Господствующие стилі математичного мислення

Господствующие стилі математичного мышления

Стиль — поняття, развивавшееся тисячоліття мистецтво, літературі, мовою й яка означала цілісність образною системи, єдність коштів художньої виразності. Наприклад, в архітектурі відомі стилі - античний, готика, класичний, бароко, модерн та інші. З 1970;х років XX в. в дослідженнях з історії та методології науки було запроваджено і дуже обговорювалося поняття стилю наукового мислення.

Аналогично можна казати про стилі мислення у математиці: це цілісне єдність змісту і форми математичного творчості і її результату — наукового твори; це єдність ідеї, й її докази (обгрунтування й викладу). Стиль є невід'ємною характеристикою особистості автори і його математичного творчості (під особистістю треба розуміти окремий учений, співтовариство, наукова школа).

Каждый видатний математик вирізнявся власним стилем творчості, проявлявшимся у чимало творів. Для Піфагора та її школи характерний мистико-математический стиль, тобто. изотерическое світогляд, шматки з якого виглядають для непосвящённого те, як релігійне, те, як філософське знання. Для Демокрита — математичний атомізм, став першим провісником диференціального і інтегрального числень. Для Евкліда — суворо послідовний, гранично лаконічний, сказав би, аскетичний стиль аксіоматики. Для Архімеда — геніальний своєї простотою і сміливістю механико-геометрический стиль доказів (багато в чому схожий з корпускулярно-механическим стилем І.Ньютона, понимавшего світ знає як сукупність корпускул, які за у тому ж незмінним, раз назавжди встановленим законам). Стиль Архімеда і Ньютона виникає при сходженні думки від змістовного до формального, від конкретно-физического до абстрактно-математическому рівню понять.

Прямо протилежний за спрямованістю стиль Г. Лейбница, що йшов від філософії до математиці, від философско-теологической моделі буття (монадологію) до конкретнішого рівню — аналізу нескінченно малих.

Стиль голографичен, тобто. впізнаваний по окремому твору. Прочитавши шматок з древнього тексту про аксіомах і постулатах, і ми дізнаємося його автора — Евкліда. Кілька сторінок із книжки ХІХ століття про підстави геометрії однозначно вкажуть з їхньої автора — Н. И. Лобачевского, Я. Бойаи чи Б.Римана. Тому й математиці працює герменевтика — теорія розуміння, що виникла типово гуманітарних областях — теології, філології, юриспруденції.

Стоит відзначити відому думку Ф. Клейна про перші два типах математиків — интуитивистах і формалістах. Перші прагнуть поринути у сутність ж проблеми і «побачити «результат (шляхом осяяння, інсайту), потім сформулювати теореми і довести. Але доказ їм — річ другорядна.

Для других навпаки: головне — довести теорему — старанно, скрупульозно, як одним, а й другим, і третім способами, щоб перевірити, і перевірити ще раз доведене, переконатися у отриманні «абсолютної істини » .

Большинство видатних математиків ставляться до интуитивистам (останні століття — П. Ферма, Р. Декарт, Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский, Б. Риман, А. Пуанкаре, Л. Брауэр, Г. Вейль і інші). Але є багато відомих учених гармонійно поєднували у власному стилі і найглибшу інтуїцію, і сувору логіку — Гаусс, наприклад.

Можно говорити також стилях, визначених улюбленими методами математика, або зв’язками з додатками, або джерелами ідей (з природознавства, управління, філософії і навіть політики).

Как бачимо, стилі надзвичайно різноманітні і визначаються неповторним поєднанням наступних трьох чинників:

Личностью ученого (його одухотворённостью, емоціями й інтелектом, пам’яттю, волею, системою цінностей, переважанням дискретних чи безперервних процесів в мисленні, націленістю для відкриття, новизну чи обгрунтування раніше отриманого знання, на доказ, орієнтацією на красу ідеї, або на користь тощо.). Усе це становить гуманітарну, суб'єктивно людську і найбагатшу складову стилю.

Специфическими властивостями математичного знання (вимогою його аподиктичности — доказовості і неспростовності, трансцендентністю, умозрительностью і формально-знаковым характером, трьома фундаментальними структурами — арифметичній, алгебраїчній, топологічної, орієнтацією на істину, а чи не користь, його зв’язком із додатками мови у природничих і гуманітарних науках). Це «об'єктивна «складова стилю, найбільш незалежна від особистості ученого.

