Обработка результатів эксперимента

МИНИСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

ВОЛГОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ.

СЕМЕСТРОВА РОБОТА ПО СТАТИСТИКЕ.

«Обробка результатів эксперимента».

Варіант № 999.

ВЫПОНИЛ: студент групи АТ-312.

Литвинов Олександр Владимирович.

ПЕРЕВІРИВ: Африкян Арсен Джуванович.

ВОЛГОГРАД 2003.

Дослідження міцності 250 зразків бетону на стиснення утворюють сукупність незалежних ЗМІ і равноточных вимірів випадкової величини Х (МПа):

21,8 24,7 25,3 19,8 22,1 22,2 25,9 24,0 24,9 24,1 22,0 22,9 24,7 24,1 21,5 21,6 21,7 21,8 24,5 24,6 24,2 19,3 24,6 24,9 24,1 22,8 25,4 22,0 24,5 23,1 24,6 24,7 19,1 24,8 24,1 24,0 22,7 22,8 22,1 22,2 24,3 24,4 19,2 25,7 22,8 22,1 25,1 25,5 25,6 22,3 25,7 23,1 23,0 23,5 23,3 23,4 23,9 25,7 25,3 25,8 25,0 20,1 24,1 20,0 23,7 23,8 20,9 20,1 18,0 20,7 20,1 20,5 23,7 23,3 24,7 23,8 20,6 22,6 22,7 19,5 22,2 20,7 23,7 24,2 20,3 20,8 20,0 25,2 25,6 19,6 20,3 20,9 20,6 26,8 21,0 21,9 22,7 22,3 21,1 21,7 21,1 26,2 26,6 21,3 21,0 26,7 26,3 21,5 24,7 21,6 23,9 23,1 21,7 24,3 24,7 24,0 21,8 20,8 20,2 21,1 21,2 21,6 26,8 26,1 21,7 21,3 21,4 22,8 22,0 21,9 21,6 27,2 28,0 21,7 21,0 22,6 22,7 21,2 21,6 21,7 22,1 22,5 22,6 22,7 22,8 21,3 21,8 21,6 22,1 22,5 22,6 22,6 22,3 22,0 22,9 22,1 22,7 23,6 22,3 22,4 22,9 24,8 24,0 24,3 24,4 24,9 22,6 22,1 22,7 21,9 21,1 22,4 22,9 19,9 22,6 21,7 21,1 21,1 22,1 22,5 22,3 22,8 19,6 22,0 23,2 23,6 23,7 23,3 23,8 22,3 23,7 23,1 24,7 25,6 25,0 23,1 23,6 23,7 21,0 21,3 21,4 21,9 23,8 23,1 23,0 23,3 23,4 22,4 24,6 22,9 23,3 23,8 23,0 23,3 22,6 23,9 23,1 23,9 23,6 23,1 23,9 23,1 23,7 23,1 23,5 23,6 23,7 23,8 23,1 24,6 24,7 24,3 24,8 23,2 22,6 22,7 23,2 23,6 20,4 23,7 23,4 19,3 23,9 23,6 23,1 23,5 20,7 20,6 23,6 23,6.

Требуется:

1. обчислити точкові оцінки для математичного очікування, среднеквадратического відхилення, коефіцієнтів асиметрії і ексцесу; 2. скласти интервальный статистичний ряд розподілу відносних частот і можуть побудувати гистограмму і полігон відносних частот; 3. знайти емпіричну функцію і розподілу і побудувати її графік і графік кумуляты; 4. з загальних поглядів на механізмі освіти СВ Х, і навіть з вигляду гистограммы та полігону відносних частот і вичисленим числовим характеристикам, висунути гіпотезу про вигляді розподілу СВ Х; записати щільність розподілу ймовірностей і функцію розподілу для висунутого гіпотетичного закону, замінюючи параметри закону обчисленими їм оцінками; 5. критерієм згоди ?2 Пірсона перевірити відповідність вибіркового розподілу гіпотетичному закону до рівня значимості q = 0,05; 6. обчислити интервальные оцінки для математичного очікування й среднеквадратического відхилення, відповідні довірчим можливостям? = 0,95 і? = 0,99.

