією, то ніяких суперечностей він у зазначених вище пропозиціях не знайшло б. Проте, будучи упереджений про неможливість те, що для евклидова постулату не було докази, Саккери для спростування гіпотези гострого кута вдався до утвердження суто інтуїтивного характеру: існування асимптотических прямих нібито «суперечить природі прямий лінії». Заслуга Саккери полягає, зрозуміло, над кінцевому його встановленні проміжних пропозицій, виведених їм у основі гіпотези гострого кута, які 100 років стали основою нової неевклідової геометрії Лобачевского.

До попередників останнього, слід вважати і члена Берлінської Академії наук — астронома, математика і філософа Иогана Генріха Ламберта, вважало себе Швейцарським вченим та писав одні зі своїх творів французькою. Інші - на немецком.

У опублікованому після смерті Леніна творі «Теорія паралельних линий"(1786) Ламберт розглядає чотирикутник. І досліджує, як і Саккери, можливі у своїй три гіпотези. Він здобуває низку інших результатів геометрії, побудованої на гіпотезі гострого кута, тобто майбутньої неевклідової геометрії Лобачевського, зокрема і такий: якщо сума кутів трикутника АВС, як відомо, менше двох прямих кутів, дорівнює 2d — ?, то площа трикутника пропорційна ?((? — «дефект трикутника»). На відміну від Саккери Ламберт у своїх міркуваннях ніде не полишає суворої дедукції, і й тому він не знаходить протиріччя гіпотезі гострого кута і визнає даремність всіх спроб довести V постулат. Не дивлячись цього, проте, Ламберт, як та її попередники, не вважав гіпотезу гострого кута справді можливої. На так само позиціях стояв й знаменитий французький математик А. М. Лежандр (1752- 1833), значно який сприяв своїми численними спробами довести евклидову аксіому паралельності, залученню уваги математиків першої половини 19 в. до проблеми V постулата.

Проблема, як відомо, була вперше вирішена професором Казанського університету, геніальним російським математиком Миколою Івановичем Лобачевским (1792- 1856), який відкрив в 1862 р. першу неевклидову геометрію, звану як і «гіперболічної». Незалежно від цього при цьому відкриттю прийшов і власним молодий угорський математик Я. Бояй. Перший друкований працю по неевклідової геометрії - стаття Н.І. Лобачевського «Про основи геометрії» — виник 1829 г. в «Казанському віснику». Через 3 року опублікована латинською мові робота з неевклідової геометрії «Appendix» («Додаток»), назва якої пояснювалося тим, що що з’явилася лише до з робіт батька Яноша, математика Фаркаша Бояй. Після смерті Гаусса з’ясувалося, що він також до Лобачевського і Бояй дійшов тієї ж геометрії. Ідеї Лобачевського і Бояй ніяк не пробивали собі шлях у науці. Лише 70−80г.г. минулого століття після появи робіт Рімана, Кэли, Клейта і Пуанкаре ширшим колом математиків зрозуміли, що V постулат недовідний, оскільки не залежить з інших аксіом евклідовій геометрии.

Спроби докази V постулату принесли користь у цьому відношенні, що з’ясували, які теореми геометрії ставляться цей постулат і які від цього не залежать. Сукупність теорем геометрії, які залежать від евклідовій аксіоми паралельності, угорський математик Янош Бояй назвав «абсолютної» геометрією. А всі решта теореми, тобто ті, при доказі що їх безпосередньо чи опосередковано опираємося на V постулаті, становить власне евклидову геометрию.

У курсі 6 класу найважливішими теоремами абсолютної геометрії є такі: теорема про суміжних і вертикальних кутках, про рівність трикутників, про зовнішньому вугіллі трикутника, про прямий і ламаної, про порівняльної довжині перпендикуляра і похилих, пряма теорема параллельных.

До власне евклідовій геометрії ставляться: зворотна теорема паралельних лініях (тобто у тому, що з перетині двох паралельних прямих третьої відповідні кути рівні), теорема про перетині перпендикуляра і похилій одному й тому ж прямий, суму кутів трикутника із її наслідками (зокрема і теорема суму кутів многоугольника).

На аксіомі паралельності грунтується майже весь раздел.

