Історія математики

История математики

I. Введение.

В історії математики розглянутий нами період існування Олександрійської школи називається «Першої Олександрійської школи». З початку нашої ери з урахуванням робіт олександрійських математиків починається бурхливий розвиток ідеалістичної філософії: знову відроджуються ідеї Платона й Піфагора, і це філософія неоплатоников і неопифагорейцев швидко знижує наукове значення робіт нових представників математичної думки. Але вагу ж математична думку не завмирає, а раз у раз проявляється у роботах окремих математиків. Другий період, куди протікала робота Олександрійської школи, називається «Другий Олександрійської школи».

II. Герон Александрийский.

К числу представників Олександрійської школи початку другого періоду існування треба віднести Герона Олександрійського, який жив, мабуть, у І в. до зв. е. Герон був видатним грецьким інженером і вченим. Він відомий багатьма своїми винаходами, роботами геодезичного характеру, і навіть математичними роботами, стосовними переважно до питань геометричній метрики. І його робіт, мають значення для математики, можна назвати «Метрики» і «Про диоптре». У «Метриці» наводяться правил і вказівки для точного і наближеного обчислення площ, і обсягів різних лідерів та тіл; у тому числі є і формула визначення площі трикутника за трьома його сторонам, вона до математику під назвою формули Герона. З іншого боку, у цій роботі вказуються приклади рішення квадратних рівнянь і наближеного обчислення квадратних і кубічних коренів. Характерною ознакою «Метрики», выделяющей їх із низки робіт інших грецьких геометрів, попередніх Герону, служить тільки обставина, що у ній зазвичай правила даються без доказів, а лише з’ясовуються на окремих прикладах. Це істотно знижує гідності праці та, безсумнівно, є ознакою недостатньою наукової підготовки її автора. Однак у області практичних, додатків математики Герон перевершує багатьох своїх попередників. Кращою ілюстрацією цього є його робота «Про диоптре». У цьому вся праці викладаються методи різних робіт геодезичного характеру, причому землемерная зйомка проводиться за допомогою винайденого Героном приладу диоптры. Цей прилад є прообразом сучасного теодоліта. Головною його частиною служила лінійка з укріпленими на кінцях ёе визирами. Ця лінійка спілкувалась із широкого кола, яку міг займати і горизонтальне, і вертикальне становище, що дозволяло намічати напрями як і горизонтальній, і у вертикальної площині. Для правильності установки приладу щодо нього приєднувалися висок і культурний рівень. Користуючись цим приладдям і вводячи фактично на вживання прямокутні координати, Герон міг вирішувати на місцевості різні завдання: виміряти відстань між двома точками, коли одне з них чи обидві недоступні спостерігачеві; провести пряму, перпендикулярну до недоступною прямий лінії; знайти різницю рівнів між двома пунктами; виміряти площа найпростішої постаті, не вступаючи на вимірювану площадку.

Сочинения Герона давали його сучасникам багатого матеріалу, практичне використання якого цілком задовольняло питанням будівництва й землеробства, тому ці твори користувалися великим успіхом у продовження багатьох столетий.

III. Никомах, Менелай.

В кінці I в. зв. е. треба відзначити поява праць неопифагорейца Никомаха. Його робота «Запровадження в арифметику» є першою працею з математики, викладеним незалежно від геометрії, і тому вона надавала свій вплив вивчення арифметики щонайменше тисячі років. Позаяк означена робота зовсім позбавлений у собі нічого оригінального. Основний її ідеєю є класифікація чисел, причому вона проводиться на засадах, повністю які спираються числову містику. У числову класифікацію Никомаха входять ще й багатокутні числа на зразок пифагорейских. Найбільш цікавим в «Арифметиці» Никомаха є розділ підсумовування числових рядів. Тут ми зустрічаємо, наприклад, вказівку те що, що кубічні числа представляють собою суми послідовних непарних чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 тощо. д.

Современником Никомаха треба вважати астронома і геометра Менелая Олександрійського, який написав трактат про сферичних трикутниках, котрі з’явилися у свого часу хіба що фундаментом сферичної геометрії. У цьому праці Менелая перебуває знамениту теорема, за якою «якщо якась є пряма лінія перетинає три боку трикутника чи його продовження, то твір трьох відрізків, не мають загальних точок, одно твору інших трьох отрезков».

