Теоретическая механіка (лекции)

Статика Статика-это розділ теор.мех., у якій вивчаються умови рівноваги матер. точек, тв.тел., мех. систем, за умови дії ними із боку інших тіл зусиль і моментів сил. Сила-это векторна величина, а (як будь-який векторної вел-ны для сили важливим явл-ся точка докладання, напрям й розмір сили. [F]=1H=1(кг (м)/с2. Р=mg-сила тяжкості. Аксіоми статики: 1. Система 2х сил, рівних величині, протилежно спрямованих і лежачих в одній прямий еквівалентна 0. {F1, F2}(0 — це, що сили врівноважені. Слідство: Якщо тіло під впливом 2х сил перебуває у рівновазі, то обов’язково ці сили = за величиною, протилежні в напрямі і в одній прямий. 2. Если до системи сил додати чи забрати систему сил еквівалентних нулю, то стан системи не зміниться. Слідство: сила-вектор ковзний. F1=F2=F2'=0, {F1, }({F1=F2'=F2}({F2'}, {F1;F2}(0. 3. Связи, накладені на тіло можна відкинути, замінивши їхні діяння реакціями. Основні види зв’язку й їх реакції. Абсолютно гладка поверхню. Реакція абсолютно гладкою поверхні спрямована із загальної нормальний до стичним поверхням. Реакція в рухливому шарнірі спрямована (до подання його можливого переміщення. Жорсткість закладення це не дає перевести по x, ні з у, ні повернути. 4. Силы складаються за правилом паралелограма. Слідство: теорема косинусов. 5. Любое дію викликає однакову і навпаки в напрямі протидія (III Ньютона). 6. Принцып отвердевания. Рівновага тіла від накладення нею додаткових зв’язків. Деякі поняття статики. Рівнодіюча систем сил ми називати силу, дія котрої еквівалентно дії системи сил. R*({F1;F2;F3;…;Fn} тоді ми можемо сказати, що систему сил виду ({F1;F2;F3;…;FnR*}эквивалентна нулю. Така система сил наз-ся врівноваженій чи рівноважної. Алгебраїчний момент сили щодо точки. Алг. моментом сили отн-но точки називатимемо твір сили на плече, взяте зі знаком + чи -. Плечо-это найкоротший растояние від моментною точки до лінії дії сили, вимірюваний перпендикуляром. М (F)=(Fh. + беремо у разі, якщо сила обертає тіло проти годинниковий стрілки, — у процесі годинниковий стрілки. Алгебраїчний момент сили щодо точки =0, якщо лінія дії сили проходить через точку. М (F)=(Fh=2S (OAB Векторний момент сили щодо точки -наз-ся векторное твір r на F. М (F)=[r (F]. Векторн. момент спрямований (площині, у якій лежать вектора r і F у той бік, що з кінця нинішнього вектора обертання, продуковане силою здається видно проти годинниковий стрілки. Чисельно векторний момент дорівнює (М0(F)(= (F (((r ((sin (r; F); (М0(F)(= (F ((h=2S (OAB. Момент-вектор вільний, т. е.его можна переносити паралельно себе. Сходящиеся сили -такі сили, лінія дії яких перетинаються лише у точці (їх можна додати і отримати рівнодіючу силу збіжних сил). R*=(Fk. А, щоб система сход. сил лежить у рановесии необхідне й досить, щоб R*=0 (геометричне умова рівноваги сход. сил). (Fkх=0 — аналітичне умова рівноваги системи збіжних сил. (Fkу=0 (Fkz=0 Проекція сили на вісь. За визначенням проекція сили на вісь — це є скалярная алгебраїчна вел-на обумовлена по ф-ле: Fx=Fcos (, де (-кут між напрямом сили та віссю. Для рівноваги системи сход. сил на площині необхідне й досить 2 кря: (Fkх=0; (Fkу=0 якщо всі сили з площині хоу: F1, F2,…, Fn, (хоу. Теорему про те силах. Якщо тіло під впливом 3-х сил перебуває у рівновазі, причому лінії дії двох перетинаються, то лінія дії 3-й сили пройде через точку перетину у перших двох зусиль і все сили лежать у площині. {F1;F2;F3 }({R, F3}(0 Теорему про n силах. Якщо тіло перебуває у рівновазі під впливом n сил, причому n-1 їх перетинаються лише у точці, то лииня дії n-ой сили обов’язково пройде через точку перетину n-1 сили. Момент сили отн-но осі. Моментом сили отн-но осі наз-ся алгебраїчний момент проекції сили на пл-ть, (осі щодо точки перетину осі з пл-тью. Мz (F)=(F' h=(2S (OA'B' Момент сили щодо осі =0, якщо сила ((осі чи лінія дії сили перетинає вісь. Момент сили щодо осі =0, якщо сила і вісь лише у площині. Мz (F)=(М0 (F)(cos (Момент сили отн-но осі - це є проекція вектора моменту сили отн-но будь-який точки осі з цього вісь. S (OA'B' =S (OAB co (. Твір площі проецир. фигуры на co кута між постаттю і віссю одно площі проекції постаті. ½ Мz (F)=½(М0 (F)(cos ((Мz (F)=(М0 (F)(cos (=(М01 (F)(cos (1 М0 (F)=[r (F]= і j k x y z.