Социально-культурным контекстом цього часу, обумовлених: а) специфікою культури — східної чи західної; б) панівним світоглядом — міфологічним, релігійним чи філософським, і навіть провідною орієнтацією епохи — на гармонію (як і древньої Греції), чи духовне вдосконалення (як і середньовіччі), чи матеріально-технічний прогрес (як і час, останні чотири століття), чи пошуки гармонію людини і природи (з ХХІ сторіччя); в) націленістю наукових співтовариств в поточний період математики на емпіричні чи теоретичні методи обгрунтування теорем, на алгоритмічний (генетичний) чи аксіоматичний способи розвитку та викладу отриманої інформації, на конкретні чи абстрактні завдання, на практичний чи теоретичний способи організації математичного знання і набутий т.п.

Эти три чинника у взаємодію уряду й утворюють надзвичайне багатство математичних стилів як єдності формального і змістовного, духовного і матеріального, фантастичного і реального, гуманітарного і природничонаукового та інших елементів знання.

Каковы ж головні стилі, як його класифікувати, систематизувати — за якими підставах?

Большинство людей мислять у межах двозначною логіки, тому й стилі мислення найзручніше уявити, як розташовані між двома протилежними полюсами Проте йА (як аттракторами — центрами тяжіння мислення найрізноманітніших учених). Звідси природно запровадити класифікацію стилів лінією протиставлення: 1) змістовний стиль — формальний стиль (чи близький до ним розподіл: конкретний — абстрактний стиль, приватне — загальне, маю на увазі прагнення одного вченого до рішенню конкретних завдань, а іншого навпаки — побудувати абстрактно-формальных схем та його застосуванню до вирішення приватних питань); 2) дискретний — безперервний (зокрема, алгебраїчний — геометричний), 3) платонистский — неплатонистский (зокрема, класичний, на кшталт теоретико-множественной математики, — интуиционистский, на кшталт интуиционизма Л.Э.Я.Брауэра). Крім подібних ділень з философско-методологических позицій, можливі гуманітарні класифікації: 1) національний — інтернаціональний, 2) индивидуальный, неповторний — який повторювався, 3) тимчасовий, належить до даної епосі - «вічний », внеэпохальный, 4) належить до певної математичної школі - «позашкільний «тощо.

Рассмотрим їх докладніше на прикладах зіставлення стилів окремих учених. З порівняння і побачимо — чий стиль більш змістовний, чий більш формальний, більш безперервний або як дискретний.

Сравним І.Ньютона і Г. Лейбница.

Области їх інтересів, у математиці багато чому подібні - це початку диференціального і інтегрального числень, варіаційного обчислення, аналітична геометрія. Але постановка проблем, формулювання завдань, підходи до розв’язання, на методи вирішення, філософія й особливо мислення — різняться нерідко протилежні.

Ньютон у всім серйозний, фундаментален, вимогливий себе — як наслідок уповільнений. Ляйбніц значно більше розкиданий і квапливий. Отримавши результат, поспішає опублікувати. Англієць эмпиричен, будує прилади, проводить ретельну перевірку висновків, прагне уникати гіпотез, не обгрунтованих досвідом («hypotesis non fingo »). Німець — прибічник чистого умогляду, теоретик, дуже що ускладнює себе обгрунтуванням численних ідей (здогадок, узагальнень, аналогій), безупинно висунутих їм. Ньютон залежить від конкретного до абстрактному — від фактів до законів і теорії загалом, математика йому — лише деякі з природознавства. Ляйбніц зазвичай мислить від загального до приватному, від абстрактного до конкретного — від філософської схеми монадологію до її інтерпретації у математиці - ідеям диференціала і інтеграла. Математика і логіка йому — щось на кшталт формального розділу філософії. Творець «Математичних почав натуральної філософії «мислить цілісними геометричними образами, до душі правополушарное мислення, мислення безперервним. Основоположнику математичної логіки ближче алгебраїчні форми, дискретні символи, левополушарное мислення.

Таким чином, хоча стиль кожного вченого глибоко індивідуальний, а видатного — просто неповторний, тим щонайменше можна дійти невтішного висновку, що стиль Ньютона переважно геометро-механический, а стиль Лейбніцаалгебро-логический. Це дуже відповідає також культурі їх країн. Англія, як відомо, батьківщина эмпиризма, оплот индуктивизма і індивідуалізму. Німеччини ж властиво суто теоретичне, формально-схематическое мислення, рух думки від абстрактного до конкретного, отже — дедуктивизм, прагнення підпорядкувати індивідуальне, приватне — тоталітарному цілому.