«Паралелограми і трапеції». У розділі «Про окружності» все теореми про форми і становищі окружності (крім теореми у тому, що за всякі три неколлинеарные точки можна навести окружність і наслідків цієї теореми). Теорему про залежності між дугами, хордами і відстань від хорд до центру, про взаємній розташуванні прямий і окружності не спираються на аксіому паралельних Евкліда. Доказ багатьох теорем розділу «Про уписаних і описаних многоугольниках» істотно полягає в додатку у тому, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, з нею не суміжних кутів, але це додаток своєю чергою випливає з теореми суму кутів трикутника — теореми, безпосередньо що з евклідовій аксіомою паралельних. Теорему у тому, що з всякий трикутник можна вписати окружність, не вимагає евклідовій аксіоми параллельных.

Розділ «Такі постаті» також побудований на аксіомі паралельних, так і з початку лема, яка доводить існування подібних трикутників спирається на евклидову теорію паралельних, на аксіому паралельності («пряма, паралельна який-небудь боці трикутника відсікає від цього трикутник, такий даному»). Сюди відносяться і всі теореми про метричних співвідношеннях в трикутнику і колі, зокрема і теорема Пифагора.

У розділі «Правильні багатокутники» теореми про будівництво правильних многоугольников циркулем і лінійкою спирається на аксіому паралельних, тоді як теорема у тому, що майже будь-якого правильного багатокутника можна описати окружність, належить абсолютної геометрії. Теореми про площах постатей пов’язані з аксіомою паралельності Евкліда, оскільки одиницею виміру площ обирається квадрат — поняття евклідовій геометрии.

У стереометрії до цілковитої геометрії ставляться розділи про визначенні становища площині (зокрема основні властивості площині), про перпендикуляре і похилих до площині, про двугранных і багатогранних кутках, про вугілля прямий з площиною. Пропозиції, заключающие поняття паралельності, пов’язані із зазначеною аксіомою. Далі удесятеро класі, все затвердження, містять поняття площі поверхні, і обсягу, спираються на постулат Евклида.

Що стосується геометричних побудов слід пам’ятати, що завданням абсолютної геометрії належить побудова трикутника за трьома його сторонам чи з двом сторонам і розі з-поміж них, проведення перпендикуляра з крапки над прямий до цієї прямий. Не спираючись на V постулат можна вирішити також завдання проведення дотичній до цієї окружності із зовнішнього точки. Тільки цілях спрощення це завдання виконують в підручниках з допомогою аксіоми паралельних Евкліда. На постулат Евкліда спираються майже всі завдання, містять в умови поняття площі й параллельности.

Два тисячоліття безплідних зусиль і катастроф всіх спроб (у цьому однині і свого власного, заснованої на методі приведення до абсурду) довести V постулат, привели Лобачевського до думки, що це постулат залежить від інших аксіом евклідовій геометрії, тобто їх не випливає, і тому його довести нельзя.

Але якщо V постулат залежить від інших аксіом, то допускаючи все інші аксіоми (абсолютної геометрії), ми можемо прийняти або прийняти евклидов постулат. У першому випадку отримуємо відому класичну евклидову геометрію, названу Лобачевским «вживаної». Якщо ж замість евклідовій аксіоми паралельності прийняти іншу, їй не еквівалентну, одержимо нову, неевклидову геометрію. Лобачевський і сформулював нову аксіому паралельних, прямопротивоположную аксіомі Евкліда: «Через точку поза прямий можна навести як одну пряму, не встречающую даної прямий, а, по крайнього заходу дві». Замінивши цієї аксіомою V постулат Евкліда, Лобачевський розробив свою неевклидову геометрію, яка виявилася той самий логічно бездоганної, правильної, як і геометрія Евклида.

Якщо з т. З поза прямий АВ (рис.3) опустити її у перпендикуляр СD і побудувати перпендикуляр СN до CD, то без допомоги аксіоми паралельних доводиться, що NN' || АВ.

Постулат Евкліда стверджує, що із усіх прямих площині АВС, що пропливали т. З, лише одне пряма NN' не зустрічає прямий АВ. Відмовляючись від цього аксіоми, Лобачевський допускає, що за т. З відбувається за крайнього заходу ще одне пряма CL не яка перетинає АВ.

Аксіома Лобачевського здається здавалося б дивній, т.к. суперечить які встановилися геометричних уявленням. Проте за більш глибокому аналізі питання слід визнати, що на відміну з інших аксіом, що стосуються постатей обмежених розмірів, аксіома паралельності Евкліда належить до необмеженої прямий і може бути перевірено з допомогою безпосереднього експерименту, що може бути проведено лише обмеженою частини простору. Якщо, наприклад, взяти кут NCL досить малим, то відтинки CL і АВ не перетнуться навіть у відстані, який відходить за межі нашої планети. І як разів у межах певній його частині площині, хіба що цю частину була велика, можна навести через цю точку безліч прямих, не котрі перетинають даної прямий. Усередині кола будь-якого кінцевого радіуса є безліч «прямих» (тобто. хорд), проходять через т. З повагою та не зустрічаючих «прямий» АВ, наприклад, CL, CM та інші (рис.4).