Fx Fy Fz = (yFz — zFy) i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k Мx (F)= yFz — zFy; My (F)=zFx-xFz; Mz=xFy-yFx. Мz (F)=(F' h=(2S (OA'B' Кілька сил. Парою сил наз-ся 2 сили рівні по вел-не, протилежно спрямовані і що лежать в одній прямий. F1=F1'=F, d-плечо пари. Кілька сил еквівалентна моменту. Момент пари сил (- ый площині пари направлений у той бік, що з кінця нинішнього вектора обертання, продуковане парою здається видатним проти годинниковий стрілки. Чисельно вектор момент дорівнює твору сил на плече. пари. (М1 (F1, F1')(=Fd=S (OABC. Ммо (F1)=[r1 F1]; Ммо (F1')=[r2 F1']= Ммо (F1')+ Ммо (F1)=[r1 F1]+[r2 F1]= [(r1- r2) F1]=[BO F1]; М1 (F1, F1') =[BO F1]. Кілька сил немає рівнодіючої, але він еквівалентна моменту. Момент пари сил дорівнює векторному моменту однієї сили пари відносно будь-якої точки, лежачої на лінії дії інший сили пари. Отонсительно будь-який точки сума моменту пари дорівнює моменту пари. Вочевидь, що позаяк момент пари сил визначається вектором моментом, то 2 пари сил ми називати еквівалентними якщо в них однакові вектори моменти. Звідси випливає, що наснаги в реалізації площині дії пари можна повертати скільки завгодно, змінювати растояние між силами, зберігаючи у своїй величину вектора моменту, залишаючись причому у площині дії пари. Усі це еквівалентні перетворення пар сил. Кілька сил можна переносити паралельно сама собі, у своїй еквівалентні пари сил зберігатимуться. Коли тіло діє пара зусиль і тіло перебуває у рівновазі, то умова рівноваги під впливом пари сил має вигляд: (М (Fк, Fк')=0. Дві пари сил можна скласти, у своїй векторний момент пари сил еквівалентні двом складываемым парам, дорівнює сумі моментів пари сил. М=М1+М2. (Ем-екс (Fк, Fк')=0 (Му (Fк, Fк')=0 (Мz (Fк, Fк')=0 -аналітичні умови рівноваги для пар сил. Приведення системи сил до заданому центру. Допоміжні теореми: При перенесення сили у поставлене центр виникає момент, рівний векторному моменту сили щодо заданого центру. F=F1=F1' (F1;F1')=Mo (F), {F}({F;F1;F1'}({Lo;F1} Основна теорема статики (теор. Пуансо): При приведення системи сил до заданому центру постає головне вектор R рівний сумі всіх зусиль і головного моменту Мо, рівний сумі моментів всіх сил щодо центру приведення. R=(Fk Lo=(Mo (Fk) Умови рівноваги для довільній простр. системы сил, і навіть слідства з цих рівнянь. R=0 і Lo=0 -ур-я рівноваги. Їм соотв-ют 6 скалярних алгебраїчних ур-1 рівноваги для простр. системы сил: (Fkх=0 (Fkу=0 (Fkz=0 (Мх (Fk)=0 (Му (Fk)=0 (Мz (Fk)=0 — аналітичне умова рівноваги для довільній системи сил. Нехай усі сили (пл-ти хоу, тоді: (Fkх=0 (Fkу=0 (Мо (Fk)=0 умова рівноваги для довільній пласкою системи сил. Умова рівноваги для пласкою системи паралельних сил. Пустьсилы ((осі зу, тоді (Fkх=0 (Мо (Fk)=0 Умова рівноваги для просторової системи паралельних сил. F1, F2, F3,…, Fn ((осі оz, тоді: (Fkz=0 (Мх (Fk)=0 (Му (Fk)=0.

