Волшебный світ Пуанкаре
Рассмотрим коло. Нехай його населяють істоти, які твердо впевнені, що й світ, тобто коло, необмежений. Цей коло влаштований отже що вони рухаються від центру кола для її кордонів, довжина їх кроку = 1/(n2), де n — число кроків, що вони вже зробили. Тоді неважко бачити, що людина будь-коли сягне кордонів круга. Аналогічний приклад можна побудувати з кулею в просторі. Однак ніщо корисно нам себе… Читати ще >
Волшебный світ Пуанкаре (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Волшебный світ Пуанкаре
Люди звикли, що геометрія оперує нашим реальним простором І що простір описується евклідовій геометрією. Багато професійні математики виділяли геометрію серед інших розділів математики, вважаючи її подібно механіці експериментальної наукою, але вони ж розуміли, що, по-перше, можливі логічно стрункі геометричні побудови, що їх годі фізична реальність, по-друге, менш безперечно, що у астрономічних масштабах у світі панує геометрія Евкліда. Новий етап у розвитку неевклідової геометрії настав, коли з’явилися перші її моделі. На одній із найцікавіших моделей придумав Анрі Пуанкаре, займаючись суто аналітичними питаннями. Розповіді модель Пуанкаре і присвячена ця заметка.
Рассмотрим коло. Нехай його населяють істоти, які твердо впевнені, що й світ, тобто коло, необмежений. Цей коло влаштований отже що вони рухаються від центру кола для її кордонів, довжина їх кроку = 1/(n2), де n — число кроків, що вони вже зробили. Тоді неважко бачити, що людина будь-коли сягне кордонів круга.
Докажем, що відстань, пройдене чоловічком будь-якою кроці, менше двох. Зрозуміло, що довжина кроку= 1/(n2)<1/(n (n-1))= 1/n-1 — 1/n (*) Тоді відстань R = ¼ + 1/9 + … + 1/n2 за нерівністю (*) ¼+ 1/9+…+1/n2 < 1−½ + ½−1/3 +… 1/(n-1) -1/n Неважко бачити, що це складові крім 1 і 1/n скоротяться. Тоді одержимо: 1+ ¼ + 1/9+…+1/n2 < 2 — (1/n) Отже, ніхто з мешканців кола зможе довести, що й світ обмежений, і вони вірять, що справедлива аксіома Евкліда: «Через точку поза прямий проходить єдина пряма, паралельна даної». Однак у колі роль прямих мешканців цього кола грають відтинки, що з'єднують точки окружності. Та, вочевидь, що за будь-яку точку поза відрізка можна навести хоч греблю гати відрізків, не котрі перетинають даний (див. рисунок).
.
Аналогічний приклад можна побудувати з кулею в просторі. Однак ніщо корисно нам себе цього разу місце мешканців кола Пуанкаре. Тоді багато аксіоми Евкліда стають менш інтуїтивно зрозумілими. Варто замислитися, чи потрібно так безкомпромісно доверять?
Список литературы
Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.