Определение розмірності Хаусдорфа фракталів з циклічно повторюваними структурами
Откуда фрактальная размерность. Порівняно з кривою Коха у знову отриманої кривою розмірність Хаусдорфа менше, але довжина її досі не кінцева. Узагальнюючи отриманого результату, на довільне число структур, формула визначення розмірність Хаусдорфа при циклічному структуроформирующем правилі прийме вид: Рассмотрим невеличкий приклад. Нехай елементи кривою (це, звісно, вже буде не крива Коха… Читати ще >
Определение розмірності Хаусдорфа фракталів з циклічно повторюваними структурами (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Определение розмірності Хаусдорфа фракталів з циклічно повторюваними структурами
С.С. Кубрин Институт «Гипроуглеавтоматизация», Кемерово Классически, у літературі опис фракталів починається з прикладу триадной кривою Гельгона фон Коха. Ця крива будується итеративно. Побудова починається з прямолінійного відрізка одиничної довжини. На перший крок вихідний відрізок замінюється чотирма довжиною кожен в 1/3 від довжини вихідного. Далі, операція повторюється з кожним знову отриманим відрізком. Отже, отримують криву Коха різною детальності залежно від кількості итераций
. Коли число ітерацій рухається до нескінченності (
) отримуємо граничну криву (рис. 1).
Легко бачити, що довжина триадной кривою Коха визначається за формулою 
і намагається до нескінченності. Відповідно, розмірність Хаусдорфа даного фрактального освіти визначається співвідношенням: 
(
— число елементів, 
— відносний розмір элементов).
.
Для побудови кривою Коха, використовується лише одне структура. На жаль, такі фракталы у природі не часто трапляються. Найчастіше, у будівництві фракталів беруть участь кілька структур, які з різноманітної числа елементів. Причому, розміри елементів структур також різноманітні.
Рассмотрим невеличкий приклад. Нехай елементи кривою (це, звісно, вже буде не крива Коха) на першої ітерації діляться втричі елемента, другого чотирма, у третій п’ять, у четвертому знову втричі і таке інше изменясь циклічно. А правило що б розмір елементів залишається тим самим, що у кривою Коха.
Тогда, від початку процесу довжина кривою визначається как
; де: 
— число елементів, 
— довжина елемента. У першому кроці (n=1) довжина кривою і її форма не меняются
, (
,
).
Запишем число елементів кривою і довжини елементів для наступних кількох ітерацій. Так при:
n=2, , 
n=3, 
, 
.
n=4, 
, 
n=5, 
, 
.
n=6, 
, 
.
и відповідно для:n, 
,
.
Итак, довжина кривою буде равна
. Висловлюючи n через довжину елемента (
) і застосовуючи пряму і зворотний операції логарифмирования имеем:
.
.
Рис. 2. Вплив на розмірність Хаусдорфа числа структур з різними.
количеством елементів (l = 1/10). У точці n = 1 k = 11.
Откуда фрактальная размерность
. Порівняно з кривою Коха у знову отриманої кривою розмірність Хаусдорфа менше, але довжина її досі не кінцева. Узагальнюючи отриманого результату, на довільне число структур, формула визначення розмірність Хаусдорфа при циклічному структуроформирующем правилі прийме вид:
,.
здесь: å - число різних структур; 
— число елементів в 
структурі; 
— число повторень структуры.
Произведя аналогічні міркування щодо правила, визначального розмір елементів структур, одержимо залежність від кількості структур і варіації розмірів елементів структур:
.
Проанализируем вплив чисельності структур, що у формуванні фрактального освіти, на розмірність Хаусдорфа межами цього утворення. Нехай є кілька фрактальных утворень. Перше будувалося з допомогою однієї структури, що з j елементів. Друге — з допомогою трьох структур, які перебувають відповідно з j-1, j і j+1 елементів. Третє - з допомогою п’яти структур, які перебувають відповідно з j-2, j-1, j, j+1 і j+2 елементів. І далі. На рис. 2 побудований графік залежності розмірності Хаусдорфа від кількості структур. З малюнка видно, що, що більше різноманітність структур, тим менше размерность
.
.
Рис. 3. Вплив на розмірність Хаусдорфа числа різних елементів у структурі (k = 11). У точці n = 1 l = 10.
Рис. 3 ілюструє впливом геть розмірність Хаусдорфа варіації розмірів елементів у структурі. Зі збільшенням кількості розмірів елементів, зростає размерность.
Анализ отриманих результатів свідчить, що обчислення розмірності Хаусдорфа у непростих фрактальных образованьях осреднением числа чи (і) довжин елементів структур неприпустимо. Прикладний інтерес представляють фракталы з размерностью менше розмірності простору.
Использование фракталів з циклічно повторюваними структурами дозволяє легко отримувати самоподібні освіту необхідної розмірності, що необхідна за різних приложених.
Список литературы
Пайтген Х.О., Ріхтер П.Х., Краса фракталів. Образи комплексних динамічних систем, М.: Світ, 1993. 176 з.
Федер Енс. Фракталы. М.: Світ, 1991. 254 з.
Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry of Nature. Freeman, SanFrancisco, 198.