Вторая форма умови рівноваги для пороизвольной пласкою системи сил:

(МА (Fk)=0 (МВ (Fk)=0 (МС (Fk)=0 — причому т. А, т, В, т.Б.М (одній прямій. — Доведемо необхідність цих умов: Припустимо, система сил нах-ся в рівновазі. Тоді очевидно, що (моментів всіх сил відносно будь-якої точки пл-ти=0, тобто. виконуються ці 3 умови. — Доведемо достатність цих умов: Довести достоточность — це що означає довести, що з виконання цих усл-й система нах-ся в рівновазі. Доводити будемо методом від протилежного, тому припустимо, що це усл-я виконуються, але система має не нах-ся в рівновазі, тобто. існує R*(0 эквив. данной сист.сил. Розглянемо усл-е перший і 2-ге: у тому, що вони виконувалися необхідно, щоб R* проходив через т. А і т.В. Відповідно до третьому умові hR=0. Оскільки т.Б.М (прямий АВ це може виконуватися лише тоді R*=0, тобто. наше припущення неправильно і системи справді нах-ся в рівновазі. Третя форма усл-я рівноваги для довільній пласкою системи сил. (Fkz=0 (МА (Fk)=0 (МВ (Fk)=0 — причому вісь ох не перпендикулярна АВ. — Необхідність такого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в рівновазі, то головний вектор та головний момент =0 відносно будь-якої точки. — Доведемо достатність цих умов: Припустимо, що систему не нах-ся в рівновазі і сущ-ет, тобто. сущ-ет R* і R* (0 є рівнодіючої даної системи сил. А, щоб виконувалося усл-е 2 і трьох необхідно, щоб R* проходив через АВ. Зажадаємо виконання усл-я R*cos (=0, оскільки x не перпендикулярна АВ, то R* має бути одно 0, т.а. ми довели, що це усл-я вистачає того щоб система лежить у рівновазі. З двох викладених форм ур-й рівноваги для пласкою системи паралельних сил можна записати ще одна частка ур-я рівноваги для пласкою системи паралельних сил: (МА (Fk)=0 (МВ (Fk)=0, АВ не паралельна F1, F2, F3,…, Fn Теорему Вариньона: Момент рівнодіючої отн-но кокой-либо точки дорівнює сумі моментів, складових цю равнод. сил относит-но тієї самої центру. {F1,F2,…, Fn}(R*, {F1,F2,…, Fn, -R*}(0, (Мо (Fk)= Мо (R*) Произволь. плоская система сил. Приватний випадок приведення произволь. плоской сист.сил. Плоск.сист.сил хар-ся тим, що гл. вектор і гл. момент перпендикулярні др. другу: Lo (R. Приватні випадки: 1.Гл.момент Lo=0; R (0 — у разі система сил наводиться до рівнодіючої, причому R*=R. Якщо центр приведення лежить на жіночих лінії дії сили R, ситуація не зміниться і сист. сил знову стане наводиться до рівнодіючої. 2. Пусть Lo (0; R (0. Покажемо, у цьому разі сист. сил можна навести до рівнодіючої. R=R1=R1'; [Lo] ({R1;R1'}; {R1;R1'}(0; причому повернемо цю пару сил так, щоб R і R1 лежали в одній прямий, тоді бачимо, що сист. сил {R1;R1'}(0 {R;Lo}({R=R1=R1'}({R1'}. D=Lo/R. 3. Пусть R=0, Lo (0. І тут система сил наводиться до парі. Причому поза залежність від вцыбора центру приведення система сил буде наводиться до одному й тому ж парі сил з моментом Lo. Т.к.главный вектор залежить від вибору центру приведення. Статично определимые і стат. неопределимые завдання. Завдання наз-ся стат. определимыми і соответств. этой завданню мех. система наз-ся стат. определимой, якщо число неизвесных реакцій зв’язку вбирається у числа крі статики, які можна скласти на вирішення це завдання. Завдання наз-ся стат. неопределимыми, якщо число невідомих реакцій зв’язків перевищує ур-й статики. У теор. механике рассм-ся і наважуються тільки статично определимые завдання. Ужно замінити нерухомий шарнір на рухливий. Складові конструкції. 1. ХА-F1cos (+XC=0 2.-XC'+F2+XB=0 ПХЕF1cos (+ F2+XB=0 Rc=RC'; MC=MC' У РГР: після складання 6 ур-й рівноваги перевірити правильність знайдених реакцій зв’язку з допомогою ур-я, яке брало участь у решении.

Распределенная нагрузка.

