Самостоятельная робота як навчання рішенню рівнянь в 5-9 классах

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Самостоятельная робота як навчання рішенню рівнянь в 5-9 классах (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Міністерство загального користування та професійної освіти РФ.

Светлоградский педагогічний колледж.

Дипломна работа.

Самостійна робота як навчання рішенню рівнянь в розмірі 5 — 9 классах.

Выполнила:

Руководитель:

Светлоград, 2000 г.

|Введение: | |3 | |Глава 1. |Теоретичні аспекти навчання рівнянь в розмірі 5 |4 | | |- 9 класах з допомогою самостійної | | | |роботи. | | |§ 1. |З виникнення рівнянь. |4 | |§ 2. |Зміст й ролі ліній рівнянь в |8 | | |сучасному шкільному курсі математики. | | |§ 3. |Основні поняття ліній рівняння. |11 | |§ 4. |Узагальнені прийоми рішення рівнянь з одного |23 | | |перемінної в шкільному курсі алгебри. | | |§ 5. |Методика вивчення основних класів рівнянь |28 | | |та його систем. | | |Глава II. |Методико — педагогічні основи |36 | | |використання самостійної роботи, як | | | |засіб навчання рішенню рівнянь. | | |§ 1. |Організація самостійної роботи за |36 | | |навчанні рішенню рівнянь. | | |§ 2. |Дослідницька робота |69 | |Укладання | |73 | |Бібліографія | |74 | |Додаток | |75 |.

Рівняння в шкільному курсі алгебри займають чільне місце. На вивчення відводиться часу більше, ніж будь-яку інше. Справді, рівняння лише мають важливе теоретичне значення, а й є суто практичним цілям. Переважна більшість завдань про просторових формах і кількісних відносинах реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами розв’язання, ми бачимо відповіді різні запитання щодо з науку й техніки (транспорт, сільському господарстві, промисловість, зв’язок тощо. буд.). Також на формування вміння вирішувати рівняння велике значення має тут самостійна робота учня при навчанні рішення уравнений.

Проблема методики формування умінь самостійної роботи є підставою актуальною для вчителів всіх шкільних предметів, зокрема й у вчителів математики. Її вирішення важливо іще й з тієї погляду, що з успішного оволодіння сучасним змістом шкільного математичної освіти у необхідно збільшити ефективність процесу навчання у напрямі активізації самостійної діяльності учнів. І тому потрібно чітко визначити систему умінь і навиків, оволодіння якими призводить до самостійного виконання праць різного характеру. Важливим також розкриття процесу формування умінь і навиків самостійної роботи за навчанні курсів математики, у своїй необхідно показати, як і ході викладання математики вчитель може здійснити формування в учнів відзначеної вище умінь і навыков.

Тому мені вирішила працювати над даної темою дипломної роботи: «Самостійна діяльність, як навчання рішенню рівнянь в розмірі 5- 9 классах.

Я дуже хочу у своїй дипломної роботі розглянути питання пов’язані з вивченням рівнянь знає математики як за допомогою схемної роботи підвищити якість засвоєння матеріалу дипломної темы.

Тому, за роботі над дипломної роботи я собі поставила такі цілі й завдання. 1. Вивчити психолого — педагогічну і методичну літературу, Що Стосується вивченню рівнянь. Проаналізувати шкільні підручники і виділити у яких місце рівнянь. 2. Скласти конспекти уроків навчання розв’язання різноманітних видів рівнянь з допомогою самостійної роботи. 3. Розробити самостійних робіт учнів різноманітні тем рівнянь. Провести контролю над використанням класу у процесі самостійної работы.

Глава I. Теоретичні аспекти навчання рівнянь в розмірі 5 — 9 класах з використанням работы.

§ З виникнення уравнений.

Алгебра виникла в з рішенням різноманітних завдань з допомогою рівнянь. Зазвичай, у завданнях потрібно знайти одну чи кілька невідомих, знаючи у своїй результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення однієї чи системи кількох рівнянь, до пошуку шуканих з допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. У алгебрі вивчаються загальні властивості дій над величинами. Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому у Давньому Вавилоне.

Квадратні рівняння у Давньому Вавилоне Необходимость вирішувати рівняння як першої, проте й другий степени[1] ще у минулому спричинило потребою виконувати завдання, пов’язані з перебуванням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, ні з розвитком астрономії і найбільш математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до зв. е. вавілоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і ті, наприклад, повні квадратні уравнения:

[pic][pic] [pic].

Правило розв’язання цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасним, проте невідомо, як дійшли вавілоняни доти правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, що у вигляді рецептів, без вказівок на те, яким чином вони були найдены.

Попри високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і спільні на методи вирішення квадратних уравнений.

Як становив і вирішував Диофант квадратні уравнения.

У «Арифметиці» Диофанта немає систематичного викладу алгебри, проте у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв’язуваних з допомогою складання рівнянь різних степеней.

Під час упорядкування рівнянь Диофант спрощення рішення вміло вибирає неизвестные.

Ось, приміром, одне з його задач.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що й сума дорівнює 20, а твір — 96».

Диофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа нерівні, бо коли б це вони були рівні, їх твір дорівнювало би 96, а 100. Отже, одне з яких буде понад половину їх суми, т. е. 10 + x, інше менше, т. е. 10 — x. Різниця між ними 2х. Звідси уравнение.

