Применение новітніх економіко-математичних методів на вирішення задач

Кыргызский Державний Національний Университет.

[pic].

Курсова робота з предмета: «Моделирование».

Тема: Застосування новітніх економіко-математичних методів на вирішення задач.

Группа: КИС-2−97.

Выполнил: Рогачёв Максим Проверил: проф. Бабак В.Ф.

Бішкек — 2000.

Зміст Передмова 3 Глава№ 1. Підбір параметра… 4 1.1 Нелинейные алгебраїчні рівняння 4.

Завдання #1 4 1.2 Системи двох нелінійних алгебраїчних рівнянь. 6.

Завдання #2 6 Глава № 2 Матрична алгебра 7 2.1 Складання матриць 7.

Завдання #3 7 2.2 Транспонирование матриці 8 2.4 Обчислення зворотної матриці 9.

Завдання #4 9 2.4 Множення матриць 10 2.5 Множення матриці на число 11 2.6 Складання матриць 11 2.7 Обчислення означника матриці 12 2.8 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 13.

Завдання #5 13 Глава № 3 Пошук рішення… 14 3.1 Оптимізація 14 3.2 Умовний екстремум 15.

Завдання № 6 15 3.3 Математичне програмування 16.

3.3.1 Лінійне програмування 17.

Завдання #7 17.

Завдання #8 18.

Завдання #9 19 3.5 Системи нелінійних алгебраїчних рівнянь 20.

Завдання #12 20 Список літератури 23.

Предисловие.

У цьому курсової роботі, метою котрої є вивчити навчитися користуватися важливою складовою MS Excel, а саме Вставка формул, Підбір параметра, Пошук рішення, всі ці функції MS Excel полегшують завдання математикам, бухгалтерам та фахівцям у різноманітних галузях. Також ми більш глибше знайомимося зі стандартними функціями MS Excel. Курсова робота написана і структурована в такий спосіб, щоб її було використовувати як методичного посібники з вивчення деяких функцій MS Excel. У роботі показаний кожен крок у виконання кожної з функцій, що його ж ілюструється прикладом, який наочно демонструє рішення певних задач.

Фахівець котрій MS Excel є тим засобом яке дозволяє полегшити і прискорити його, повинен знати й уміти залучити до буденній праці новітні економіко-математичні методи і моделі, запропоновані новими прикладними программами.

Традиційний спосіб вивчення економіко-математичних методів не лише у визначенні їх призначення і суті, а й у освоєнні техніки реалізації, причому, щоб зробити доступною «ручну» реалізацію, обсяг оброблюваних даних доводиться максимально скорочувати, що, з одного боку, часто видаляє побудовану модель від реальному житті, з другого — знижує ефективність застосування досліджуваних методов.

Використання комп’ютерних технологій від рутинної обчислювальної роботи з реалізації математичних методів і дозволяє акцентувати увагу не так на алгоритмі обчислення, а безпосередньо на аналізі результатів моделювання, що помітно підвищує «коефіцієнт корисної дії» витраченого часу. Очевидно, що ефективність вивчення предмета стає значно вищий, є можливість швидко «програти» варіанти моделей, змінити їх параметри, порівняти в числової та графічної формі результати исследований.

Итак ми виникає етап, коли які стоять маємо проблеми неможливо вирішити без застосування комп’ютера. Не відчуваю страху перед комп’ютером. Мене лякає їх отсутствие.

Глава№ 1. Підбір параметра…

1 Нелинейные алгебраїчні уравнения.

Завдання #1.

При моделюванні економічних ситуацій найчастіше доводиться вирішувати рівняння виду: f (x, p1, p2,…, pn)=0 (1) де f — задана функція, xневідома змінна, p1, p2,…, pn — параметри модели.

Рішення таких рівнянь може бути як самостійної завданням, і частиною складніших завдань. Зазвичай, дослідника цікавить поведінка рішення на залежність від параметрів pk, k=1,n.

Рішеннями чи корінням рівняння (1) називають такі значення перемінної x, які за підстановці в рівняння звертають їх у тождество.

Тільки для лінійних чи найпростіших нелінійних рівнянь знаходить рішення, у аналітичної формі, тобто. записати формулу, яка має потрібну величину x вочевидь через параметры.