Q=[н/м], l=[м]. Q=(qdx=q (dx=ql Q (x)=(q/l)x, Q=(q (x)dx=(q/l)(xdx=(q/l)(x2/2)(= (ql)/2. dQ=q (x)dx, [(ql)/2]b=(q (x) xdx=(q/l) (x2dx=(q/l)(x3/3)(= (ql)/3. [(ql)/2]b= (ql)/3(b=(2/3)l. Висновок: у випадку вел-на зосередженого сили дорівнює площі розподіленої на осі і прикладена вона у центрі тяжести.(Все це теж стосується розподіленої навантаження параллельн. между собою силам). Сила тертя ковзання. Закони Кулона для Fтр.ск.: 1) Сила тертя ковзання лежать у інтервалі 0(Fтр (Fмах; 2) Сила тертя ковзання залежить від площі стичних тіл, а залежить лише від сили тиску цього тіла на поверхню 3) Сила тр. скольжения опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакції опори =Р, fкоэф-т тертя ковзання 4) Коэф-т тертя ковзання завис. от шорсткостей пов-тей тертьових тіл, від температури, від физич. состояния матеріалу. Момент тертя качения. N=P. Мтр.кач.=(N, (-коэф.трения качения У динамічних ур-ях сила тертя скольженич і момент тертя качения входять в праві частини ур-я. Правило зі знаком -. Конус тертя. Кут (утворюється між силою R і N, причому сила R-это рівнодіюча сили N і максимальною сили тертя. tg (= Fтр/N=f-коэф.трения Конус, побудований на силі R з кутом (наз-ся конусом тертя. Якщо сила RА виявляється всередині конуса, то тіло нах-ся в рівновазі. Т.а. якщо якась активна сила нах-ся всередині конуса і з його котра утворює, тоді тіло нахся в рівновазі. Якщо сила RА нах-ся поза конуса тертя, тоді тіло нге може перебуває у рівновазі. Взаємодія тертя качения і тертя ковзання. Тіло нах-ся в рівновазі: (Р= Мтр.кач.=rQ, fP= Fтр=Q Якщо Q (((/r)P (1), (2) то теж тіло нах-ся в рівновазі 1) Q (((/r)P,(/r (f тіло нах-ся в рівновазі 2) Q (((/r)P, Q (fP у разі відбувається котіться, але не матимуть ковзання 3) Q (((/r)P, Q (fP у разі відбувається котіться зі ковзанням 4) Q (((/r)P, Q (fP чисте ковзання Бо у основному виконується умова 1, то котіться настає швидше, ніж ковзання і тому підшипники набагато ефективніше, ніж що сковзають пристосування. Аналогічно моменту тертя качения можна запровадити момент тертя вертіння, Коэфт тертя вертіння менше, ніж коэя-т тертя качения.

Произвольная простр. система сил Приватний випадок приведення довільній простр. системы сил. Інваріантна система сил.

Представим собі, що ми привели систему до якогось центру 0, що це станеться з сист. сил, якщо змінити центр приведення на якийсь новий центр О1. Lo-векто вільний {R'', R'}(0 R=R'=R'' MO1=[O1O (R] LO1=LO+[O1O (R]= LO-[O1O (R'] При зміні центру приведення головний вектор зберігається, а гл. момент змінюється на вел-ну моменту сили отн-но нового центру приведення. Інваріантом наз-сятакая вел-на, кот-я не змінюється за зміни центру приведення. Т.а. ми виявили 1-ї инвариант-это головний вектор. (LO1®=((LO+[O1O (R])R) (LO1®=(LO®+([O1O (R] R) (LO1®=(LO® LO1(cos (1= LO (co (-ця запис другого інваріанту в др. форме: Проекція головного моменту на напрям головного вектора величина незмінна. L1xRx+ L1yRy+ L1zRz= LxRx+ LyRy+ LzRz Приватний випадок приведення довільній пласкою системи сил. 1) Приведение системи сил до парі сил І тут LO (0, R=0. При зміні центру приведення головного моменту не змінюється. 2) Система сил наводиться до рівнодіючої а) R*=R; LO=0 Щодо будь-який точки, лежачої на лінії дії рівнодіючої система сил завжди буде наводиться до рівнодіючої R, але отн-но якогоабо др. центра приведення сист. сил не буде наводитися до рівнодіючої. Б) LO (0 R (0, LO (R. Покажемо, у цьому разі сист. сил наводиться до рівнодіючої. R=R'=R* {R, LO }({ R=R'=R*}({R*} LO=Rd {R, R'}(0 І тут сист. приводится до рівнодіючої, кот. лежит на растоянии d від лінії дей-я сили R, обумовлений по ф-ле: d=Lo/R 3) Система сил наводиться до Динамо. Це коли гл. вектор і гл. момент лежать на одній прямій. Випадок, коли сист. сил наводиться до Динамо LO (0 R (0, причому LO не (R. LO1=LOcos (; LO2=LOsin (; d=LO2/R Рівняння динамічної осі. LО1x/Rx= LО1y/Ry= LО1z/Rz-ур-е прямий в простанств.сист.координат LО1= LО +[O1O (R] LО1= LО +[OO1 (R'] [LОx+(y Rzz Rx]/ Rx=[LОy+(z Rxx Rz]/ Ry=[LОz+(x Ryy Rx]/ Rz -рівняння динамічної линии (ур-е прямий де виконується динамо) [LОx+(y Rzz Ry]/ Rx=[LОy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[LОz+(x Ryy Rx]/ Rz і j k x y z Rx Ry Rz [LОx -(y Rz' -z Ry']/ Rx=[LОy -(z Rx' -x Rz']/ Ry=[LОz -(x Ry' -y Rx']/ Rz.