(10+x)(10—x) =96, чи же.

100 —x2 = 96.

x2 — 4 = 0 Звідси x == 2. Один із шуканих чисел одно 12, інше 8. Рішення x = - 2 для Диофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, обираючи як невідомого одна з шуканих чисел, ми то дійдемо рішенню уравнения.

y (20-y)=96.

y2 — 20y+96=0.

Зрозуміло, що, обираючи як нtизвестного полуразность шуканих чисел, Диофант спрощує рішення; вміє звести завдання до вирішення неповного квадратного уравнения.

Квадратні рівняння в Индии.

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже у астрономічному трактаті «Ариабхаттиам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Ариабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII в.), виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форме:

ax2 + bх = з, а> 0. (1) У рівнянні (1) коефіцієнти, крім а, можуть і негативними. Правило Брахмагупты сутнісно збігаються з нашим.

У Стародавньої Індії поширено публічні змагання у рішенні важких завдань. У одній зі старовинних індійських книжок говориться щодо таких змагань таке: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так учений людина затьмарить славу іншого у народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто наділялися в віршовану форму.

Ось із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскары.

3 а буд, а год, а 13.

Решение Бхаскары свідчить у тому, що він теж знав про двозначності коренів квадратних уравнений.

Відповідне завданню 13 уравнение.

[pic].

Бхаскара пише під видом.

[pic]x2 — 64x = - 768 і, щоб доповнити ліву частину акцій цього рівняння до квадрата, додає до обом частинам 322, одержуючи затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024, (x — 32)2 = 256, x — 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадратні рівняння у ал-Хорезми.

У алгебраическом трактаті ал-Хорезми дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним образом:

1) «Квадрати рівні коріння», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадрати рівні числу», т. е. ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», т. е. ох = с.

4) «Квадрати і кількості рівні коріння», т. е. ах2 + з = bх.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Коріння і кількості рівні квадратах», т. е. bх + з == ах2.

Для ал-Хорезми, уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а чи не вычитаемые. У цьому явно не беруться до уваги рівняння, які мають позитивних рішень. Автор викладає шляхи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Її рішення, звісно, не збігається цілком згодна з нашим. Вже не кажучи про те, що його суто риторичне, треба сказати, наприклад, що під час вирішення неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезми, як і все математики до XVII в., не враховує нульового рішення, мабуть, тому, що у конкретних практичних завданнях воно має значення. За позитивного рішення повних квадратних рівнянь ал-Хорезми на приватних числових прикладах викладає правила рішення, та був їх геометричні доказательства.

Наведемо пример.

Завдання 14. «Квадрат і кількість 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно таке: роздягли навпіл число коренів, одержиш 5, помнож 5 саме він, від твори відніми 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, одержиш 2. Відніми 2 від 5, одержиш 3, це і буде шуканий корінь. Вони ж додай 2 до 5, що дозволить 7, це також є корень.

Трактат ал-Хорезми є першою дійшла до нас книгою, у якій систематично викладено класифікація квадратних рівнянь і дано формули розв’язання. § 2. Зміст й ролі лінії рівнянь в сучасному шкільному курсі математики Материал, пов’язані з рівняннями, становить значну частину шкільного курсу математики. Це тим, що рівняння широко використовують у різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.

Витоки алгебраїчних методів рішення практичних завдань пов’язані з наукою древнього світу. Як знаємо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, розв’язуваних єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писцами-вычислителями (XX—VI ст. до зв. е.), мала розрахунковий характер. Однак тоді раз у раз виникали завдання, у яких дані значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної погляду, складання рівняння чи системи рівнянь. Спочатку на вирішення завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися простий алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли виконувати завдання, що зводяться з погляду сучасної класифікації до рівнянням другого ступеня. Отже, створили метод рішення текстових завдань, що послужив надалі підвалинами виділення алгебраического компонента та її незалежного изучения.

Це вивчення здійснювалося вже у іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI—Х ст. зв. е.), выделившими характерні дії, з яких рівняння наводилися до стандартному виду (приведення подібних членів, перенесення членів із частині рівняння до іншої з зміною знака), та був європейськими математиками Відродження, у результаті тривалого пошуку які створили мову сучасної алгебри (використання літер, запровадження символів арифметичних операцій, скобок тощо. буд.). На межі XVI—XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що має своїм предметом, методом, областями докладання, була вже сформована. Подальше її розвиток, до сьогодення, полягала у «вдосконаленні методів, розширенні області додатків, уточненні понять і зв’язків його з поняттями інших розділів математики. У процесі все ясніше ставала важливість ролі, яку відігравало поняття рівняння у системі алгебраїчних понятий.

Відкриття координатного методу (Декарт, XVII в.) і наступне його розвиток аналітичної геометрії дозволили застосувати алгебру як до завданням, що з числової системою, до вивченню різних геометричних постатей. Ця лінія розвитку алгебри зміцнила становище рівняння як ведучого алгебраического поняття, яке пов’язувалося тепер вже із трьома головними областями своєї появи і функціонування: a) рівняння як вирішення текстових завдань; b) рівняння як особливий формула, службовець в алгебрі об'єктом вивчення; з) рівняння як формула, якої побічно визначаються числа чи координати точок площині (простору), службовці його решением.