Отже, якщо зректися будь-яких упереджень, немає ніякої підстави вважати аксіому Лобачевського «гірше» аксіоми Евкліда, себто її відповідності фізичної реальності. Позірна перевагу евклідовій геометрії, евклідовій аксіоми у тому, що неї давав відповідає нашим звичним поглядам. Ці уявлення, проте, засновані на повсякденному досвіді не більше порівняно незначній їх частині всесвіту. Тим більше що, історія науки відомі факти, коли понад точно представлені експерименти викликали необхідність змін, заснованих на виключно наочності гіпотез і аксіом, заміна їхній кругозір новими гіпотезами, які краще відповідають об'єктивного матеріального світу. Адже панувало у древніх уявлення у тому, що земля пласка. Свого часу здавалася неймовірною геліоцентрична гіпотеза Коперника всім людей, століттями сжившихся з ідеями геоцентрической гіпотези Птоломея. Відомий англійський математик і писав: «Чим Коперник для Птоломея, тим Лобачевський для Евкліда». Між Коперником і Лобачевским цікава паралель, Коперник і Лобачевський — обидва слов’яни з походження. Усі вони справив революцію у наукових ідеях, поглядах, обидві ці «революції» мають те й те значение.

Причина їх грандіозного значення у тому, що вони суть Революції нашому розумінні космосу…". З приводу цього порівняння радянський учений, професор В. Ф. Каган писав, що «Істини, відкриті Лобачевским, були набагато глибший приховані, більш несподівані; їх виявлення вимагало генія більш високого рівня» Геліоцентрична система Коперника лише з іншому представила розташування і рух небесних тіл у просторі. А Лобачевського дала нове уявлення про пространстве.

Усе сказане вище — це фізична сторона геометрії. Але сьогодні важливіше математична сторона геометрії, її логічна структура.

З аксіоми Лобачевського випливають такі логічні следствия:

1) Якщо прямі CN і CL не зустрічають прямий АВ, то будь-яка пряма РМ, через т. З всередині вертикальних кутів NCL і N’CL' теж зустріне прямий АВ (рис. 3, рис.4). Звідси перше слідство аксіоми Лобачевського: через т. З поза прямий АВ площині АВС, проходить незліченну кількість прямих, не від перетинання з прямою АВ.

2) Якщо з'єднати (мал.2) якусь точку прямий DB з т. З, одержимо пряму, скажімо, СК, яка стелиться через т. З повагою та встречающую АВ. Отже, все прямі, які відбуваються через т. З всередині прямого кута NCD, розбиваються на дві категорії, на два класу: що зустрічають пряму АВ (названі Лобачевским «сходящимися» з АВ) і що зустрічають пряму АВ (їх Лобачевський називає «що розходяться» з АВ). Будь-яка пряма першої категорії утворює з перпендикуляром CD кут, менший кута, освіченого перпендикуляром CD з будь-який прямий другої категорії. Крутячись безупинно близько т. З в напрямі проти годинниковий стрілки, пряма СК на відомому етапі, скажімо вагітною CL, перестане перетинати АВ і з сходящейся піде на категорію розбіжних з АВ прямих. Ця гранична пряма CL, службовець перехідною прямий, граничной, яка відділяє сходящиеся від розбіжних прямих, і названої Лобачевским паралельної до прямий АВ з т. З. Отже, паралельна CL — це просто розбіжна пряма, а перша, гранична розбіжна, тобто. така, будь-яка пряма, через т. З всередині кута, освіченого паралельної CL і перпендикуляром CD, є сходящейся прямий, а всяка пряма, що відбувається всередині кута LCN буде розбіжна з прямою АВ. Кут DCL, освічений паралельної CL з перпендикуляром CD, називають кутом параллельности.