Равнодействующая 2-х паралельних сил, направл-х до однієї сторону.

R*=F1+F2 F1/F2 =а/в, F1(а= F2(в МR*(F1)=- МR*(F2); LO-гл.момент При пирведении сист. сил до якогось центру ми з’являється гл. вектор = сумі всіх зусиль і гл. момент = сумі моментів всіх сил отн-но тієї самої центру. Тому рівнодіюча 2-х паралельних сил, напр-х до однієї бік (лежить) і відбувається між тими силами, по вел-не дорівнює сумі цих зусиль і прикладена у точці, яка ділить растояние між тими силами на частини назад пропорційні силам. Рівнодіюча 2-х параллельныхсил, напр-х врізнобіч F2(F1, R*= F2- F1, F1/F2 = а/в, F1/а= F2/в=(F2- F) /в-а, F1(в= F2(а, Мс (F2)= Мс (F1); Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х врізнобіч, лежить за лінією дії більшої сили, дорівнює по модулю різниці цих двох зусиль і прикладена у точці, яка ділить растояние між тими силами на частини, назад пропорційні силам зовнішнім чином. Конче важливо, що сили нерівні між собою. Центр паралельних сил. Т. С -центр парал-х сил. R*=l (Fi, З теореми Вариньона запишемо: момент рівнодіючої относит. какого-либо центру дорівнює сумі моментів всіх сил относит. того ж центру Мо (R*)= (Мо Fк, [rc (R*]= ([rк (Fк] [rc (((Fi)l] - ([rк (Fкl]=0 [((Firc — (Fkrk) (l]=0 Т.к. вектор l різниться від 0, те з цього співвідношення слід, оскільки вектор l вибирають довільно, то rc (Fк- (Fkrk=0 (rc=((Fkrk)/ (Fк формула перебування центру тяжести.

Нахождение центрів тяжести.

rc=((Рkrk)/ (Рк -ф-ла нах-я ц.т. Р1=m1g; Pk=mkg; Pn=mng. rc=((mkrk)/ M-ф-ла нах-я ц.т. M=(mk xc=((mkxk)/ M; yc=((mkyk)/ M; zc=((mkzk)/ M Для суцільного однорідної тіла маємо след. ф-лу для нах-я центру мас. xc=((х dV)/V; yc=((у dV)/V; zc=((z dV)/V; V=(dV Для тіл, маса кот-х розподілено по пов-ти невеличкий товщини маємо след-е ф-лы: xc=((х ds)/S; yc=((у ds)/S; zc=((z ds)/S; S=(ds Для тіл, маса кот-х розподілено за довжиною (типу дроту): xc=((х dl)/L; yc=((у dl)/L; zc=((z dl)/L; L=(dl.

Свойства центрів масс Если тіло має вісь симетрії, площину симетрії, то центр мас обов’язково розташований них. Метод негативних мас. S1-вся площа S2- площа вирізу З -центр мас тіла без вирізу площі S2 xc=[(S1-S2)xc*+ S2xc2]/S1 xc*= (xc S1- xc2 S2)/(S1- S2) c*-центр мас тіла з вирізом З цієї ф-лы слід, що й треба опр-ть центр мас тіла, у кот-х є виріз, треба вважати, що у вирізі зосереджена негативна маса. Цент тяжкості деяких найпростіших тіл. Розбивка на (ВД-медиана ВС*/С*Д=2/1 Центр тяжкості у точці перетину медиан. Центр тяжкості дуги. Ус=0, хс=(хdl/L L=2(r х=rcos (; dl=rd (; хc=(½® (r2cos (d (=(r/2()sin ((= (r/2()2sin (= (r sin ()/(;

Ц.т.кругового сектора хс=(2/3) (r sin ()/();

Ц.т.кругового сегмента хс=[S2xc2 — S1xc1]/(S2 — S1) S2=(r2 S1=(½)r2 sin 2(2(- (r2, 2(- x, x=(2(/2()(r2, xc={[((r2)(2/3)r (sin (/()]-[(½) r2 sin 2(][(2/3) rcos (]} /[((r2) — [(½) r2 sin 2(] =(2/3)r[sin3(/(2(- sin2(].

Кинематика Это розділ механіки, у якому вивчається рух матеріальної точки, твердих тіл, механічних систем, не враховуючи сил, викликають це движение Кинематика точки Сущ-ет 3 способу завдання дв-я точки: векторний, координатний, естественный.