Здебільшого випадків доводиться вирішувати рівняння (1) численними методами, у яких процедура рішення поставив у вигляді багаторазового застосування деякого алгоритму. Отримане рішення завжди є наближеним, хоча то, можливо як завгодно близько до точному.

Розглянемо послідовність дій щоб одержати рішення нелінійного рівняння серед електронної таблицы.

Нехай необхідно вирішити рівняння виду: [pic] (2) Сформуємо лист електронної таблиці, як показано на мал.1 .

[pic].

мал.1. Рівняння (2) запишемо у клітину С5, починаючи з знака рівності, а замість перемінної x зазначимо адресу клітини В5, що містить значення початкового наближення решения.

Метод, застосовуваний у EXCEL на вирішення таких рівнянь — модифікований кінцевими разностями метод Ньютона, що дозволяє не сильно турбуватися про початковому наближенні, як постійно цього вимагають інші чисельні на методи вирішення рівнянь. Єдине, що можна врахувати — це що буде знайдено рішення найближче до обраному початковому приближению.

Для отримання рішення рівняння (2) треба виконати таку послідовність действий:

1. Виконати команду Сервис/Подбор параметра… (одержимо лист електронної таблиці, як показано на рис.2).

2. Заповнити діалогове вікно Підбір параметра…:

1. Кликнути лівої клавіш миші на полі Встановити в осередку, після появи у ньому курсору, перемістити покажчик миші і кликнути на клітині з формулою, у разі це клітина С5, абсолютний адресу якої $C$ 5 з’явиться в поле;

2. У центрі Значення: запровадити значення правій частині рівняння (2), у разі це значення равно1.

рис. 2.

3. У центрі Змінюючи значення осередки: запровадити адресу клітини де поставлено початкова наближення рішення, у разі це клітина В5.

По виконанні пунктів 1−2 сторінка електронної таблиці матиме такий вигляд, як показано на рис. 3.

рис. 3.

Після натискання на кнопці ОК з’явиться вікно Результат Добору Параметра, у якому дається з’явилася інформація, знайдено чи рішення, чому і як і точність отриманого рішення. У нашій прикладу Результат Подбора.

Параметра показаний на рис. 4. При значенні аргументу 126,8 856 472 функція, що стоїть у частині рівняння (2) дорівнює 0,999 007 196. Досягнута точність удовлетворяет.

рис. 4.

Якщо отримані значення слід відбити листку електронної таблиці, треба кликнути на кнопці ОК, а якщо ні - то, на кнопку.

Скасування. У першому випадку знайдені значення зафіксуються у клітинах В5 и.

С5.

Чисельні на методи вирішення хороші тим, які можна отримати близьке рішення із заданою точністю. EXCEL має можливість керувати вибором точності. І тому треба виконати команду Сервис/Параметры/Вычисления й у відповідних полях встановити значення відносної похибки і кількість итераций (рис. 5.).

рис. 5.

1.2 Системи двох нелінійних алгебраїчних уравнений.

Завдання #2.

Викладений вище спосіб отримання рішення рівняння то, можливо легко поширений для випадку рішення системи двох рівнянь з цими двома невідомими, якщо система має наступний вид:

Y=Ф (x).

Y=?(x) (3) Перетворимо систему (3) за одну рівняння виду (4):

Ф (x) — ?(x)=0 (4) Отримане рівняння вже можна вирішити з допомогою Підбір параметра… оскільки це були описано выше.

Розглянемо перебування рівноважної ціни та обсягу продажів на ринку деякого товара.

Нехай функція попиту товар має вигляд Qd=80e-0.05p-20, 0? p?30, а функція пропозиції Qs=12p-3e0.02p, 0? p?30.

Знайти равновесные ціну й обсяг, побудувати графіки від попиту й пропозиції. Наявну систему уравнений.

Qd=80e-0.05p-20.

Qs=12p-3e0.02p перетворимо за одну рівняння виду 80e-0.05p-20 — 12p+3e0.02p=0.

Підбір параметра… описаним вище, знаходимо рівноважну ціну, вона дорівнює 4,49 213, підставивши це значення до одного з рівнянь системи. Одержимо і значення рівноважного обсягу — 45,33 749. Для побудови графіка, ілюструючого ситуацію рівноваги попиту й пропозиції над ринком, скористаємося знанням рівноважної ціни, і візьмемо значення деякою околиці від нього. Одержимо таку ілюстрацію виконання завдання про рівновазі над ринком (рис. 6.).