Сходным чином, можна порівняти стилі мислення Д. Гильберта і Л.Э. Я. Брауэра. Вони заклали 2 програми обгрунтування математики — формалізм і интуиционизм. Схожість і відмінність їх стилів (як фахівців із підставах) найлегше знайти при порівнянні позицій в дискусії з підставах математики, яка проходила то спалахуючи, то затухаючи в 1910;е — 20-ті роки. Обговорювалося значення теорії множин для математики, роль аксіоматичного методу, формалізації, абстракції актуальною нескінченності, закони логіки (особливо закон виключеного третього), зв’язок між математикою, мовою, логікою, існування математичних об'єктів, Природа і методи математичного мислення, проблема реальності.

Брауэр критикує класичну (теоретико-множественную) математику за необгрунтованість, непереконливість її занадто умоглядних, «хвацьких «абстракцій. Гільберт захищає ідеали Кантора. Брауэр спирається як філософського фундаменту на «безпосередньо цю реальність », на переживання індивіда — у сенсі для нього близькі буддизм, экзистенционализм, філософія потоку свідомості. Гільберт бере в основі об'єктивну реальність, цю у київському колективному чуттєвому досвіді. Його філософія — платонізм і неокантіанство.

В дискусії обговорювалися 5 головних проблем: 1) проблема несуперечливості і повноти теорії (математики), 2) обгрунтування теорії, 3) існування математичних об'єктів, 4) природи пізнання, 5) реальності й її єдності.

Проблема безперервності і повноти..

Брауэр: класична математика суперечлива, т.к. спирається на теорію множин, що містить парадокси. Нова (интуиционистская) математика розглядає світ уявних процесів, развертывающихся в послідовність елементарних актів (кроків). Результати цих процесів — математичні об'єкти і конструкції.

Гильберт: класична математика несуперечлива, її теорії сповнені, т.к. та її конструкції продумані і вважаються математичним співтовариством, б) вона чудово працює у практиці. Безглузда заміна класичної математики на интуиционистскую, т.к. остання неповна, це обрізана (секвестированная) математика.

Проблема обгрунтування..

Брауэр: тільки така математика обгрунтована, що відповідає критеріям интуиционизма як конструктивного узагальнення людського досвіду. Аксіоматичний метод і формалізація не висловлюють сутності математичного мислення, т.к. приховують за мовної формою цю сутність. Переконливе обгрунтування математики дає лише рекомендацію інтуїція як безпосереднє внутрішнє безъязыковое переживання образів, що йдуть із глибини «я ». Лише з вимозі соціуму учений змушений наділяти ці образи мовну форму і тих спотворювати їх (з точністю, як в Ф. И. Тютчева: «думку виречена є брехня »). У Гільберта ж математика вироджується до гри формулами.

Гильберт: класична математика обгрунтовується колективним досвідом наукових співтовариств. Остаточне обгрунтування дасть теорія доказів. вона є «протоколом щодо правил мислення ». Її суттєвою частиною є формалізм і аксіоматичний метод. Завдання науки — визволення з суб'єктивізму, що досягла свого найвищого висловлювання на интуиционизме.

Проблема існування математичного об'єкта..

Брауэр: математичний об'єкт існує, коли він побудований явно або його побудова можливе з допомогою алгоритму. Теореми про існування без побудови немає ніякого значення.

Гильберт: об'єкт існує, коли він непротиворечив. Доказательсва існування скорочують і заощаджують думку. Вони завжди, були віхами математичного прогресу.

Проблема природи мислення..

Брауэр: математичне мислення спирається на інтуїцію (передусім інтуїцію часу, інтуїцію роздвоєння єдиного). Існують вихідні принципи мислення, але де вони лише результат вільного твори математика-индивида. Спочатку математичне дослідження залежною ні від мови, ні від логіки. Головний метод мислення — інтроспекція. Повсякденне знання вище формального. Існують нерозв’язні проблеми.

Гильберт: математичне мислення грунтується на інтелектуальної ясності. До математики ми маємо досвідчені уявлення, конкретні об'єкти. Математика починається з знаків, що пропагують ці об'єкти, і з логіки, дає надійні висновки. Математика интерсубъектна (є наслідком колективної творчості) і, власне кажучи, об'єктивна (в платонистском сенсі). Формальне знання вище повсякденного. Світ можна пізнати, все математичні проблеми, у принципі можна розв’язати.

Проблема реальності й єдності світу..

Брауэр: реальність — це свідомість індивіда, це образи, мыслеформы, висхідні від внутрішньої сфери до світу. Це суб'єктивна реальність. Чи є об'єктивність, єдина всім індивідів, — відкрите питання.

Гильберт: існує об'єктивність, дана нам наочно, як чуттєвих переживань до якого не пішли мислення. Єдність світу проявляється у математиці як універсальному мові, раскрывающем сутність світу.