Решение:

Вивчення безперервних випадкових величин починається з угруповання статистичного матеріалу, т. е. розбивки інтервалу можна побачити значень СВ Х на k часткових інтервалів рівної довжини та підрахунок частот влучення можна побачити значень СВ Х в часткові інтервали. Кількість вибираємо рівним 10 (k = 10).

Розіб'ємо весь діапазон значень на 10 інтервалів (розрядів). Довжину часткового інтервалу визначимо по формуле:

[pic];

Шкала інтервалів і угруповання вихідних статистичних даних зведені в таблицю. У результаті отримали статистичний ряд розподілу частот ([pic]):

|[18;19) |18,5 |1 |-4,44 |19,71 |-87,53 |388,63 | |[19;20) |19,5 |9 |-30,96 |106,50 |-366,37 |1260,31 | |[20;21) |20,5 |20 |-48,80 |119,07 |-290,54 |708,91 | |[21;22) |21,5 |41 |-59,04 |85,02 |-122,43 |176,29 | |[22;23) |22,5 |56 |-24,64 |10,84 |-4,77 |2,10 | |[23;24) |23,5 |60 |33,60 |18,82 |10,54 |5,90 | |[24;25) |24,5 |38 |59,28 |92,48 |144,26 |225,05 | |[25;26) |25,5 |16 |40,96 |104,86 |268,44 |687,19 | |[26;27) |26,5 |7 |24,92 |88,72 |315,83 |1124,34 | |[27;28] |27,5 |2 |9,12 |41,59 |189,64 |864,75 | |Разом |250 |0 |687,61 |57,07 |5443,47 |.

Следовательно,.

[pic].

Для попереднього вибору закону розподілу обчислимо спочатку середні квадратические помилки визначення асимметрии.

[pic].

і эксцесса.

[pic].

Критерієм «нормальності» розподілу міцності бетону на стиснення є рівність нулю асиметрії і ексцесу. З розрахунків видно, що вибіркові коефіцієнти асиметрії [pic] і ексцесу Еге відрізняються від нуля лише на подвоєні середні квадратические помилки їх визначення, що він відповідає нормальному розподілу. Вигляд полігону і гистограммы частостей також нагадує нормальну криву (криву Гаусса).

Не виключено, міцність бетону на стиснення (СВ Х) змінюється під впливом значної частини чинників, приблизно рівнозначних за силою. Тому, з «технології» освіти СВ Х, т. е. механізму освіти відхилень міцності від деякого номінального значення, можна припустити, що розподіл міцності бетону на стиснення є нормальным.

Щільність ймовірності нормального розподілу має вид.

[pic].

Знайдемо точкові оцінки параметрів a і? нормального розподілу методом моментов:

[pic].

Отже, щільність ймовірності гаданого нормального розподілу має вид.

[pic].

Функція розподілу гаданого нормального розподілу має вид.

[pic].

Використовуючи нормовану функцію Лапласа [pic], функцію нормального розподілу можна записати в виде.

[pic].

Проведемо перевірку гіпотези про нормальному розподілі СВ Х (міцності бетону на стиснення) з допомогою критерію згоди [pic]для цього інтервали можна побачити значень нормують, тобто. висловлюють в одиницях середнього квадратического відхилення p. s: [pic], причому найменше значення [pic]полагают рівним [pic], найбільше [pic]. Далі обчислюють ймовірності влучення СВ Х, має нормальне розподіл, з параметрами, а = 22,94,? = 1,65 в часткові інтервали (хi-1; хi) по формуле.

[pic],.

где.

[pic].

Наприклад, можливість, що СВ Х (міцність бетону на стиснення) потрапляє у перший частковий інтервал ([pic]; 19), равна.

[pic].

Аналогично.

[pic].

тощо. буд. Після цього обчислюють теоретичні (модельні) частоти нормального розподілу [pic] і бачимо значення критерію [pic].

[pic].

Потім за таблицям квантилей розподілу [pic] за рівнем значимості q = 0,05 і числу ступенів свободи ‚ [pic](k — число інтервалів; r — число параметрів гаданого розподілу СВ Х) знаходять критичне значення [pic].