рис. 6.

Глава № 2 Матрична алгебра.

Матрична алгебра міцно пов’язана з лінійними функціями і з лінійними обмеженнями, у зв’язку з, із чим знаходить собі використання у різних економічних завданнях:. в эконометрике, з оцінки параметрів багатьох лінійних регрессий;. під час вирішення завдань лінійного програмування;. при макроекономічному програмуванні тощо. Особливе ставлення до матричної алгебрі економіки з’явилося після створення моделей типу «Затраты-Выпуск», де з допомогою матриць технологічних коефіцієнтів пояснюється рівень виробництва, у кожної галузі через зв’язок з відповідними рівнями у всіх інших отраслях.

Електронна таблиця EXCEL має низку вбудованих функцій до роботи з матрицями: ТРАНСП — транспонирование вихідної матриці; МОПРЕД — обчислення означника квадратної матриці; МОБР — обчислення матриці зворотної до цієї; МУМНОЖ — перебування матриці, що є твором двох матриц.

З іншого боку, можливо виконання операцій поелементного складання (вирахування) двох матриць і множення (розподілу) матриці на число.

Приклад проілюструємо дехто з тих функцій. Знайдемо суму двох матриць А (5*4) і В (5*4) і транспонируем матрицу-результат.

2.1 Складання матриц.

Завдання #3.

Для складання двох матриць однаковою розмірності слід виконати таку послідовність дій: 1. Поставити дві вихідних матриці. 2. Відзначити місце для матрицы-результата. 3. У виділеному місці під результат поставити знак рівності та не записати суму оскільки показано на рис. 7.

див. мал.7. 4. Завершити виконання роботи натисканням клавіш Shift/Ctrl/Enter (рис. 8.).

рис. 8.

2.2 Транспонирование матрицы Работу з матричної функцією ТРАНСП слід виконувати у порядку: 1. Поставити вихідну матрицю. 2. Відзначити місце для матрицы-результата. 3. Звернутися до майстра функцій, знайти функцію ТРАНСП і постановку завдання (рис. 9.).

рис. 9.

4. Завершити виконання роботи натисканням клавіш Shift/Ctrl/Enter (рис. 10.) .

рис. 10.

5 Обчислення зворотної матрицы.

Завдання #4.

Тепер знайдемо матричне вираз: Y=(FH-1)/29+K. Порахуймо визначник отриманої матриці. Пошук рішення розіб'ємо на цілий ряд кроків: 1. Найдем матрицю зворотний до матриці М. 2. Умножим матриці F і H-1. 3. Результат поділимо на 29. 4. Сложим отриману матрицю з матрицею До. 5. Найдем визначник отриманої матрицы.

Роботу з матричної функцією МОПРЕД слід виконувати у порядку: 1. Задать вихідну матрицю. 2. Отметить місце для матрицы-результата. 3. Обратиться до майстра функцій, знайти функцію МОПРЕД і постановку завдання (рис. 11.).

рис. 11. 5. Завершити виконання роботи натисканням клавіш Shift/Ctrl/Enter (рис. 12.) .

рис. 12.

2.4 Множення матриц.

Треба помножити матриці Н-1 і F. Це множення можливо, оскільки кількість шпальт матриці Н-1 збігається з кількістю рядків матриці F.

Виконаємо таку послідовність дій: 1. Поставимо матрицю F. 2. Зазначимо місце під матрицу-результат. 3. Звернімося до майстра функцій, знайдемо функцію МУМНОЖ і виконаємо постановку завдання оскільки показано на рис. 13. H-1.

рис. 13.

Як масиву 1 указуємо діапазон адрес матриці Н-1, а ролі масиву 2 — діапазон адрес матриці F. Для отримання результату натиснемо одночасно клавіші Shift/Ctrl/Enter (рис. 14.).

рис. 14.

2.5 Множення матриці на число.

Для множення матриці на число слід виконати такі дії: 1. Поставити вихідну матрицю. 2. Відзначити місце для матрицы-результата. 3. У виділеному під результат місці електронної таблиці записати твір оскільки показано на рис. 15.

рис. 15. 4. Завершити виконання роботи натисканням клавіш Shift/Ctrl/Enter (рис. 16.).