Кожне кз цих уявлень виявилося у тому чи іншому відношенні полезным.

Отже, рівняння як общематематическое поняття многоаспектно, причому жодного з аспектів не можна вилучити з розгляду, якщо йдеться про проблеми шкільного математичного образования.

Через важливості й просторості матеріалу, що з поняттям рівняння, його вивчення у сучасної методиці математики організовано в змістовно — методичну лінію — лінію рівнянь і нерівностей. Тут розглядаються питання формування понять рівняння і нерівності, спільних цінностей і приватних методів розв’язання, взаємозв'язку вивчення рівнянь і нерівностей з числової, функціональної та інші лініями шкільного курсу математики.

Виділеним областям виникнення і функціонування поняття рівняння в алгебрі відповідають три основні напрями розгортання лінії рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики. а) Прикладна спрямованість лінії рівнянь розкривається переважно щодо алгебраического методу рішення текстових завдань. Цей метод широко застосовується у шкільної математиці, оскільки вона пов’язані з навчанням прийомів, які у додатках математики.

Нині провідне становище у додатках математики займає математичне моделювання. Використовуючи це поняття, можна сказати, що прикладне значення рівнянь, їх систем залежить від того, що є основною частиною математичних коштів, які у математичному моделюванні. б) Теоретико-математическая спрямованість лінії рівнянь розкривається у два аспекти: по-перше, до вивчення найважливіших класів рівнянь, і їх систем і, по-друге, до вивчення узагальнених понять і методів, які стосуються лінії загалом. Обидва ці аспекти необхідні знає шкільної математики. Основні класи рівнянь пов’язані із найелементарнішими і водночас найважливішими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії загалом, оскільки вони описують те спільне, що є у процедурах і прийомах рішення, які стосуються окремим класам рівнянь, нерівностей, систем. Під час перебування чергу, ці загальні поняття і силові методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, равносильность, логічне проходження, котрі повинні бути розкрито в лінії рівнянь в) Для лінії рівнянь характерна спрямованість встановлення зв’язку з іншим змістом курсу математики. Ця лінія міцно пов’язана з числової лінією. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, — це ідея послідовного розширення числової системи. Усі числові області, аналізовані у шкільному алгебри та засадах аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, творяться у зв’язки й з рішенням будь-яких рівнянь та його систем. Області ірраціональних і логарифмічних висловів пов’язані за рівняннями хk = b (k — натуральне число, більше 1) і ax=b.

Зв’язок лінії рівнянь з числової лінією двостороння. Наведений приклад показує вплив рівнянь розгортання числової системи. Протилежне вплив в тому, кожна знову введена числова область розширює можливості упорядкування та розв’язання різноманітних рівнянь. Наприклад, запровадження арифметичного квадратного кореня з раціональних чисел дозволяє записувати коріння як рівнянь виду х2 = b, де b—неотрицательное раціональне число, а й будь-яких квадратних рівнянь з раціональними коефіцієнтами і неотрицательным дискриминантом. Лінія рівнянь міцно пов’язана і з функціональної лінією. Один із найважливіших таких зв’язків — докладання методів, розроблюваних в лінії рівнянь, до дослідження функції (наприклад, до завданням на перебування області визначення деяких функцій, їх коренів, проміжків знакопостоянства тощо. буд.). З іншого боку, функціональна лінія надає значний вплив як у зміст лінії рівнянь і нерівностей, і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні уявлення служать основою залучення графічної наочності до вирішення і дослідженню рівнянь, нерівностей та його систем.

З функціональної лінією безпосередньо пов’язаний ще й невеличкий коло питань шкільного курсу математики, які стосуються диференційним і функціональним рівнянням. Сама можливість виникнення диференціального рівняння у наявності операції диференціювання (то, можливо порушено питання перебування для заданої функції (інший функції F, такий, що F «(x)=f (х)).

Проте як така можливість виділення диференційних рівнянь в шкільному курсі математики ще випливає з той факт, що є формальні підстави їхнього розгляду. Як відомо, теорія диференційних рівнянь має великий складністю. У шкільному навчанні ця теорія представлена лише своїми початковими частинами, які утворюють зв’язкового цілого, а ставляться до різним конкретним, по більшу частину прикладним вопросам.

Очевидно, поняття диференціального рівняння допускає більш широке подання до шкільному курсі. Нині це запитання є відкритої методичної проблемой.

На відміну від диференційних функціональні рівняння (невідомим в яких, як і й у диференційних, є функція) майже представлені у шкільному курсі математики. Одиничні завдання, пов’язані з цим класом рівнянь, можна використовувати під час розгляду показовою функції, у зв’язку з поняттям зворотної функції та інших. Як останнього прикладу відзначимо взаємозв'язок лінії рівнянь з алгоритмічної лінією. Вплив ж алгоритмічної лінії на лінію рівнянь полягає насамперед у можливості використання понять для описи алгоритмів рішення рівнянь і систем різних классов.

§ 3. Основні поняття лінії уравнений.

1. Про трактуванні поняття уравнения.

Поняття рівняння належить до найважливішим общематематическим поняттям. Саме тому важко запропонувати його визначення, це й суворе з формальної погляду, і доступне учнів, приступающих до оволодінню шкільним курсом алгебры.