При векторном способі завдання точки відкладаються вектори з однієї точки. Задається r, як ф-ция від часу r=r (t) Крива, яку вичерчує кінець вектора, відкладений з однієї загальної точки наз-ся гадографом. Гадограф радіуса вектора точки — це траєкторія точки. V=lim ((r/(t)=dr/dt -швидкість Звідси вывод-скорость спрямована дотично до траєкторії точки. W= lim ((v/(t)=dv/dt — прискорення При коорд. способе завдання точки беремо коорд. сетку: осі x, y, z x=f1(t) y= f2(t) z= f3(t) Vx=x=d f1/(t Wx=x= Vy=y=d f2/(t Wy=y= Vz=z=d f3/(t Wz=z= V=(Vx2 + Vy2 + Vz2 W=(Wx2 + Wy2 + Wz2 cos (V, x)= Vx/V cos (V, y)= Vy/V cos (V, z)= Vz/V Природний спосіб завдання дв-я точки. При естеств. способе завдання дв-я точки д.б.задано: 1) траектория дв-я точки, 2) начало відліку на траєкторії, 3) положительное і негативне напрям відліку, 4) дуговая абсциса д.б.задана як ф-ция від часу S=f (t) Введемо одиничний орт дотичний (. Вектор (направлений у бік зростання дугового абсциссы, модуль (((=1 Вектор швидкості V опр-ся: V=s (. Якщо s>0, то швидкість спрямована убік зростання дугового абсциссы по вектору (, і якщо s0 і протилежно вектору (якщо s0, і це завжди спрямоване всередину області кривою у кожному її точці. Якщо точка рухається по прямий, то норм. ускорение точки =0. Нехай точка рухається навкруг з пост. по величині швидкістю, чому одно прискорення точки? V=const W (=dv/dt=0 Wn =v2/R Будь-яку криву можна представляти як сукупності дуг різного радіуса. Зв’язок між естеств. и коорд. способами завдання дв-я. Ds=(x2+y2+z2 dt S=((x2+y2+z2 dt W (=dv/dt=d ((x2+y2+z2)/dt=[VxWx+VyWy+VzWz]/V/ x=f1(t) y= f2(t) z= f3(t) t=(1(x) -цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у y=f2((1(x)) — цилиндр. пов-ть образ. кот параллель.оси z. z=f3((1(x)).

Частный випадок дв-я точки.

1.Равномерное дв-е v=const, S=So+vt 2. равноускоренное дв-е W (=const, V=Vo+ W (t, S=Vot+ W ((t2/2) V2 -Vo2=2 W (S dV/dt= W (, (dV=(W (dt, V -Vo= W (t.

Кинематика твердого тела В теор. механике рассм.только тверд. тела Абс.тв.тела-это такі тіла, раст. между двома будь-якими точками не змінюються за постійно движения Поступательное дв-е твердого тела Поступательн. дв-ем тв. тела наз-ся таке дв-е Тіла, при кот. любая пряма, проведена ньому залишається паралельної самої всі час дв-я (літак, летючий прямолінійно, дв-е поршня в двигуні автомоб., дв-е колеса огляду) Теорему: При поступ. движении тв. тела траєкторії дв-я всіх точок тіла конгруэнтны, а швидкість і прискорення рівні. rв= rА+АВ Адже це вып-ся в люб. момент часу, виходить, що траєкторія т. В можна визначити зміщенням вектора АВ у кожному точці з траєкторії т. А возм.произв.по часу (АВ=const) drв/dt= drA/dt+d (AB)/dt VB=VA. WB=WA. Вращат. дв-е твердого тіла. Вращат. наз-ся таке дв-е тв. тела, при кот-м хоча б 2 точки тіла залишаються нерухомими весь час вращенияя, через ці 2 точки проходить вісь обертання, й інші точки рухаються по окружностям в площинах перпендик-х осі вращения.