рис. 16.

2.6 Складання матриц.

Для складання двох матриць однаковою розмірності слід виконати таку послідовність дій: 1. Задать дві вихідні матриці. 2. Отметить місце для матрицы-результата. 3. В виділеному під результат місці електронної таблиці записати суму так, як показано на рис. 17.

рис. 17. 4. Завершить виконання роботи натисканням клавіш Shift/Ctrl/Enter (рис. 18.).

рис. 18.

2.7 Обчислення означника матрицы.

Для обчислення означника матриці сформуємо лист електронної таблиці: 1. Определим вихідну матрицю. 2. Определим місце під результат. 3. Обратимся до майстра функцій, знайдемо функцію МОПРЕД, виконаємо постановку завдання (рис. 19.).

рис. 19. 4. Щелкнув по кнопці ОК, одержимо значення означника (рис. 20.).

рис. 20.

2.8 Системи лінійних алгебраїчних уравнений.

Завдання #5.

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь завжди займало математиків та їх рішення було розроблено чимало про чисельні методів, подразделяющихся на прямі і итерационные.

У EXCEL завдання отримання рішення СЛАУ вирішується питання з допомогою вищеописаних матричних функцій, навіщо вихідну систему треба уявити як матричного уравнения.

Розглянемо послідовність дій щоб одержати рішення СЛАУ на конкретному примере.

— 12X1+12X2+23X3+6X4=120.

— 3X1+0.3X2−3X3+X4=-25.

— 67X1−3X2−51X3−73X4=536 (5).

— 91X1−6X2+4X3−13X4=-316.

А, щоб система (5) мала єдине рішення необхідне й досить, щоб визначник системи, складений із коефіцієнтів при змінних Х1, Х2, Х3, Х4, ні дорівнює нулю.

Розрахуємо визначник системи, користуючись функцією МОПРЕД (рис. 21.). Розраховане значення означника системи одно -12. Воно не одно нулю і, отже, можна продовжувати процес пошуку решения.

З лінійної алгебри відома матрична запис системи рівнянь і матричне уявлення рішення. Перепишемо систему (5) в виде.

АХ=В, где.

— 12 12 23 6.

— 3 0,3 -3 1.

— 67 -3 -51 -73.

— 91 -6 4 -13.

Х1.

Х2.

Х3.

Х4.

— 25.

— 316.

тоді матричне рішення рівняння виглядає так:

Х=А-1 В, де А-1 — матриця зворотна до исходной.

рис. 21.

Результат, зазначений на рис. 21 можна отримати роботу, виконавши такі дії: 1. Вычислить визначник і з’ясувати, чи є система єдине рішення. 2. Вычислить матрицю зворотний до початкової. 3. Найти твір зворотної матриці і вектор шпальти вільних членов.

Глава № 3 Пошук решения…

3.1 Оптимизация.

Майже будь-яку ситуацію, зустрічається у власній, ділової чи життя можна охарактеризувати як ситуацію прийняття рішень. Для завдань прийняття суттєвими є такі загальні елементи: 1. Сила-силенна змінних і параметрів. До числа входять:. безліч які дозволяють чи ендогенних змінних, значення яких розраховуються обличчям, хто приймає рішення. безліч зовнішніх чи екзогенних змінних, значення яких немає контролюються обличчям, хто приймає рішення. безліч параметрів, такі ж ми контролюються і вважаються за умов завдання цілком визначеними. 2. Модель — безліч співвідношень, що пов’язують все перемінні і параметри. 3. Цільова функція — функція, значення залежить від значень ендогенних змінних. Ця функція дозволяє особі, що бере рішення оцінювати варіанти. 4. Чисельні методи — методи, з допомогою яких можна систематично оцінювати результати різних решений.

Одержання рішення на моделі, зрештою, зводиться до математичної завданню перебування деяких речовинних значень ендогенних змінних, які оптимізують цільову функцию.

Якщо останнього часу чотири перелічені вище елемента лягали в наявності яка набирає рішення, нині вміння користуватися умонтованими функціями EXCEL знімає найбільш стомлюючий пункт, саме, застосування про чисельні методів, і робить дослідження завдань прийняття рішень ефективнішими, оскільки тепер на вирішення одному й тому ж завдання можна швидко переглянути різноманітних постановки, зокрема і відмінні друг від друга по структуре.