Логико-математическое визначення рівняння можна навести у такому формі: нехай на безлічі М зафіксовано набір алгебраїчних операцій, x — змінна на М; тоді рівнянням на безлічі М щодо x називається предикат виду а (х)=b (x), де а (х) і b (х)—термы щодо заданих операцій, в запис яких входить символ x. Аналогічно визначається рівняння від двох змінних тощо. д.

Ухваленим з логіки термінам «терм» і «предикат» відповідають терміни шкільної математики «вираз» і «речення з перемінної». Тому найближче до наведеній формальному визначенню таке визначення: «Пропозиція з перемінної, має вид рівності між двома висловлюваннями з цим перемінної, називається уравнением».

Аналізуючи наведене математичне визначення рівняння, можна виділити у ньому два компонента. Перший у тому, що рівняння — це особливий предикат. Другий уточнює, якого саме роду: це рівність, з'єднуюче два терма, причому терми також мають певний спеціальний вид. Під час вивчення матеріалу, ставиться до лінії рівнянь і нерівностей, обидва компонента грають значну роль.

Перший — значеннєвий компонент, важливий передусім на з’ясування поняття кореня рівняння. З іншого боку, значеннєвий компонент майже завжди використовується при обоснованbи коректності тієї чи іншої перетворення уравнения.

Другий компонент належить до формальним особливостям записи, яка зображує рівняння. Назвемо цей компонент знаковим. Він важливий у разі, коли запис рівняння піддається різним перетворенням: найчастіше такі перетворення виробляються суто механічно, без звернення до смыслу.

Можливість використання їх у шкільному навчанні підходи до поняттю рівняння, що включає явно нагадування про пропозиції з перемінної, залежить від присутності цього терміна і термінів «істина», «брехня» в обов’язковому матеріалі курсу математики. Якщо немає, то привести таке визначення неможливо. І тут значеннєвий компонент поняття рівняння перетворюється на визначення іншого поняття, тісно що з поняттям рівняння, — кореня рівняння. Виходить система з цих двох термінів: термін «рівняння» несе на собі ознаки знакового компонента, а термін «корінь рівняння» враховує значеннєвий компонент. Таке визначення наведено, наприклад, в підручнику Колмогорова А. М. «Алгебра та початок аналізу «[з. 330]: «Рівність з перемінної називається рівнянням. Значення перемінної, у якому рівність з перемінної звертається до правильне числове рівність, називається коренем уравнения». .

Часто, особливо на початку систематичного курсу алгебри, поняття рівняння вводиться у вигляді виділення його з алгебраического методу вирішення завдань. І тут незалежно від цього, який текст визначення, істотним виявляється підхід до поняття рівняння, у якому воно представляє непряму форму завдання деякого невідомого числа, має відповідно до сюжетом завдання конкретну інтерпретацію. Наприклад, поняття рівняння вводиться на матеріалі текстовій завдання: «Конверт з новорічної листівкою стоїть 17 до. Конверт дешевше листівки п’ять до. Знайти вартість листівки». Перехід до визначення рівняння складає основі аналізу деяких формальних особливостей записи .х+(х-—5)= 17, котра виражає зміст даного завдання в алгебраїчній формі. З допомогою цього ж самого сюжету вводиться й поняття кореня рівняння. Саме ці визначення: «Рівність, що містить невідоме число, позначене буквою, називається рівнянням. Коренем рівняння називається ті значення невідомого, у якому це рівняння звертається до правильне рівність». Зазначений спосіб запровадження поняття рівняння відповідає одному компоненту поняття рівняння — прикладному.

Крім виділених компонентів поняття рівняння (смислового, знакового, прикладного), у шкільному математиці великій ролі грає компонент, при якому рівняння сприймається як рівність двох функцій. Його роль проявляється у вивченні графічного методу рішення рівнянь. Однак у відомих нам підручниках алгебри цей компонент не кладеться основою визначення уравнения.

Ще одна підхід до визначення поняття рівняння виходить при зіставленні області визначення рівняння і багатьох його коренів. Зазвичай безліч коренів рівняння — власне підмножина нього визначення. З іншого боку, під час вирішення рівнянь доводиться використовувати перетворення, які спираються на тотожності, т. е. на рівності, істинні на області визначення. Виділене тут протиставлення тотожності і рівняння може бути основою визначення рівняння: «Літерне рівність, яке обов’язково перетворюється на правильне чисельна рівність при допустимих наборах літер, називається уравнением».

Формування поняття рівняння потребує чергового терміна: «вирішити рівняння». Різні варіанти його визначення відрізняються одна від друга, сутнісно, лише наявністю чи відсутністю них терміна «множество».

Отже, під час освоєння поняття рівняння необхідно використовувати терміни «рівняння», «корінь рівняння», «що таке вирішити рівняння». При цьому поруч із компонентами поняття рівняння, які входять у текст визначення, треба вмикати й й інші його компоненти принаймні розгортання матеріалу даної линии.