З огляду на симетрії щодо перпендикуляра CD всередині прямого кута N’CD одержимо картину, аналогічно тієї, що ми маємо у вугіллі NCD, тобто. побудувавши кут DCF рівний розі DCL, одержимо пряму CF, також паралельну прямий АВ зліва перпендикуляра CD. Отже, через т. З, що лежить поза прямий АВ, відбуваються у площині АВС дві прямі, паралельні прямий АВ, в інший бік цієї прямий. Усі прямі, які відбуваються всередині вертикальних кутів, освічених паралельними прямими LL' і GG' (в тому однині і евклидова «паралельна» NN'), розходяться з АВ; й інші прямі, які відбуваються через т. З сходяться з прямою АВ.

Отже: а) 2 прямі як АВ і NN', мають загальний перпендикуляр CD, розходяться; б) якщо крутити пряму NN' близько т. З, скажімо, по годинниковий стрілці, а пряму АВ близько т. D у тому напрямі те щоб кути, освічені цими прямими з котрий перетинає їхньої прямої CD, залишалися рівними, то прямі АВ і NN' залишаються що розходяться, тобто. дві прямі, що утворюють при перетині з третього прямий рівні відповідні кути, расходятся.

3) З попереднього становища випливає, що у паралелі Лобачевського різниться напрям паралельності. Пряма CE паралельна прямий АВ в напрямі чи кращий бік від A до B, пряма CF паралельна тієї ж прямий AB у бік чи бік ВА (від У до А) (рис.5).

Попри корінні відмінності, поняття паралельності у Лобачевського від одночасного поняття на геометрії Евкліда, можна довести, що «паралельність» себто Лобачевського теж має властивостями взаємності чи симетрії (якщо пряма, а паралельна прямий в, то паралельна а). І транзитивності (якщо й у рівнобіжні з, то й у рівнобіжні між собой).

Наведемо окремі інші поняття і факти геометрії Лобачевського: 1. Функція Лобачевского.

Як мовилося раніше вище, через т. З у площині САВ проходять 2 спрямовані паралелі до прямий АВ (РЄ і CF), симетрично розташовані щодо перпендикуляра CD (див. мал.5). Кут паралельності, освічений кожної з цих паралелей з CD, є гострим, його величина не постійна і від відстані CD (в геометрії Евкліда кут паралельності завжди прямий). Те, що кут паралельності гострий, випливає безпосередньо з аксіоми Лобачевського. У зміні цього кута зі зміною відстані CD можна переконатися шляхом наступних рассуждений.

(рис.6).

Нехай C’D>CD, CE || AB, в т. З кут паралельності - W. Нехай далі пряма C’E ‘|| AB в т. З' кут паралельності - W'. З огляду на властивості транзитивності CE ||C'E'. Зрозуміло, що W? W'. Справді, коли припустити, що W= W', слід також допустити, що C’E' і CE — які суперечать прямі, як було зазначено показано вище, але це неверно.

Побудуємо C’K, творчу з CD кут ?' ?, ясно, що ?'<? , т.к. параллельC’E' ближчі один до перпендикуляру, ніж розбіжна C’K. Отже,? «<

?; це означає, що кут паралельності зменшується за мері видалення від прямий АВ; чим ближче т. З до прямий АВ, тобто. ніж коротше перпендикуляр CD, тим більше коштів кут паралельності. Якщо позначити відстань т. З від прямий АВ, тобто. довжину перпендикуляра CD через x, можна сказати, що кут паралельності є функція від x, названа «функцією Лобачевського» і позначена П (x). Це монотонно убутна функція. При зміні аргументу x від 0 до? функція П (x) безупинно змінюється відповідно від? /2 до 0. Отже ,[pic], [pic].

При x > 0, інакше кажучи, якщо залишатися у межах порівняно невеликих відстаней, то кут паралельності мало відрізняється від? /2 тобто не від цього значення, що він має у евклідовій геометрії, це, що геометрія Лобачевського який суперечить, виключає геометрії Евкліда; останнього можна як окреме питання великій спільній геометрії - геометрії Лобачевського. Реальний сенс граничного переходу (при x > 0) від геометрії Лобачевського до геометрии.

Евкліда у тому, що фізика вивчає, зрештою, лише обмежену, порівняно не велику частина простору. Ось у навколишньої середовищі (навіть у межах нашої планети) властивості фізичного простору приблизно такі, якими їх знаємо из.

Евклідовій геометрії, але для простору, для світу зірок, для всесвіту загалом, вони інші, неевклидовы. 2. Сума кутів трикутника менше 2d. Це еквівалентно аксіомі Лобачевського, тобто потім із нього випливає ця аксіому й навпаки. Наприклад доведемо перше. Нехай (див. мал.7) в прямокутному трикутнику CDK сума кутів P. S= ?+?+?