Построение економічної моделі з допомогою симплекс-метода

Курсова работа.

Тема: Побудова економічної моделі з допомогою симплекс-метода .

Роботу виконав студент УТФ-4−2.

Куркулів Про. А.

Зміст .

Введение

Моделирование як засіб наукового познания.

Введение

в симплекс-метод Словесное опис Математичне опис Обмеження Змінні Цільова функция Симплекс-метод .

Представление простору рішень стандартної завдання лінійного програмування Обчислювальні процедури симплекс-метода Анализ результатів .

Оптимальное рішення Статус ресурсів Цінність ресурсу Максимальне зміна запасу ресурсу Максимальне зміна коефіцієнтів удільної прибутку (вартості).

Моделювання як засіб наукового познания.

Моделювання у наукових дослідженнях стало застосовуватися ще давнину та поступово захоплювало дедалі нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво і архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, громадські науки. Великих успіхів і визнання практично в усіх галузях сучасної науки приніс методу моделювання ХХ в. Проте методологія моделювання довге час розвивалася незалежно окремими науками. Була відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання .

Термін «модель «широко використовують у різноманітних сферах людської роботи і має безліч значеннєвих значень. Розглянемо лише такі «моделі «, що є інструментами отримання знань .

Модель — це таке матеріальний чи подумки представлений об'єкт, що у ході дослідження заміщає объект-оригинал тож його безпосереднє вивчення дає нові знання про объекте-оригинале .

Під моделювання розуміється процес побудови, вивчення і застосування моделей. Воно був із такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та інших. Процес моделювання обов’язково включає й побудова абстракцій, і умовиводи за аналогією, і конструювання наукових гипотез.

Головна особливість моделювання у цьому, що це метод опосередкованого пізнання з допомогою объектов-заместителей. Модель постає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і злочини об'єктом і з допомогою вивчає цікавий для його об'єкт. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання .

Необхідність використання методу моделювання залежить від того, що чимало об'єкти (чи проблеми, які стосуються цих об'єктів) безпосередньо досліджувати чи взагалі неможливо, чи це дослідження потребує багато часу і средств.

Моделювання — циклічний процес. Це означає, що з першим четырехэтапным циклом може відбутися другий, третій тощо. У цьому знання про досліджуваному об'єкті розширюються і точняются, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, бусловленные малим знанням об'єкту і помилками в побудові моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання, в такий спосіб, закладено великі можливості саморозвитку .

Словесне описание.

Фірма, яка виробляє деяку продукцію здійснює її рекламу двома шляхами через радіомережа і крізь телебачення. Вартість реклами на радіо обходиться фірмі в розмірі 5 $, а вартість телереклами — в 100 $ за хвилину .

Фірма готова витрачати реклами по 1000 $ на місяць. Також відомо, що фірму готова рекламувати своєї продукції на радіо по крайнього заходу вдвічі частіше, ніж у телебаченню .

Досвід попередніх років показав, що телереклама приносить в 25 разів більше збут продукції ніж радиореклама .

Завдання залежить від правильному розподілі фінансових коштів фірми .

Математичне опис .

X1 — час витрачений на радиорекламу. X2 — час витрачений на телерекламу. Z — бажана цільова функція, оражающая максимальний збут від 2-ух видів реклами. X1=>0, X2=>0, Z=>0; Max Z = X1 + 25X2; 5X1 + 100X2 0 Використання графічного способу зручно лише за рішенні завдань ЛЗ з двома перемінними. При більшій кількості змінних необхідно застосування алгебраического апарату. У цьому главі розглядається загальний метод вирішення завдань ЛЗ, званий симплекс-методом .

Інформація, яку можна отримати з допомогою симплекс-метода, не лише оптимальними значеннями змінних. Симплекс-метод фактично дозволяє дати економічну интерепритацию отриманого рішення і започаткувати аналіз моделі на чутливість .

Процес виконання завдання лінійного програмування носить итерационный характер: однотипні обчислювальні процедури у певному послідовності повторюються до того часу, поки що не отримано оптимальне рішення. Процедури, реалізовані у межах симплекс-метода, вимагають застосування обчислювальних машин — могутнього засобу вирішення завдань лінійного програмування .

Симлекс-метод — це характерний приклад итерационных обчислень, використовуваних під час вирішення більшості оптимізаційних завдань. У цьому главі розглядаються итерационные процедури що така, щоб забезпечити рішення завдань із допомогою моделей дослідження операцій .

