Математичні задачі. 
Класифікація задач

Леонтьев А. Н. дает следующее определение задачи. Задача — это цель, данная в определенных условиях. Под целью, здесь понимается предвосхищаемый субъектом результат будущего действия, ее роль состоит в регуляции хода выполнения действия и при необходимости его корректировки. Это широкое определение, подходящее к любым задачам (двигательным, перцептивным, мнемическим, учебным, математическим и др.) [20].

Математической задачей принято считать предложение, содержащее некоторые математические условия и требования [11].

О. Б. Епишева дает следующее определение математической задачи — это математический вопрос, ответ на который не является непосредственным и не может быть получен путем прямого применения известных схем [7].

Нами была выделена следующая классификация задач.

По характеру требования: задачи на доказательство; задачи на построение; задачи на вычисление.

По функциональному назначению: задачи с дидактическими функциями; задачи с познавательными функциями; задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности: стандартные (известны все компоненты задачи); обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).

По методам решения: задачи на геометрические преобразования; задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними: простые; сложные.

По компонентам учебной деятельности: организационно-действенные; стимулирующие; контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные, нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т. д. [27].

Д. Пойа выделил следующие виды задач, это задачи на нахождение и задачи на доказательство.

Задачи на нахождение. Цель задачи на нахождение — это нахождение определенного объекта, неизвестного этой задачи, удовлетворяющего условию задачи, которое связывает неизвестное с данными этой задачи.

Задачи на доказательство — это задачи, в которых необходимо доказать или опровергнуть какое-то математическое утверждение [23].

Также существуют сюжетные задачи. Сюжетные задачи — это такие задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс). Эти задачи имеют и другие названия: текстовые, практические, аналитические и т. д. [31].

Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: алгоритмические задачи; полуалгоритмические задачи; эвристические задачи.

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т. е. для решения которых имеется алгоритм.

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов.

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения [28].

Более наглядно классификация задач представлена в приложении 1.

Виды задач.

1. Задачи как средство обучения.

Задачи как средство обучения это задачи, которые являются вспомогательным материалом (средством) для введения какой-либо теории, фактов. В этом случае часто встречаются термины: обучение через задачи; обучающая цепочка задач; метод подготовительных задач; метод целесообразно подобранных задач. Такие задачи используются для мотивации и закрепления теории, для обучения алгоритмизации.

2. Задачи как цель обучения.

В этом случае задача сама является объектом изучения, задачи решаемые методом уравнений, задачи на построение, на исследование функции с помощью производной, задачи на вычисление. Основная цель таких задач — образовательная, т. е. научить учащихся решать задачи данного класса [26].

Основные компоненты задачи В задаче выделяют следующие компоненты:

1) Условие — начальное состояние; 2) Базис решения — теоретическое обоснование решения; 3) Решение — преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением искомого; 4) Заключение — конечное состояние.

Если все компоненты задачи — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной [28].

В любой задаче, как известно, есть неизвестное, т. е. то что необходимо найти и условие, т. е. то о чем говорится в задаче, но при рассмотрении задачи Д. Пойа вводит и такие понятия как двухэлементное или двухкомпонентное неизвестное, трехкомпонентное и т. д. Например, если задача заключается в том, чтобы построить окружность и ее радиус. Возможно, что будет полезно расчленить нашу задачу: вместо того чтобы сразу искать оба интересующих нас элемента — центр и радиус, можно попытаться найти сначала один, а затем другой [23].

В задачах на нахождение удобнее разделить условие на несколько частей или пунктов. Например, при решении геометрической задачи на построение условие можно разбить на две части так, чтобы каждая из этих частей порождала геометрическое место для искомой точки.

В задачах на доказательство, удобнее подразделять условия (предпосылки), или заключения, или как того, так и другого, на соответствующие части или пункты.

Рассмотренные классификации задач дают более полное представление о многообразии математических задач, которые рассматриваются в школе. Необходимо четко разделять между собой задачи, так как каждый вид предназначен для решения разного класса задач.