3.2 Умовний экстремум.

Завдання № 6.

EXCEL має потужним вбудованим засобом перебування екстремальних значень функції одній або кількох змінних. Для однеекстремальних функцій можна знайти безумовний глобальний екстремум. Для многоэкстремальных функцій можна знайти умовний локальний экстремум.

Для функцій однієї перемінної пошук экстремума може бути як у всієї числової осі, і на деякому інтервалі. Пошук на інтервалі вже можна вважати пошуком умовного экстремума функції, т.к. з’являються обмеження зміну значень аргумента.

Розглянемо прийме пошуку умовного экстремума функції. Знайти мінімум і максимум функції Y=X5 (6) на інтервалі [-1,1] і можуть побудувати графік. Графік функції показаний на рис. 2.2.

Для пошуку умовного экстремума функції сформуємо лист електронної таблиці, як показано на рис. 2.3. Функцію (6) запишемо у клітину А2, де замість перемінної Х слід зазначити адресу осередки А1, що містить початкова наближення экстремума.

рис. 22.

Для пошуку мінімуму слід виконати таку послідовність дій: 1. Виконати команду Сервис/Подбор параметра… (одержимо лист електронної таблиці, як показано на рис.23).

рис. 2.3 2. Заповнити діалогове вікно (рис. 2.4).

рис. 2.4 1. Кликнути лівої клавіш миші на полі, перемістити покажчик миші і кликнути на осередку з формулою. 2. Вибрати полі Min. 3. У центрі запровадити адреси осередків, значення яких варіюватися у процесі пошуку рішення. У нашому випадку це клітина А1. 4. Кликнути лівої клавіш миші на полі і далі на кнопці Додати, відкриємо діалогове вікно (рис. 2.2), яке заповнюємо, оскільки показано малюнку. Також додаємо друге ограничение.

Після щиглика на кнопці ОК одержимо рішення поставленого завдання. У клітині А1 перебуває значення перемінної Х однакову, у якому функція (6) сягає мінімального значення на інтервалі [-1,1].

Для пошуку максимуму слід виконати таку ж послідовність дій, обравши у своїй полі Max. Функція (6) сягає максимального значення на інтервалі за значення перемінної, рівному (рис.26).

3.3 Математичне программирование.

Аналізуючи можливості, можна побачити, що він застосуємо на вирішення досить широкого класу завдань математичного программирования.

Якщо завдання прийняття рішень у сфері управління можна сформулювати як оптимізації речовинної функції n неотрицательных речовинних змінних підлеглих m довільним обмеженням: max f (x1, x2,…, xn) при g1 (x1,x2,…, xn)?0 g2 (x1,x2,…, xn)?0.

… g3 (x1,x2,…, xn)?0 це дозволяє знайти рішення такого завдання, що у формальної підстановці то, можливо завданням: 1. линейного програмування (коли цільова функція і всі обмеження — линейны) 2. нелинейного програмування (коли, або цільова функція, або хоча б одна з обмежень — нелінійні) 3. целочисленного програмування (коли обмеження целочисленности накладається попри всі перемінні) 4. частично целочисленного програмування (коли обмеження целочисленности накладається на частина переменных).

3.3.1 Лінійне программирование.

Завдання #7.

Вирішити завдання лінійного програмування з допомогою Пошуку рішення…, показати графічно область допустимих прийняття рішень та цільову функцію. Знайдемо максимум функції F = -2×1 + 2×2>max при обмеженнях: x1+ x2 ?1 -5×1 + x2 ?0,3×1 — x2 ?1×1 + x2 ?6×1 ?0×2 ?0.

Сформуємо сторінку електронної таблиці і постановку завдання лінійного програмування в діалоговому вікні Пошук решения…

рис 3.3.

По виконанні поставленого завдання отримуємо такі значення переменных.

рис 3.4 Як кажуть, при знайдених значеннях х1, х2 цільова функція приймає мінімальне значення однакову 2 і до цього задовольняють все обмеження поставленого завдання. Графічне рішення поставленого завдання така (рис. 3.5):

рис. 3.5.

Завдання #8.