У визначенні поняття рівняння використовується одне із двох термінів: «змінна» чи «невідоме». Різниця з-поміж них у тому, що змінна пробіга ряд значень, не виділяючи жодного їх спеціально, а невідоме є буквене позначення конкретного числа (тому цим терміном зручно користуватися під час упорядкування рівнянь по текстовим завданням). Питання, пов’язані з одного із цих термінів від використання у шкільному практиці, нині ще можна вважати остаточно вирішеними. Вибір тієї чи іншої їх тягне певні розбіжності у розгортанні змісту лінії рівнянь і нерівностей. Тож з терміном «змінна» пов’язана операція підстановки числа замість літери, у рівняння а (х)=b[х) можна підставляти замість x конкретні числа і знаходити у тому числі коріння. А термін «невідоме» позначає фіксований число; підставляти число цього разу місце літери, що означає невідоме, тому нелогічно. Перебування коренів рівняння а{х)=b{х) з цим погляду має здійснюватися з допомогою дій, у яких це рівність розглядають як правильне і намагається провести його до виду х=х0, де х0 — числове выражение.

При описі методики ми користуватися терміном «невідоме», який ближчий, ніж «змінна», пов’язані з алгебраїчним методом рішення текстових завдань і тим самим з прикладною спрямованістю лінії рівнянь і неравенств.

2. Равносильность і логічне следование.

Розглянемо логічні кошти, використовувані у процесі вивчення рівнянь і нерівностей. Найважливішим у тому числі є поняття равносильности.

Нагадаємо, що рівняння називаються рівносильними, якщо рівнозначні відповідні предикати, т. е. якщо виконані умови: області визначення рівнянь однакові і багатьох їх коренів рівні. Є два шляху встановлення равносильности рівнянь. Перший: використовуючи відомі безлічі коренів рівнянь, переконатися у їх збігу; наприклад, рівняння x + 1=х + 2 і x2 + 1=x2 + 2 рівнозначні, бо ні мають коренів. Другий: використовуючи особливості записи рівнянь, здійснити послідовний перехід від однієї записи в іншу у вигляді перетворень, не що порушують равносильности.

Вочевидь, що з більшості завдань другий шлях більш характерний. І це зрозуміло, адже равносильность теоретично рівнянь таки використовується у тому, аби вказати конкретні правила на вирішення рівнянь. Однак у викладанні обмежуватися їм недоцільно, оскільки вона стосується лише практичного застосування равносильности і вимагає першого для свого обгрунтування. Разом про те засвоєння поняття равносильности як равносильности предикатів вимагає значної культури мислення та може бути засвоєно на на початкових етапах вивчення шкільного курсу алгебри без спеціальних значних усилий.

Що стосується формування поняття равносильности та її застосування до рішенню рівнянь навчальні посібники з алгебрі можна розділити на дві групи. До першої ставляться ті посібники, у яких використання рівносильних перетворень грунтується на явному запровадження та вивчення поняття равносильности; до другої — ті, у яких застосування рівносильних перетворень передує виділенню поняття. Методика роботи над поняттям равносильности має за зазначених підходах значні отличия.

У зв’язку з аналізованим питанням, у вивченні матеріалу лінії рівнянь і нерівностей можна назвати три основні етапи. Перший етап охоплює початковий курс шкільної математики початок курсу алгебри. Тут відбувається ознайомлення з в різний спосіб виконання окремих, найбільш простих класів рівнянь. Використовувані у своїй перетворення отримують індуктивне обгрунтування під час розгляду конкретних прикладів. Принаймні накопичення досвіду індуктивні міркування дедалі більше замінюються такими, де равносильность фактично використовується, але термін не вживається. Тривалість цього етапу може бути різною; вона залежить від методичних установок, які у даному навчальному пособии.

З другого краю етапі відбувається виділення поняття равносильности і зіставлення його теоретичного змісту правила перетворень, які виводяться його основі. Тривалість цього етапу незначна, оскільки у ньому відбувається виділення цього поняття та її використання на кількох теоретичних примерах.

На етапі з урахуванням загального поняття равносильности відбувається розгортання і загальної теорії, і теорії окремих класів рівнянь. Такий стиль уражає курсу алгебри і почав аналізу, досліджуваного в старших класах середньої школи. Він застосовується й у деяких посібниках з алгебри для неповної середньої школы.

Крім рівносильних, до вивчення матеріалу лінії рівнянь застосовуються та інші, власне кажучи, не рівносильні перетворення. Більша частина з них же в шкільному курсі не виявляється, хоча вони змогли більш-менш істотно використовуються, зокрема, щодо рівнянь. Єдиним винятком служить поняття логічного прямування, що у ряді навчальних посібників предмет вивчення. Методика роботи з визначенням логічного прямування (ні з поданням щодо ньому разі, якщо поняття не вводиться) має багато спільних із методикою вивчення равносильности і рівносильних преобразований.

Логічне проходження починає застосовуватися значно пізніше равносильности і освоюється як деякого доповнення щодо нього. При рішенні рівнянь за інших рівних умов перевагу надають равносильному перетворенню; логічне проходження застосовується буде лише тоді, коли відповідного равносильного перетворення знайти вдається. Це, проте, значить, що використання логічного прямування — вимушена міра. Нерідко на практиці роботи вчителів логічне проходження застосовується як засіб, упрощающий процес розв’язування, якщо збереження равносильности може бути досягнуто порівняно дорогий ценой.