Фермы Начинаем шукати зусилля стрижнів, розглядаючи вузли. Метод Риттера (проверка) При перебування зусиль стрижнів пласкою ферми методом выфрезания вузлів корисно знати: 1) если в незагруженном вузлі плоск. фермы сходяться 2 стрижня. Те зусилля в цих стрижнях =0 2) если в незагруженном вузлі плоск. фермы сходяться 3 стрижня, з кот-х 2 расоложены в одній прямий, то зусилля 3-му стрижні =0, а зусилля у перших 2- x рівні між собою. Вращат. дв-е-это таке дв-е, при кот-м вісь залишається нерухомій, проте др. тела рухаються у площині перпендикулярній осі обертання. Введемо кут повороту (-як кут між неподв. пл-тью і площиною, що з тілом [(]=радий (=2(n [N]- число оборотів Кутова швидкість (=d (/dt, [((]=рад/c=c-1 (=f (t) Вектор угл. скорости (лежить на жіночих осі обертання і передано бік, що з кінця нинішнього вектора обертання здається видимим проти годинниковий стрілки. Углове прискорення (опр-ся по ф-ле: (=dW/dt=d2(/dt2, [(]= рад/c2=c-2. Вектор кутового прискорення (також лежить осі обертання і по вектору (, якщо обертання прискорений і протилежний йому, якщо обертання загальмовано. [n]-число обертів за мин.=об/мин, тоді (=(n/30/ Приватний випадок вращат. дв-я: 1) равномерное обертання. (=(t 2) равнопеременное обертання: (=const. (=(про t+(t2/2; (=(о+(t d (/dt=(d (=(dt (d (=((dt (-(про=((dt (2 -(о2 =2((d (/dt=(о+(t (d (=((оdt+((tdt (-(o=(о (dt+((tdt (-(o=(оt+((t2/2) Визначення лінійної швидкості і лин. ускорения при вращат. движении твердого тіла S=h (ds/dt=h (d (/dt) V=h (, dv/dt=h (d (/dt) W (=h (Wn=v2/h=((2h2)/h=(2h Повне прискорення W=(Wn2+ W (2=h ((2+(2 tg (=(W ((/ Wn=(((/(2 Висновок: при вращ. дв-ии тв. тела лінійна швидкість дотична нормальної роботи й повне прискорення пропорційні растоянию точки від осі обертання. Векторні ф-лы для опр-я швидкості і прискорення при вращат.движении. v=[((r]-ф-ла Эйлера v=((r (sin ((, r) v=((h W (=[((r], W (=((r (sin[((r]=h (, Wn=[([((r]]=[ ((v] Wn=((v (sin (((v)= ((v=(2h Производ. от вектора пост. по модулю під скалярним аргументом (в (=const=в dв/dt, (вв)=в2, 2[в (dв/dt)]=0 (dв/dt (в. (dв/dt (=(dв (/dt=в (d (/dt)=(в. dв/dt=[(в] Похідна від часу, причому (в (=const, дорівнює векторному твору кутовий швидкості обертання цього вектора на саме цей вектор. d?/dt= (d? ds)/(ds dt)= (d?/d?)(d?/dt) (d?/d?(=1 d?/dt=(n d?/dt=[(?].

Теорема про проекціях скоростей При будь-якому русі твердого тіла проекція швидкостей 2-х точок цього тіла на пряму їх що з'єднують рівні. VAcos?= VBcos? Оскільки точки вибираємо довільно, то проекції швидкостей будь-який точки прямий з цього пряму рівні. rв=rA+AB rв-rA=AB (rв-rA)2=(AB)2=R2=const (l=|AB|) 2(rв-rA)[(d rв/dt) — (d rA/dt)]=0 (VB-VA)AB=0, AB= VA AB VBcos? AB= VAcos? AB VBcos? = VAcos? -зміст цієї теореми заключ. в тому, що рассм. дв-е абсол.тв.тела, ми можемо припустити, щоб т. А доганяла т. В чи т. А відставала т.В.

Мгновенный центр ускорений.

?=arctg (?/?2) WQ=0 WA?= ?AQ, WAn= ?2 AQ, WA=?(WA?)2+(WAn)2= AQ??2+ ?2 tg?= WA?/ WAn= ?/ ?2 Приватний випадок: 1)?=0, тоді ?=0 2)?=0, тоді ?=?/2 (дв-е миттєво поступальний) Складне дв-е точки. Складним наз-ся токое дв-е точки, у якому сущ-ет відносне дв-е точки (это дв-е отн-но рухомий сист. координат) і переносного рух (це дв-е точки в останній момент в рухомий сист. коор-т отн-но нерухомій). Причому принципі подв.сист.коор-т м.б.одно, а переносних багато. Визначення швидкості точки у дивовижно складному русі. ?м=?о+r.

Ф-ла Бура Похідна від вектора относит. неподвижной сист.координат.