IV. Клавдій Птолемей.

Ко ІІ. належить діяльність Клавдія Птолемея. Раз працював головним чином області астрономії, і його астрономічні спостереження належать до часу між 125 і 151 р. (Як астроном Птолемей розробив геоцентричну систему світу, за якою Земля нерухомо почиває центрі світу, проте небесні світила рухаються навколо неї. Цю систему спростували М. Коперником у його геліоцентричної системі світу, полагающей, що центром Всесвіту є Сонце, навколо якого звертаються Земля та інші планети, причому всі планети обертаються навколо своїх осей.) У працях він мимоволі стоїть перед поняттями тригонометричного характеру, тому йому вдалося внести значний внесок і у розвиток тригонометрії. У межах своїх астрономічних роботах Птолемей не поділяв годинник на денні і нічні, як це робили єгиптяни, а вважав їх рівними зі своєї тривалості. Окружність він поділяв на 360 градусів й у градус ділив ще навпіл. Діаметр ж окружності він ділив на 120 градусів, вважаючи, в такий спосіб, що довжина окружності в 3 рази більше її діаметра; при цьому кожен градус діаметра подразделял на 60 рівних частин, а кожну з цих частин знову поділяв на 60 частин. У пізня година ці підрозділи градуси набули в римлян найменування partes minutae primae і partes minutae sekundae, що у перекладі означає «частини менші перші» і «частини менші другі». Від цих латинських слів нами і запозичені назви для одиниць виміру кутів і часу — хвилина і секунда.

Главная робота Птолемея називалася «Велике математичне побудова астрономії в XIII книгах» чи скорочено «Мэгистэ» (в перекл. з грецьк. «найбільша»). У історію вона під назвою «Альмагест», яке дали їй згодом арабы.

В «Альмагесті» Птолемей обчислює величини хорд всіх дуг від 0° до 180о, причому значення хорд дано для дуг через кожну ½°. На виконання цієї роботи Птолемей вводить свою теорему, що у історії математики називається теореми Птолемея і формулюється так: твір довжин діагоналей записаного до коло чотирикутника одно сумі творів довжин його протилежних сторін. З цієї теореми Птолемей підучив слідства, дозволяють у цій діаметру окружності і з двом хордам, стягивающим дуги a і b, обчислити хорди, що стягують дуги a + b і a — b. Користуючись отриманими співвідношеннями, і навіть використовуючи вміння обраховувати боку уписаних до кола правильних постатей (трикутника, квадрата, п’ятикутника, шестикутника і десятиугольника), Птолемей і становить свою таблицю хорд, попередницю сучасних таблиць синусов.

В історії математики Птолемей відомий також тим, що він перший засумнівався в очевидності постулату Евкліда про паралельних прямих і робив спроби довести його справедливість, цим поклавши початок довгому низці подібних ж спроб пізніших геометрів, поки Лобачевський не показав безуспішність таких доказів, роз’яснивши їх невозможность.

V. Папп.

Последним великим геометром Олександрійських шкіл можна припустити геометра III в. Паппа. Йому належало, як вважають дуже багато творі, у тому числі збереглося лише «Математичне збори», та й над повному вигляді (із 8 книжок цього збірника повністю втрачено перша бракує частини второй).

«Математическое збори» Паппа має для історії математики велике значення: вона носить огляд праць попередників Паппа, розвиває деякі з ідеї, коментує ці праці. Завдяки цьому для нас збереглися інформацію про багатьох математичних роботах древніх, які дійшли в першотвори по наш час. З іншого боку, у роботі Паппа є і нові і деякі оригінальні відкриття. Оскільки Папп який завжди називає авторів наведених їм теорем, важко судити, які теореми належать йому і які - іншим авторам. Але з відношення до окремим вважають безсумнівним, що вони належать Паппу. Чимало з цих теорем мають значний теоретичний практичним інтерес. Теорему Паппа про інволюції точок читається так: «Коли двох прямих, що у площині, взяти по трикрапку: на першої прямий точки 1, 5 і трьох, але в второй—2, 4 і шість, то точки перетину пар прямих 1—2 і 4—5, 2—3 і 5—6, 3—4 і шість— 1 лежать в одній прямий МN (рис. 1).

Велике застосування має теорема, що згодом була переоткрыта Паулем Гюльденом (1577—1643), тож і називається останнього: обсяг тіла, освіченого обертанням пласкою постаті навколо який-небудь що у її площині прямий, дорівнює твору площі постаті на довжину окружності, описаної під час обертання її центром тяжкості. Цікава запропонована і вивчена Паппом спіраль, яка описується точкою, що просувалася вздовж дуги чверті окружності, коли ця дуга обертається близько діаметра. З інших теорем, доведених Паппом, наведемо ще такі: «Центр тяжкості трикутника належить також іншому трикутнику, вершини якої лежать на сторони даного і поділяють цих сторін щодо одного й тому самому відношенні»; «Пряма, з'єднує протилежні кінці паралельних діаметрів двох кіл, мають зовнішнє дотик до інших, проходить через точку торкання». Паппу приписується також вирішення завдання проведення через тієї точки, що лежать в одній прямий, трьох прямих, їхнім виокремленням трикутник, вписаний у цей коло.