Серед неравносильных перетворень є перетворення, які є логічним проходженням. Наприклад, перехід до розгляду окремого випадку (приклад: перехід від рівняння аb= 0 до розгляду рівняння а=0). Такі переходи можна як практичні прийоми, дозволяють зосередити увагу до окремих кроках процесу рішення рівняння. 3. Про класифікації перетворень рівнянь та його систем.

Можна виділити три основних типи таких перетворень: 1) Перетворення одній з частин рівняння. 2) Злагоджений перетворення обох частин рівняння. 3) Перетворення логічного структуры.

Пояснимо цю классификацию.

Перетворення першого типу використовуються за необхідності спрощення висловлювання, входить у запис решаемого рівняння. Наприклад, вирішуючи рівняння co x-tg x=l, можна намагатися замінити вираження у лівої частини простішим. У разі відповідне перетворення призводить до рівнянню sin x= 1, неравносильному вихідному з допомогою зміни області визначення. Можливість отримання за такої заміні рівняння, неравносильного даному, доводиться враховувати в вивченні деяких типів рівнянь, наприклад тригонометрических чи логарифмічних. У класі дрібнораціональних рівнянь з цим явищем вони зіштовхуються набагато рідше. (Тут це пов’язано з можливістю втрати коренів за скорочення дробу.) Нарешті, у п’ятому класі цілих алгебраїчних рівнянь аналізований тип перетворень завжди призводить до рівнянням, рівносильним данным.

Перетворення одній з частин рівняння використовують раніш від усіх інших перетворень рівнянь, це відбувається в початковому курсі математики. Міцність володіння навиком перетворень цього. має велику значення для успішності вивчення інших напрямів перетворень, оскільки вони застосовуються дуже часто.

Основою перетворень такого типу є тотожні перетворення. Тому класифікувати їх за відповідність до класифікацією тотожних перетворень, наприклад розкриття скобок, приведення подібних членів тощо. буд. Перетворення другого типу перебувають у узгодженому зміні обох частин рівняння у результаті застосування до них арифметичних дій чи елементарних функцій. Загальною основою всіх перетворень цього є логічний принцип, виражає характеристичний властивість рівності висловів: якщо висловлювання чи b рівні й у натуральному вираженні F (x) виділено змінна x, яка може приймати значення бо висловлювання F (чи F {b) рівні: a = b =>F {a)=F (b).

Перетворення другого типу порівняно численні. Вони становлять ядро матеріалу, досліджуваного в лінії уравнений.

Наведемо приклади перетворень цього типа.

1)-Прибавление до обох частин рівняння однієї й тієї ж выражения.

2) Множення (розподіл) обох частин рівняння одне і те выражение.

3) Перехід від рівняння a=b до рівнянню ((a)=((b), де (- деяка функція, чи зворотний переход.

До третьому типу перетворень ставляться перетворення рівнянь, і їх систем, які змінюють логічний структуру завдань. Пояснимо використаний термін «логічна структура». У кожному завданні можна назвати елементарні предикати — окремі рівняння. Під логічного структурою завдання ми розуміємо спосіб зв’язку цих елементарних предикатів у вигляді логічних зв’язок конъюнкции чи дизъюнкции.

Залежно засоби, що використовуються при перетвореннях, в цьому типі можна назвати два підтипу: перетворення, здійснювані за допомоги арифметичних операцій та з допомогою логічних операцій. Перші може бути арифметичними перетвореннями логічного структури, другі — логічними перетвореннями логічного структуры.

Найважливішими для шкільного курсу математики арифметичними перетвореннями логічного структури є: а) Перехід від рівняння a * b=0 до сукупності рівнянь а=0, b=0.

Сюда ж таки відносяться подібні перетворення для рівнянь виду ,.

б) Перехід не від системи рівнянь одного рівнянню у вигляді почленного складання, вирахування, множення чи розподілу рівнянь, які входять у систему.

Наведемо приклади логічних перетворень логічного структури: а) Виділення із системи рівнянь однієї з компонентів. Например, при рішенні системи рівнянь способом підстановки можно в ролі перший крок розглянути перше з рівнянь (це і буде перетворення такого типу, умовно його, можна зобразити так: А (В——>А). Сенс такого перетворення на тому, що виділений рівняння можна піддавати подальшим перетворенням незалежно від тієї системи, у якому воно входить. б) Заміна змінних. У найпростішому разі заміна змінних состоит в переході від рівняння F (f (x))=0 до системи Зв’язок цієї системы и даного рівняння така: число Х0 — рішення рівняння F (f (х))=0 тоді і тільки тоді ми, коли пара (х0, f (х0)) — рішення системи. Це перетворення дозволяє одне «складне» рівняння замінити системою більш простих рівнянь. Так вирішуються биквадратные рівняння, багато типи ірраціональних і трансцендентних рівнянь (наприклад, за її зведенні до алгебраїчним уравнениям).

в) Перетворення, протилежне заміні змінних, т. е. перехід от.

системи виду до рівнянню F (x, f (х))=0.

Корни цього рівняння і вирішення цієї системи пов’язані як і, як із заміні перемінної. це перетворення назвемо подстановкой.