У гол 2 засвідчили, що права і ліва частини обмежень лінійної моделі може бути пов’язані знаками. З іншого боку, перемінні, які фігурують у завданнях ЛЗ, може бути неотрицательными або мати обмеження в знаку. Для побудови спільного методу вирішення завдань ЛЗ відповідні моделі мають бути представлені у певній формі, яку назвемо стандатрной формою лінійних оптимізаційних моделей. При стандартної формі лінійної моделі 1. Усі обмеження записуються як рівностей з неотрицательной правої частиною; 2. Значення всіх змінних моделі неотрицательны; 3. Цільова функція підлягає максимізації чи мінімізації. Покажемо, як будь-яку лінійну модель можна навести до стандартної .

Ограничения.

1. Вихідний обмеження, записаний у вигляді нерівності типу), можна як рівності, додаючи залишкову зміну до лівої частини обмеження (віднімаючи надлишкову зміну з лівої частини) .

Наприклад, у ліві частина вихідного ограничения.

5X1 + 100X2 0, у результаті вихідне нерівність звертається до равенство.

5X1 + 100X2 + S1 = 1000, S1 => 0 Якщо вихідне обмеження визначає витрата деякого ресурсу, зміну S1 слід інтерпретувати як залишок, чи невикористану частина, даного ресурсу .

Розглянемо вихідне обмеження іншого типу :

X1 — 2X2 => 0 Оскільки ліва частину акцій цього обмеження може бути менше правої, для звернення вихідного нерівності в рівність віднімемо з його лівої частини надлишкову зміну S2 > 0. Через війну получим.

X1 — 2X2 — S2 = 0, S2 => 0 2. Праву частина рівності то можна зробити неотрицательной, примножуючи обі частини на -1. Наприклад рівність X1 — 2X2 — S2 = 0 еквівалентно рівності - X1 + 2X2 + S2 = 0 3. Знак нерівності змінюється на протилежний при множенні обох частин на -1 .

Наприклад можна замість 2 < 4 записати — 2 > - 4, нерівність X1 — 2X2 0.

Переменные.

Будь-яку зміну Yi, яка має обмеження в знаку, можна уявити, як різницю двох неотрицательных змінних :

Yi=Yi'-Yi'', де Yi', Yi''=>0. Таку підстановку варто використовувати переважають у всіх обмеженнях, які містять вихідну зміну Yi, соціальній та вираженні для цільової функції .

Зазвичай знаходять вирішення завдання ЛЗ, у якому фігурують перемінні Yi' і Yi'', та був з допомогою зворотної підстановки визначають величину Yi. Важлива особливість змінних Yi' і Yi'' у тому, що за будь-якого допустимому ухвалі тільки одне з цих змінних може приймати позитивне значення, тобто. якщо Yi'>0, то Yi''=0, і навпаки. Це дозволяє розглядати Yi' як залишкову зміну, а Yi'' - як надлишкову зміну, при цьому одне з цих змінних може приймати позитивне значення. Зазначена закономірність широко використовують у цільовому програмуванні і є передумовою для використання соответсвующих змін у завданню 2.30.

Цільова функция.

Цільова функція лінійної оптимизационной моделі, представленій у стандартної формі, може підлягати як максимізації, і мінімізації. У окремих випадках виявляється корисним змінити вихідну цільову функцію .

Максимізація деякою функції еквівалентна мінімізації тієї ж функції, взятої з протилежним знаком, і навпаки. Наприклад максимізація функции.

Z = X1 + 25X2 еквівалентна мінімізації функции.

(-Z) = -X1 — 25X2 Еквівалентність означає, що з одному й тому ж сукупності обмежень оптимальні значення X1, X2, в обох випадках будуть однакові. Відмінність лише у цьому, що з однакових числових значеннях цільових функцій їх знаки будуть протилежні .

Симплекс-метод .

У обчислювальної схемою симплекс-метода реалізується упорядкований процес, у якому, починаючи із певною вихідної припустимою кутовий точки (зазвичай початок координат), здійснюються послідовні переходи від однієї припустимою екстремальній точки в іншу до того часу, поки що не знайдено точка, відповідна оптимальному рішенню .