Якщо [pic], то вважають, що немає підстав щодо відхилення гіпотези про нормальному розподілі міцності бетону на сжатие.

Інакше, т. е. якщо [pic], вважається, що гіпотеза нормального розподілу міцності бетону на стиснення у згоді з експериментальними данными.

Обчислення, необхідних визначення спостережуваного значення вибіркової статистики [pic] наведемо в таблице:

|Интервалы |Частоти |Нормовані |pi |npi |[pic] |[pic] | |можна побачити |mi |інтервали | | | | | |значень СВ Х, | |[ui, ui-1] | | | | | |МПа | | | | | | | |[18;19) |1 |(-?;-2,39) |0,008|2,00 |1 |0,05 | |[19;20) |9 |[-2,39;-1,78) |0,029|7,25 |3,06 |0,42 | |[20;21) |20 |[-1,78;-1,18) |0,081|20,25|0,06 |0,00 | |[21;22) |41 |[-1,18;-0,57) |0,168|42,00|1 |0,02 | |[22;23) |56 |[-0,57;0,04) |0,231|57,75|3,06 |0,05 | |[23;24) |60 |[0,04;0,64) |0,223|55,75|18,06 |0,32 | |[24;25) |38 |[0,64;1,25) |0,154|38,50|0,25 |0,01 | |[25;26) |16 |[1,25;1,85) |0,074|18,50|6,25 |0,34 | |[26;27) |7 |[1,85;2,46) |0,025|6,25 |0,56 |0,09 | |[27;28] |2 |[2,46;+?) |0,007|1,75 |0,06 |0,03 | |[pic] |250 | |1.000|250,0|[pic] |.

Зауваження. Найкоротший значення стандартизованной перемінної [pic].

заменено [pic], найбільше значення [pic]заменено [pic]. Ця заміна зроблена у тому, щоб сума теоретичних (модельних) частот npi була дорівнює обсягу выборки.

Через війну обчислень отримали [pic]. Знайдемо за таблицею квантилей [pic] розподілу за рівнем значимості? = 0,05 і числу ступенів [pic] критичне значення [pic]. Оскільки [pic], то немає підстав щодо відхилення гіпотези про нормальному розподілі міцності бетону на сжатие.

Побудуємо нормальну криву. І тому з середин часткових інтервалів повстанні перпендикуляри заввишки pi/h (pi — ймовірність влучення СВ Х в частковий інтервал; h — довжина інтервалу). На малюнку 3 кінці цих перпендикулярів відзначені гуртками. Отримані точки з'єднані плавної кривою. Порівняння гистограммы і нормальної кривою наочно демонструє, що нормальна крива добре згладжує гистограмму відносних частот.

[pic].

Знайдемо интервальные оцінки параметрів нормального розподілу. Для обчислення довірчого інтервалу накрывающего математичне очікування міцності бетону на стиснення (СВ Х), знайдемо за таблицями квантилей розподілу Стьюдента по заданої довірчій ймовірності [pic]и числу ступенів свободи‚ [pic] квантиль[pic].

Обчислимо граничну похибка интервального оценивания.

[pic].

Зазначений довірчий інтервал для математичного ожидания.

[pic].

Сенс отриманого результату: якщо буде зроблено досить велика кількість вибірок по 250 досліджень міцності зразків бетону на стиснення, то 95% їх довірчий інтервал накриє математичне очікування міцності бетону і лише у 5% випадків математичне очікування може вийти поза межі довірчого интервала.

Для перебування довірчого інтервалу, накрывающего невідоме середнє квадратическое відхилення? із заданою ймовірністю [pic], знайдемо по довірчій ймовірності [pic] і числу ступенів свободи [pic]‚ два числа; [pic]. Зазначений довірчий интервал.

[pic].

Отриманий результат означає, що й буде зроблено досить велика кількість вибірок по 250 досліджень міцності зразків бетону на стиснення, то 95% їх довірчий інтервал накриє середнє квадратическое відхилення? і лише у 5% середнє квадратическое відхилення? можёт вийти поза межі довірчого интервала.

———————————- [pic].