За підсумками підстановки у процесі навчання алгебрі вводиться стандартний метод рішення системи рівнянь з цими двома невідомими: у одному з рівнянь одна з невідомих виражається через інше, отриману у своїй систему вирішують методом підстановки. Цей метод перетворюється на подальшому знає шкільної алгебри в універсальний метод зменшення кількості невідомих в системі. р) Зазначимо поки що не перетворення, засновані на тотожний істинних формулах алгебри логіки, мають вид равносильности чи логічного прямування. Перетворення ці вельми багато, але у практиці шкільного навчання використовуються рідко. Наведемо приклад такої перетворення. За позитивного рішення рівняння 2x+3|x|=l за відповідність до визначенням модуля розглянути випадки x (0 чи x (A /В)/(А /С}.

Вивчення і перетворень рівнянь та його систем, з одного боку, припускають досить високий логічний культуру учнів, і з з іншого боку, у процесі вивчення застосування таких перетворень є широкі змогу формування логічного культури. Велике значення має тут з’ясування питань, які стосуються характеризации вироблених перетворень: є вони рівносильними чи логічним проходженням, потрібно чи розгляд кількох випадків, потрібна перевірка? Складнощі, які треба тут долати, пов’язані про те, що зовсім який завжди можливо привести характеризацию однієї й тієї ж перетворення однозначно: деяких випадках він може виявитися, наприклад, рівносильним, за іншими равносильность буде нарушена.

У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь учні повинні як опанувати застосуванням алгоритмічних розпоряджень до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні кошти на обгрунтування рішень на випадках, коли це потрібно. 4. Логічні обгрунтування щодо уравнений.

Під час вивчення матеріалу лінії рівнянь значну увагу приділяється питанням обгрунтування процесу вирішення конкретних завдань. На початкових етапах вивчення курсу алгебри й у курсі математики попередніх класів ці обгрунтування мають емпіричний, індуктивний характер. Принаймні накопичення досвіду рішення рівнянь, систем різних класів дедалі більшу роль набувають загальні властивості перетворень. Нарешті, досягнутий рівень володіння у різний спосіб рішення дає можливість окреслити найбільш часто використовувані перетворення (равносильность і логічне проходження). Навчальні посібники з алгебрі мають істотні розбіжності щодо описаних способів обгрунтування. Проте виділяються окреслені напрями, причому у спільної них послідовності. Розглянемо коротко кожне з цих направлений.

Емпіричне обгрунтування процесу рішення. У такий спосіб описуються прийоми рішення перших досліджуваних класів рівнянь. Зокрема, це притаманно рівнянь 1-го ступеня з однією невідомим. Методика вивчення цих рівнянь полягає у пред’явленні алгоритму вирішення цих рівнянь і розборі кількох типових примеров.

Зазначений алгоритм формується, природно, далеко ще не відразу. Перед цим розбирається кілька прикладів, причому мета розгляду полягає у виділення послідовності дій потрібних для описи алгоритму операцій. Пояснення вчителя може бути такими: «Слід розв’язати рівняння 5x+4=3x+10. Постараємося усіх членів, містять невідоме, зібрати лише у частини, проте члени, які містять невідоме, — на другий частини рівняння. Додамо до обох частин рівняння число (—4), дане рівняння набуде вигляду 5х=3x+10—4. Тепер додамо до обох частин рівняння (—3х), одержимо рівняння 5х—3x=10—4. Наведемо подібні члени у частині рівняння, а правої обчислимо значення висловлювання; рівняння набуде вигляду 2х=6. Розділимо обидві частини рівняння на 2, одержимо х=3». Ця розповідь супроводжується послідовно виникає на дошці записом преобразований:

5х+4=3х+10.

5х=3х+10—4.

5х—3х=10—4.

…

Аналізуючи рішення, вчитель може з’явитися до правил рішення рівнянь 1-го ступеня з однією невідомим. Зазначимо певні формальні прогалини цього викладу. Насамперед, у тому оповіданні не акцентується на тому, під дією перетворень рівняння перетворюється на деяке нове рівняння. Учні хіба що мають справу повсякчас: із тим самим рівнянням. Якби наголос було зроблено безпосередньо на перехід від однієї рівняння до іншого, це потребує уважнішого аналізу уявлень, що з равносильностью, що саме не притаманно перших етапів навчання алгебре.

Далі, питання, чи всі коріння рівняння знайдено, не ставиться. Навіть якщо і виникає у процесі обговорення процесу рішення, то нього, зазвичай, ся не дає. Основну роль грають дії з переносу членів із частині рівняння до іншої, угруповання подібних членов.

Отже, питання обгрунтування рішення рівняння стоять другою плані, але в першому — формування міцних навичок перетворень. Звідси можна дійти невтішного висновку: цьому етапі перевірка знайденого кореня служить необхідної частиною обгрунтування правильності решения.

Дедуктивное обгрунтування процесу рішення рівнянь без явного використання поняття равносильности. Розібране обгрунтування процесу рішення який завжди то, можливо ефективно використано під час вивченні інших класів рівнянь. Тим чи іншим чином до вивчення матеріалу лінії рівнянь слід залучати різні прийоми дедуктивного обгрунтування. Це пов’язане зі зростанням складності запропонованих завдань зі порівнянню з вихідним класом (рівняння 1-го ступеня з однією невідомим). У цьому постійно доводиться спиратися на властивості числової системи та основні поняття теорії рівнянь (корінь рівняння, безліч коренів рівняння, що отже «вирішити уравнение»).

