Розділ 5. Екстремуми функцій

Поняття екстремума функцій багатьох змінних

Нехай функція U=f (x₁, x₂,…, x_n) задана на множині ЕR^п.

Означення 1.1 Будемо говорити, що в точці функція має максимум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f (M)?f (M₀).

Означення 1.2 Будемо говорити, що в точці функція має мінімум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f (M)?f (M₀).

Як і в одномірному випадку точки максимуму та мінімуму функції називають точками екстремуму.

Теорема 1.1. (Необхідні умови існування екстремуму).

Нехай функція U=f (x₁,…x_n), яка задана в області D, має в точці екстремум. Якщо в цій точці існують всі її частинні похідні 1-го порядку, то всі вони дорівнюють нулю: .

Доведення. Нехай дана функція в даній точці має максимум. Тоді функція, як функція від однієї змінної по х₁має в точці х⁰₁ теж максимум, причому похідна в цій точці дорівнює частинній похідній. Оскільки функція має похідну в цій точці і ця точка є для неї точкою максимуму, то за відомою теоремою з одномірного аналізу її похідна, а отже і, аналогічно і з всіма іншими частинними похідними.

Аналогічно доводиться теорема, коли функція має мінімум.

Теорему доведено.

Означення 1.3 Точку М₀, в якій всі частинні похідні функцій, або не існують, називають критичною точкою цієї функції.

Точки в яких всі частинні похідні 1-го порядку дорівнюють нулю, називають ще й стаціонарними.

Таким чином, щоб функція мала екстремум в даній точці необхідно, щоб ця точка була критичною. Наступний приклад показує, що це не є достатньою умовою.

Розглянемo функцію z=xy. Точка (0,0) тут є критичною, але в ній екстремуму немає. Бо який би ми окіл не взяли, в ньому існують точки в яких значення функції більші від значень функції в точці (0,0) та існують точки, в яких значення функції менші.