VI. Диофант.

К числу олександрійських учених ставляться алгебраїст Диофант, жила, мабуть, в III в. Жив він 84 року. Останнє зведення почерпнуто з епіграми якогось Метродора, вміщеній в так званої «Грецької антології». Зміст епіграми таково:

«Диофант прожив 1/6 свого життя у дитинстві, 1/12 у юності, таку потім 1/7 частину свого життя був холостяком; через 6 років по його одруження в нього народився син, померлого чотири роки раніше свого батька і до віку, вдвічі меншого, ніж літа його отца».

Диофант написала твір, що його їм «Арифметика». Цей твір різко відрізняється за своїм характером від відомих нам інших математичних робіт античних греків. Головна відмінність у тому, що виклад витрачання припадає суто аналітичним шляхом, хоч і вводиться іноді геометрична термінологія. «Арифметика» Диофанта включає в себе переважно питання алгебри і теорії чисел. Слід зазначити, що Диофант не викладає узагальнених методів на вирішення тих чи інших питань, а до вирішення кожного окремого питання підходить б із особливим методом. Це виявляє величезні математичні здібності Диофанта, але дуже знижує наукову цінність його праціЗ 13 книжок «Арифметики» по наш час збереглося лише 6. Вони Диофант розглядає рішення рівнянь 1-ї та ІІ-го ступеня, причому основне увагу привертає невизначені рівняння.

Алгебра Диофанта мусить бути віднесена до так званому періоду «синкопированной алгебри», тобто до того що часу, як у алгебр переходили від суто риторичного викладу (тобто словесного) для використання більш коротких записів з допомогою скорочених слів і деяких символів. Так, для зображення невідомого числа Диофант вводить позначення P. S ", а коли це невідоме вживається у множині, то згадане позначення подвоюється. Для кожної ступеня невідомого вводилися відповідні синкоповані позначення. Для позначення вирахування вживається знак, а рівності — літера I. Зменшуване писалося раніше вычитаемого, а числові коефіцієнти — після невідомих. Безпосереднє проходження однієї записи одною означало дію сложения.

Отрицательные числа Диофанту відомий були, але доводилося множити різницю двох чисел на різницю двох інших чисел, то Диофант користувався, правилом: «отнимаемое число, будучи помножене на отнимаемое, дає прибавляемое, а, будучи помножене на прибавляемое, дає отнимаемое».

При рішенні рівнянь Диофант визнавав лише позитивні раціональні відповіді, до того ж для квадратного рівняння вона завжди підраховував лише одне відповідь, якщо рівняння мало два раціональних і позитивних кореня. Яким методом він вирішував квадратні рівняння, невідомо, позаяк у збережених по наш час книгах цього пояснення просто немає. Аби вирішити рівняння 1-го ступеня Диофант вдавався до прийомів, описаним їм так: «Якщо нині у який-небудь завданню ті мірі невідомого зустрічаються на обох частинах рівняння, але з різними коефіцієнтами, ми повинні вичитати рівні з рівних, доки одержимо одного члена, рівного одному числу. Якщо одного чи на обох частинах є члени вычитаемые, то ці члени би мало бути прибавлены до обох частин те щоб в обох частинах були лише прибавляемые. Потім знову треба забирати рівні від рівних, доки залишиться тільки з одного члену із боку». Таким шляхом Диофант сягав того, чого ж ми домагаємося перенесенням відомих членів до однієї бік рівності, а невідомих — до іншої, приведенням подібних членів і розподілом на коефіцієнт при невідомому. У цьому слід зазначити, що Диофант, як і всі древні математики, уникав дії розподілу, замінюючи його повторним відніманням.

VII. Теон і Гипатия.

Учеными, завершившими цикл математиків Олександрійської школи, були Теон (IV в.) і його донька Гипатия (370—415).

Теон виконав велику роботу, коментуючи праці Евкліда і Птолемея. Що ж до Гипатии, то відгуків істориків, вона мала великими знаннями у сфері математики філософії і коментувала праці Архімеда. Диофанта і Аполлония. вона є першої відомій у історії математики женщиной-математиком. Їй належать філософські праці з тлумаченню Платона, Аристотеля я інших грецьких філософів. До сьогодення не збереглося жодного з творів Гипатии. Висока вченість і красномовство, які має Гипатия, її діяльну в громадських справах міста створили їй популярність у Олександрії, але з тим викликали ненависть із боку християнських релігійних фанатиків до вченого «язычнице». У 415 р. вона за підбурюванням єпископа Кирила була роздерта натовпом християнських бузувірів. Послідовники та їхніх учнів Гипатии, які змогли уникнути переслідування, бігли в Афины.