r=xi+yj+zk dr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k+ x (di/dt)+y (dj/dt)+z (dk/dt) di/dt=[?i], dj/dt=[?j], dk/dt=[?k], dr/dt=ґdr/dt+[?r], де ґdr/dt=(dx/dt)/i+(dy/dt)j+(dz/dt)k причому dr/dt це приватна локальна похідна чи похідна від вектора r отн-но подвиж. системы координат. Ф-ла Бура: похідна від вектора отн-но неподв. системы коор-т, яка змінюється отн-но рухомий системи коор-т складається з приватної (локальної) похідною плюс векторное твір кутовий швидкості обертання рухомий сист. коор-т цей вектор. Приватний випадок ф-лы Бура: 1) Если ?=0 (подв.сист.коор-т движ-ся поступально), то повна похідна = приватної, тобто. dr/dt=ґdr/dt, 2) Если вектор r не змінюється щодо рухомий сист.коорд., тобто. ґdr/dt=0, тоді dr/dt=[?r] (производ.от вектора пост. по М) 3) Пусть повна произв. от r за часом =0, тобто. dr/dt=0, тоді ‘dr/dt+ [?r]=0, ґdr/dt+ [?r]=0, ґdr/dt= - [?r] Нехай r=?, тоді одержимо d?/dt=ґd?/dt=? Похідна від вектора? за часом залежить від того, щодо який сист. ккор-т ми беремо. d? м/dt= d? o/dt+dr/dt/ VM=VO+[ ?r]+ ґdr/dt VM=VL+ Vr VLпереносна швидкість (скор.точки в морож. в неподв.сист.коор-т отн-но рухомий) Vrвідносна скорость (скор.точкт отн-но неподв.сист.коор-т) Абсолютна швидкість точки при складному русі складається з векторної суми переносної і відносній швидкостей Опр-е прискорення точки у дивовижно складному русі VM=VO+[ ?r]+ Vr WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ ?r]+[ ?(dr/dt)]+d Vr/dt dr/dt=[ ?r]+ Vr WM=Wo+[ ?r]+ [?[?r]]+[? Vr]+ [ ?Vr]+Wr d Vr/dt=[? Vr]+ Wr Wk=2[? Vr] WM=WL+Wr+WK — кінематична теорема Кариолиса Абсолютна прискорення точки -це є сума переносного прискорення, відносного прискорення і прискорення Кариолиса Переносного прискорення хар-ет измен-е переносної швидкістю переносному русі. Відносне прискорення хар-ет изм-е відносної скоростив в відносному русі. Прискорення Кариолиса хар-ет изм-е відносної швидкістю переносному русі Прискорення Кариолиса. Відповідно до правила векторного твори, вектор прискорення Кариолиса + плти, в кот-й лежать вектора? і Vr і у той сторону, что з кінця цього вектора найкоротший суміщення першого вектора до другого? до Vr здається видатним проти ходу годинниковий стрелки.

Методы перебування миттєвих центрів скоростей Суть (классич.метод закл-ся в слід.): Миттєвий центр швидкостей нах-ся на перетині перпендикулярів до швидкостям в 2-х точках тіла.? = VА/АР= VВ/ВР= VС/СР Якщо швидкості 2-х точок | |-ны нерівні др. другу, а пряма їх з'єднує (- на, тоді:? = VА/АР= VВ/ВР= VС/СР Нехай швидкості | |-ны, направлені на різні боки, а пряма їх з'єднує їм (-на.? = VА/АР= VВ/ВР Нехай швидкості 2-х точок тіла| |-ны, направлені на один бік, а пряма їх з'єднує не (-на, тут маємо: (у разі миттєвий центр швидкостей нах-ся у нескінченності,? =0, тіло робить миттєво поступальний рух) VА = VВ= VС=… Прикладом явл-ся кривошипно-шатунный механізм. ?АВ =0 Спосіб перебування опред-я мгн. скоростей з механич. соображений ?колеса= VД/ДР= VВ/ВР= VА/АР Оскільки мгн. центр швидкостей -це поняття геометричне, вона може виявитися, що він нах-ся поза межами тіла. Визначення прискорення при плоскопараллельном движени. VВ=VА+[? АВ] dVВ /dt= dVА /dt+[? АВ]+ [? (d АВ/dt) ] WВ= WА +WВА (+ WВАn WВАn=[?[?AB]]= [?VBА] WВА (=? AB; WВА (= ?2AB При тривіально параллельн. движении прискорення будь-який точки складається з прискорення полюси плюс дотична до нормального складової під час обертання точки щодо полюси. Сферичне дв-е тв.тела. Сферичним наз-ся таке дв-е, при коротом це тіло має сенс тільки одну нерухому точку. Решта точки тіла розташовуються на сферах різного радіуса. Н-р!гороскоп. Сферич. тело має 3 ступеня свободи, n=3N-k, де n-число ступенів свободи, N-число точок, к-число зв’язків. n =6-для вільного тв. тела Для тіла, кот-е робить сферич. дв-е досить 3 коор-ты, оскільки він має 3 ступеня свободи. х1, y1, z1-неподв.сист.коор-т x, y, z-подв.сист.коор-т ок-линия узлов-это пряма, через яку перетинаються площині х1оу1 і хоу (-кут прецессии (между х1 і прибл) (-кут нутации (между z1 і z) (-кут власного вращения (.