Как ми знаємо, у спорі немає переможця. Интуиционистская і теоретико-множественная математики доповнюють одне одного.

Гильберт і Брауэр працювали у різних галузях. Гільберт ясний, послідовний, логічний. Більше схильний до формального мисленню, що особливо видно на теорії доказів. Він платонист і кантіанець. Його стиль може бути формально-платонистским. Це панівний стиль, т.к. абсолютна більшість математиків — платонисты.

Брауэр ж намагався відірватися від платонізму, розірвати зі античної традицією математиків оперувати ідеальними об'єктами подібно матеріальним предметів. Звідси враження суперечливості. Хоча погляду класично мислячого вченого він справді суперечливий: працював і теоретико-множественными методами (в топології), і интуиционистскими, створюючи принципово нову неплатонистскую математику.

Определенными зрушеннями в неплатонистском напрямі стали також конструктивізм, теорія категорій, деякі теорії з логіки. Справді, якщо радикалізувати позицію Брауэра, висловити її ще ясніше вилучити з його философско-математических висловлювань натуральні числа, то залишиться лише алгоритм. Тоді байдуже ЩО перетвориться, а важливо ЯК (саме перетворення). По ідейного підходу це близько до теорії алгорифмов, -підрахунку А. Черча, теорії категорій. У одному із напрямів конструктивізму — теорії алгорифмов А. А. Маркова (мл.) головне — саме перетворення, але алгорифм розуміється платонистски. Але вжеліточислення, метафорично висловлюючись, логіка без змінних. Теорію категорій Ю. И. Манин назвав соціологічним підходом, тобто. це хіба що структури без елементів, потім першим звернув увагу Ф. У. Ловер.

В що ж полягає неплатонистский стиль мислення?

в подоланні мислення цілісними «недвижними «поняттями, подібними мовним формам чи матеріальним речам, і абсолютному утвердженні мислення рухливими образами, стають мыслеформами, отже, перехідними, дробовими об'єктами — фракталами; оперування ними потребує уважного й неплатонистской логіки — мислення хіба що дробовими поняттями, судженнями, думками;

в відмови від класичної трійки: елемент, структура, система, і абсолютному утвердженні системи без елементів, але з структурою (законом);

в відмови від субъект-объектного розщеплення буття, визнання його обмеженості й утвердженню єдиного буття, у якому злиті об'єкт і суб'єкт.

Подобно тому, як на початку сучасності в природознавстві виникла некласична наука, а до кінцю століття — постнеклассическая, також виникла некласична математика (интуиционизм), та почала розвиватися постнеклассическая (наприклад, фрактальная геометрія). Їх відмінність — в зсуві до картини світу, у якій в математичне знання увімкнули ідеальний мислячий суб'єкт, відмовити від жорсткої структурності (як і теоретико-множественной картині). Є класи і структура, але немає елементів. Це вимагає гранично високий рівень абстрактності (звідси у конкретно мислячих математиків складається враження порожнечі категорных форм).

Неплатонизм передбачає мислення самоподобными об'єктами — фракталами. Їх дивовижа в тому, що організувати неможливо виділити частини (вони збігаються із) — вони мають структури як зв’язку елементів. У той самий час є законом. Наприклад, це формула Б. Мандельброта: Zn+1 = Zn2 + З.

Таким чином, интуиционизм, метаматематика, фрактальная геометрія утворюють зачатки неплатонистской математики — області вільно стають об'єктів, щодо якою постає відчуття, що НЕМАЄ класичних (теоретико-множинних) понять, чи його може бути — вони йдуть другого план. У той самий час й тут Є незмінні ідеальні об'єкти, наприклад, алгоритм, фрактал (як формула, організує його, чи відповідна геометрична картинка, мислима як завершене ціле) — але ці при платонистской інтерпретації, тоді зникає специфіка неплатонизма, його шарм, брауэровский присмак.

Мы отримуємо протилежності, які заперечують одне одного (НЕМАЄ і Є) — з погляду двозначною логіки.

Учёному ж, які прагнуть до мудрості (філософу), мусять бути подоланими обмеженість двозначності - піднятися над протилежностями і, отже, шукати МІЖ «існує «і «немає «, тобто, у сфері становлення — саме тут область зростання постнеклассической математики.

Эта область заповнена лише монстрами — дивними об'єктами, подібно кентаврові совмещающими у собі взаємовиключні властивості, наприклад, наявність структури при відсутності елементів, нерухомість й вічне рух, жвавість і мертвотність — як фракталы, і навіть безперервність при недифференцируемости, кінцівку площі при нескінченності периметра — як відкриті деякі функції і фігури. До того ж історично перший монстр — це ірраціональні числа (VI в. до РХ). У гармонійної картині світу античних греків цих чисел нібито немає, й те ж короткий час вони очевидна — як діагональ квадрата.