Авіакомпанія МОГОЛ на замовлення армії повинна перевезти на деякому ділянці 700 людина. У її розпорядженні компанії є два типу літаків, які можна використовуватиме перевезення. Літак першого типу перевозить 30 пасажирів і має екіпаж 3 людини, другого типу — 65 і п’яти відповідно. Експлуатація 1 літака першого типу обійдеться 5000 $, а другого 9000 $. Скільки треба використовувати літаків кожного типу, для формування екіпажів є трохи більше 60 человек.

Спочатку, позначимо перемінні: нехай X1 — це оптимальне кількість літаків першого типу, X2 — оптимальне кількості літаків другого типу. Вочевидь, що вартість експлуатації літаків мусить бути мінімальної. Следовательно,.

5000X1 + 9000X2>min.

Тепер визначимо обмеження. Щоб сформувати екіпажів є не більш 60 людина, следовательно:

3X1+5X2=700.

Сформуємо сторінку електронної таблиці і постановку завдання лінійного програмування в діалоговому окне:

По виконанні поставленого завдання отримуємо такі значення змінних. Як зазначено на рис 3.6.

Рис 3.6 Тобто. слід приблизно (X1=8) 8 літаків першого класу тут і (X2=6) 6 літаків другого класу, для перевезення пассажиров.

Завдання #9.

Вирішимо ще одне завдання за допомогою Підбір параметра… Знайдемо максимум функции.

F=2×1-x2+x3(max.

При ограничениях:

— x1−3×2+x3? -5×1+2×2+x3? 7×1+x2+2×3? 3×1 ?0×2,?0×3? 0.

Сформуємо сторінку електронної таблиці і постановку завдання лінійного програмування в діалоговому вікні Підбір параметра …

Рис 4.4.

рис 4.5.

По виконанні поставленого завдання отримуємо такі значення переменных:

рис 4.6.

Як кажуть, при знайдених значеннях цільова x1, x2, x3 функція приймає максимальне значення однакову 6 і навіть задовольняються все обмеження поставленої задачи.

14 Системи нелінійних алгебраїчних уравнений.

Завдання #12.

На початку розглядався спосіб розв’язання систем двох нелінійних алгебраїчних рівнянь, мають спеціальний вид, що дозволяє навести одного рівнянню і вирішувати це рівняння з допомогою команди Підбір параметра… Такий спосіб сильно звужує область систем нелінійних рівнянь, які підлягають рішенню, бо завжди явно можна сформулювати одну зміну через іншу. З іншого боку, з його допомогою ми не можна вирішувати системи, які з більш як двох уравнений.

Команда Сервис/Подбор параметра… має широкий спектр функцій, одній із яких дозволяє сконструювати постановку завдання на вирішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь. Як приклад розглянемо рішення системи уравнений:

2А3+АВС+5А2=124.

12В+2А=8.

3С+4АС= -6.

Сформуємо лист електронної таблиці як показано на рис 5.5.

рис 5.5.

Систему рівнянь розмістимо у клітинах А6, А7, А8, а замість змінних А, У, З зазначимо адреси клітин А3, В3 і С3 відповідно, які містять наближені значення змінних. Аби вирішити системи рівнянь слід виконати команду і заповнити діалогові вікна, як показано на рис 5.6.

рис 5.6.

У такій постановці одна з рівнянь системи (будь-яке) постає як цільова функція, а через два інших обмеження. Після щиглика на кнопці ОК в клітинах А3, В3 і С3 одержимо рішення системи рівнянь (рис 5.7).

рис 5.7.

Отже отримуємо, що рішеннями системи рівнянь є такі значення: А=3,28 В=0,12 і С=-0,37.

Тут, як й у раніше наведених прикладах, велике значення має тут вибір початкового наближення, котрі можуть обумовити як перебування різних рішень, але й забезпечити перебування жодного. Це вкотре говорить про необхідність ретельного вибору початкового наближення рішення. Що зробити з непрямих знань про область розташування даного нас рішення чи володіючи методами відділення корней.

1. «Microsoft Office 97», Ед Ботт, БІНОМ, Москва, 1998 год.

2. «Microsoft Excel 2000 в оригіналі», БХВ — Санкт-Петербург ,.

1999 год.

———————————- [pic].

А=.

Х=.

В=.

— вектор стовпець вільних членов.

— вектор стовпець неизвестных.

— матриця коефіцієнтів при неизвестных.

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].