VIII. Занепад Олександрійської школы.

Папп і Диофант з’явилися останніми представниками олександрійських математиків, які зробили в математику нові театральні ідеї. Надалі значення олександрійських учених знижується дедалі більш. Це як внутрішніми, і зовнішніми умовами роботи у Олександрійської школі. Державний лад, за умов якого розвивалися науки в Афінських і Олександрійських школах, лад, заснований на рабському праці, було сприяти подальшому зростанню наукових знань. У роки існування Олександрійської школи Птолемея було створено дуже сприятливі умови для наукової праці, оскільки це було вигідно для правлячих класів: треба було створити сильне і багате держава, яке приносить й особисте вигоду Птолемеям.

Развитие техніки військової справи, астрономії, географії, торгового справи і промисловості вимагало та швидкого розвитку математики, тому математика й мала всі дані для свій зріст і вшир, і всередину. Але коли його матеріальні потреби правлячих класів були задоволені досягнутими успіхами наук, то ми не став і стимулу для заохочення подальшого зростання наукових знань. Такі внутрішні умови, які занепад математичних наук у м. Олександрії. Але, поза ними, існували й умови зовнішнього характеру. Вже набагато раніше початку нашої ери стало дедалі більше позначатися домагання Риму на оволодіння територією, де була розташована Олександрія. У 47 р. до зв. е., в часи війни Юлія Цезаря проти Олександрії, спалили її чудова бібліотека. Потім у неї відновлено; але Рим остаточно опанував Олександрією, почалася жорстка ворожість між християнами і язичниками. Релігійна ворожнеча озвалася і науці, оскільки, по-перше, в науку стала проникати християнська містика (що озвалося, наприклад, на творах Никомаха), а, по-друге, християнські фанатики стали переслідувати все язичницьке, зокрема і «поганську» науку. По приказанию патріарха Теофіла в 391 р. у м. Олександрії зруйнували храм бога Серапіса, а разом із храмом загинула і бібліотека. Дні Олександрійської школи були полічені.

Таков був кінець Олександрійської математичної школы.

Последний короткочасний розквіт математичних наук у Греції йдеться у V — VI ст. в Афінах. Афінська школа цієї епохи працювала переважно над тлумаченням робіт математиків колишніх століть: Евкліда, Архімеда та інших. Однак це школа в 529 р. було закрито по розпорядженню імператора Юстініана як «язичницька мерзость».

IX. Заключение.

Из наведеного вище нарису розвитку математичних знань у Стародавню Грецію можна побачити, що з більш як полуторатысячелетний період математична наука у Греції мала значні досягнення. Це стосується переважно до елементарної геометрії, що у працях Фалеса, Піфагора, Платона і особливо Евдокса, Евкліда і Архімеда придбала той зміст, яке зберігається у справжнє час. У цій сфері грецькі математики зуміли побудувати цілком наукову основу дали суворо дидактичну виклад теорії. Від греків ми маємо і основи всієї геометричній термінології. Що ж до інших розділів математики (арифметики, алгебри і тригонометрії), то них закладено певну базу науки, але повного розвитку ці розділи у греків не отримали. Як бачили раніше, греки у арифметичних дослідженнях відривалися від практичного рахунки, суворо відділяючи арифметику від логістики, і це у значною мірою гальмувало розвиток арифметики, бо жодна наука абсолютно не може повинна розвиватися у відриві від практики. Розвитку алгебри перешкоджало те, що недостатньо увійшли до вживання символічні записи, натяк якими вперше зустрічаємо в працях Диофанта, що користувався лише окремими символами і скороченнями записи. Своє значення алгебра придбала набагато пізніше, як у зв’язки Польщі з розвитком символіки змогла допомогти і практичним розрахунках, і науковим узагальнень. Стосовно тригонометрії ми можемо сказати, що у Греції тригонометрія не отримала самостійного значення, а була лише допоміжним обчислювальним апаратом для астрономічних наблюдений.

Однако якщо розглядати розвиток у Стародавній Греції елементарної математики цілому, ми повинні визнати, що зобов’язані грекам дуже великими досягненнями у цьому пути.

Рыбников До. А. Історія математики: Підручник. — М.: Вид-во МДУ, 1994. — 496 с.

Выгодский М. Я. Арифметика і алгебра у старовинному світі. М.: Наука, 1967.

Стройк Д. Короткий нарис історії математики. М.; Л.: Наука, 1990.

Колмогоров А. М. Математика // Великої радянської енциклопедії. 2-ге вид. Т. 26, 464 — 483.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.