На одиничному відрізку прямий раціональні числа (виду m/n) утворюють безліч заходи 0 (їх майже немає), а ірраціональні - заходи 1 (це майже всі числа). Аналогічним чином майже все, що є в всієї математиці як світі всіх можливих світів — це монстри, а прекрасні гармонійні несуперечливі поняття утворюють безліч заходи 0. Це найкращий із всіх можливих світів. Це наша світ, оскільки людський рід у принципі прекрасний і може стійко існувати (жити) лише оточенні прекрасного. Так монадологія Лейбніца і антропный принцип поділяють думку хаосі - проміжної області вічного становлення, між «так «і «немає «. Хаос тут поступається своєї яка творить стороною.

Таким чином, порівнюючи Гільберта і Брауэра, бачимо, що неплатонистский стиль останнього заперечує оперування «стали », нерухомими формами і веде до математики «абсолютно плинного », у якому цілих понять, але (гіпотетично) можливі фрактальные — дробные поняття, судження, умовиводи. Філософією, найближчої до такої - синергетичної трактуванні Брауэра, є даосизм як вчення про становящемся, але будь-коли який став бутті.

Стиль Брауэра (як засновника интуиционизма) може бути интуиционистско-неплатонистским, (попереднім синергетическому стилю мислення). Жизнь=математика=музыка=искусство — все злилося у його суперечливою, бунтівливої і бунтівної душі отрицателя основ, котрий прагне Єдиному, понимаемому на кшталт східну філософію. Відомі слова Бюффона «Людина — це стиль «(як у побуті, і у науці) належать до всім описаним ученим. Зокрема, манера поведінки, особливості особистому житті Брауэра корелюють з його пошуками неплатонизма у математиці.

Подобные пари математиків, дискутировавших чи паралельно які робили одні й самі відкриття і що вирізнялися стилями, неодноразово зустрічаються історія науки, на що звертає увагу И. М. Яглом 8. Він звертає увагу до універсальність двох типів мислення: левополушарного і правополушарного, арифметико-алгебраического і геометричного. Саме цим відрізняються Піфагор і Фалес (як творці теоретичної математики), Аристотель і Платон (розробники філософії математики, один — творець логіки, другий — його вчитель, мысливший яскравими картинками), Я. Бойаи і Н. И. Лобачевский (творці неевклидовых геометрий), Г. Грасман і У. Р. Гамильтон (зовнішня алгебра і кватернионы), К. Вейерштрасс і Б. Риман (алгебраїчна теорія функцій і геометричне напрям теорії аналітичних функцій), С. Ли і Ф. Клейн (теорія груп) та інші.

Левоі правопівкульний типи мислення обумовлені специфікою фізіології людського мозку, лежать у основі, і відповідних стилів. Якщо з Бюффоном, що стиль несе у собі индивидуально-личностный присмак, то:

стиль = тип + індивідуальність.

Таким чином, серед величезної кількості стилів можна назвати головні і класифікувати їх за парам протилежностей:

содержательный — формальний (близьке розподіл: конкретний — абстрактний);

дискретный — безперервний (близьке розподіл: арифметико-алгебраический — геометричний);

платонистский — неплатонистский (исторически-преходящее розподіл: теоретико-множественный — интуиционистский), як мислення дискретними цілісними поняттями і чи мислення перехідними, дробовими, фрактальными мыслеобразами.

XX століття вперше з часів великих греків через интуиционизм, конструктивізм, метаматематику, теорію категорій, фрактальную геометрію позначив відхід господствовавшего тисячоліття платонистского стилю.

Список літератури

Клейн Ф. Лекції про розвиток математики XX столітті. М.-Л., 1937. год. 1. -432 з.

Вейль Р. Математичне мислення. -М., 1989. -400 з.

Гильберт Д. Підстави геометрії. -М.-Л., 1948. -491 з.

Рид До. Гільберт. -М., 1977. -307 з.

Гейтинг А. Интуиционизм. -М., 1965. -200 з.

Панов М.И. Методологічні проблеми интуиционистской математики. -М., 1984. -224 з.

Манин Ю.Н. Лекції з алгебраїчної геометрії. -М., 1970. -ч.1. Аффинные схеми. -133 з.

Яглом І.М. Чому вищу математику відкрили одночасно Ньютон і Ляйбніц? // Кількість і думку. Вип. 6. М; 1983. З. 99−125.

9. Войцехомич У. Еге. Панівні стилі математичного мышления.