Теорема Фалеса. 
Доведення теорем зі шкільного курсу геометрії

Теорема. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні. (Мал.6).

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай задано прямокутну систему координат і деяку пряму. Позначимо через б кут на який потрібно повернути вісь, щоб надати їй одного з напрямків цієї прямої. Куту надамо знак «+» або «-» в залежності від того, буде цей поворот додатній (проти годинникової стрілки) чи від'ємний. Цей кут назвемо кутом нахилу прямої до осі Зрозуміло, що цей кут нахилу визначається з точністю до. Тому за кут б беремо найменше додатне значення, а у випадку коли вважають, що кут нахилу дорівнює нулю (мал.4,5).

Означення. Тангенс кута нахилу прямої до осі називається кутовим коефіцієнтом цієї прямої.

Мал.4 Мал.5.

Позначимо кутовий коефіцієнт буквою k. Відповідно до означення. Причому,. Якщо, то якщо, то — існує. В цьому випадку пряма .

Розглянемо довільну пряму задану двома точками і. Полярний кут відрізка дорівнює куту нахилу прямої до осі, тобто мал. Очевидно, що Таким чином, для кутового коефіцієнта маємо формули:

(1).

. (2).

Припустимо, що величина відрізка і кутовий коефіцієнт прямої (1). Тоді формула (2) набуває вигляду, () — довільна точка), звідки.

. (3).

Рівняння (3) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Легко помітити, що і навпаки: кожне рівняння (3) визначає пряму, яка має кутовий коефіцієнт і відтинає на осі відрізок, величиною.

Покажемо, як скласти рівняння прямої, якщо відомо одну точку цієї прямої і кутовий коефіцієнт. Підставивши координати точки в рівнянняя (3), одержимо, що. Отже шукане рівняння буде мати вигляд:

(4).

Якщо відомо дві точки прямої і, то підставивши значення кутового коефіцієнта, обчислене за формулою (2), в рівняння (4), одержимо або.

(5).

Рівняння (5) називається рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Позначмо тоді отримаємо загальне рівняння прямої: .