Загальну ідею симплекс-метода можна проілюструвати на прикладі моделі, посроенной нашій завдання. Простір рішень цієї завдання уявімо на рис. 1. Вихідною точкою алгоритму є початок координат (точка На рис. 1). Рішення, відповідне цієї точці, зазвичай називають початковим рішенням. Від вихідної точки здійснюється перехід до деякою суміжною кутовий точці .

Вибір кожної наступної екстремальній точки під час використання симплекс-метода такими двома правилами .

1. Кожна наступна кутова точка мусить бути суміжною з попереднім .

Цей перехід здійснюється за кордонів (ребрах) простору рішень .

2. Зворотний перехід до попередньої екстремальній точці неспроможна здійснюватися .

Отже, пошук оптимального рішення починається з деякою припустимою кутовий точки, і всі переходи здійснюються лише у суміжним точкам, причому перед новим переходом кожна гілка отриманих точок перевіряється на оптимальність .

Визначимо простір прийняття рішень та кутові точки агебраически. Необхідні соотнощшения встановлюються із зазначеного в таблиці відповідності геометричних і алгебраїчних визначень .

|Геометрическое |Алгебраїчне | |визначення |визначення | | |(симплекс метод) | |Простір рішень |Обмеження моделі | | |стандартної форми | |Кутові точки |Базисне вирішення завдання в| | |стандартної формі |.

Уявлення простору рішень стандартної завдання лінійного програмування .

Лінійна модель, побудована нашій завдання й наведена до стандартної формі, має такий вигляд :

Максимизировать.

Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2.

При ограничениях.

5X1 + 100X2 + S1 = 1000.

— X1 + 2X2 + S2 = 0.

X1=>0, X2=>0, S1=>0, S2=>0.

Кожну точку простору варіантів розв’язання завдання, подану на мал.1, можна визначити з допомогою змінних X1, X2, S1 і S2, що фігурують у моделі стандартної форми. При S1 = 0 і S2 = 0 обмеження моделі еквівалентні равенствам, які надаються відповідними ребрами простору рішень. Збільшення змінних S1 і S2 буде відповідати зміщення допустимих точок з кордонів простору рішень на його внутрішню область. Змінні X1, X2, S1 і S2, асоційовані з екстремальними точками, А, У, і З можна впорядкувати, з того, яке (нульовий чи ненульове) має дана змінна в екстремальній точці .

|Экстремальная |Нульові переменные|Ненулевые перемінні| |точка | | | |А |S2, X2 |S1, X1 | |У |S1, X2 |S2, X1 | |З |S1, S2 |X1, X2 |.

Аналізуючи таблицю, легко помітити дві закономерности:

1. Стандартна модель містить два рівняння і четыре неизвестных, у кожної з екстремальних точок дві (= 4 — 2) перемінні повинен мати нульові значення. 2. Суміжні екстремальні точки відрізняються лише однієї пе;

ременной у всіх групах (нульових і ненульових змінних), Перша закономірність свідчить про можливість опре;

деления екстремальних точок алгебраїчним способом шляхом при;

равнивания нулю такої кількості змінних, яке равно разности між кількістю невідомих і кількістю рівнянь .

В цьому полягає сутність властивості однозначності экстремальных точек. На рис. 1 кожної неэкстремальной точці соответствует не більше нульової перемінної. Так, будь-яка точка внутренней области простору рішень загалом немає жодної нулевой переменной, а будь-яка неэкстремальная точка, що за українсько-словацьким кордоном ,.

всегда має лише один нульову зміну. Властивість однозначності екстремальних точок дозволяє опре;

делить їх алгебраїчним методом. Вважатимемо, що линейная модель стандартної форми містить т рівнянь і п (т 0 (1).

X2 = 91/11 + (1/110)D1 => 0 (2) Для визначення припустимого інтервалу зміни D1 рассмо;

трим два випадку .

Випадок 1: D1 => 0 Вочевидь, що обидві неравнества у своїй умови завжди будуть неотрицательными. Випадок 2: D1 < 0. Вирішуємо нерівності: (1) (1/55)D1 => - 1000/55. З цього випливає, що D1 => - 1000.

(2) (1/110)D1 => - 91/11. З цього випливає, що D1 => - 1000.

Об'єднуючи результати, отримані обох випадків, можно сделать висновок, що з — 1000 0 5/22 — 50/55d1 => 0 З першого нерівності отримуємо, що d1 => - 13,5, та якщо з другого слід що d1.