За наявності курсі теоретико-множинних понять дедуктивное обгрунтування рішення рівнянь проводиться так: під час переходу від розгляду рівняння (=g до рівнянню (1==g1 звертає уваги на збіг множин коренів цих рівнянь і це факт обгрунтовується з допомогою властивостей рівності числових висловів. Наприклад, з цим погляду перехід від рівняння 3х+2у=5 до рівнянню у=—1,5х+2,5 обгрунтовується з допомогою властивості: якщо а=b—верное рівність, то а+с=b+с і ас=bс також вірні равенства.

За відсутності теоретико-множинних уявлень хоча б перехід виробляється тим самим, сутнісно, способом, але з допомогою конкретного рішення однієї з цих двох рівнянь. Розмірковування у своїй проводяться так: «Нехай (х0, y0) — рішення першого рівняння, т. е. 3×0+2y0=5. Користуючись властивостями числових рівностей, дане рівність можна записати як y0= — 1,5×0+2,5, отже, (х0, y0) — рішення другого рівняння». Також перевіряється зворотне заключение.

Зовні різницю між двома шляхами обгрунтування (поза тим, що у першому використовується термін «безліч») в тому, що у першому з них користуються властивостями рівностей зі змінними, тоді як у другому — властивостями числових рівностей. Складність навчання будь-якій з цих способів приблизно одинакова.

Перехід до дедуктивного обгрунтуванню може вироблятися різному матеріалі. Наприклад можна зробити щодо лінійного рівняння з двома перемінними, системи двох лінійних рівнянь з цими двома невідомими, лінійного рівняння з однією неизвестным.

Необхідно, проте, відзначити, що, яким би не був спосіб обгрунтування, вона є самоціллю знає шкільної математики. Мета вивчення обгрунтувань полягає у забезпеченні усвідомленості процесу рішення. Потому як досягнуто, подальше використання вже обгрунтованого прийому приводить до формування досвіду, яким учні мають подальшому, повертаючись до обґрунтування прийому лише изредка.

Запровадження для обгрунтування рішення рівнянь та його систем понять равносильности логічного прямування. Розглянуті прийоми обгрунтування спираються на зв’язок лінії рівнянь і нерівностей з числової системою. Проте послідовне застосування цих прийомів важко через громіздкість міркуванні. Тому на згадуваній певному історико-правовому етапі вивчення змісту курсу алгебри відбувається виявлення общелогической системи обгрунтувань. Вже говорилося у тому, що у неї входять поняття равносильности і логічного следования.

Звернімося до розібраному рівнянню 5х+4=3x+10. З використанням равносильности його прийняти рішення проводиться так: «Оскільки перенесення членів рівняння з частині до іншої зі зміною знака — равносильное перетворення, то, здійснивши його, дійшли рівнянню, равносильному даному: 5х—3х=10—4. Спрощуючи висловлювання на лівої і правої частинах рівняння, одержимо 2х=6, звідки х=3».

Зазначимо особливості наведеного рішення з порівнянню із викладеною раніше. Насамперед, він більш згорнуто, передбачає набагато вищий рівень володіння матеріалом курсу алгебри. Тому застосуванню такого способу розв’язання рівнянь та його систем має велика підготовчу роботу. Обсяг попереднього матеріалу залежить загальних методичних установок, які у навчальних посібниках. Наприклад, в підручниках алгебри для VI—VIII класів під редакцією А. І. Маркушевича поняття про равносильности вводиться через півтора року після початку вивчення систематичного курсу алгебри. За інших курсах воно вводиться набагато пізніше, в старших классах.

Без понять равносильности логічного прямування опис процесу рішення також стає поступово дедалі більше стиснутим. Відсутність зазначених термінів в тому, що саме опис рішення зовсім позбавлений елементів обгрунтування, що у умовах зробити дуже складно. Через це в посібниках, де равносильность і логічне проходження з’являються пізно, порівняно багато уваги приділяється формуванню не загальних прийомів рішення рівнянь, а навичок рішення рівнянь тих чи інших классов.

Використання логічного термінології в описах рішень дозволяє паралельно з перебуванням коренів отримувати ще й логічне обгрунтування." Особливо велика роль логічних понять при підсумковому узагальнюючому повторенні курсу алгебри і лише курсу математики середньої школи. Бо за цьому необхідно виявити структуру великих частин вивченого матеріалу, відсутня можливість знову пройти весь шлях перебування прийомів рішень різних класів рівнянь, нерівностей та його систем. Логічні поняття дозволяють як швидко відновити шлях перебування таких прийомів, а й одночасно обгрунтувати їх коректність. Тим самим було відбувається розвиток коштів логічного мислення учнів. Зважаючи на це, на етапах узагальнюючого повторення доцільно формулювати властивості равносильности і логічного прямування загалом і ілюструвати їх завданнями, які належать до різним класам рівнянь та його систем.

§ 4. Узагальнені прийоми рішення рівнянні з одного перемінної в шкільному курсі алгебры.

Виділення прийомів рішення уравнений.

Розглянемо закономірність формування узагальненого прийому рішення рівнянь з однією невідомим алгебраїчним способом. Вона випливає з наступного. Щоб вирішити будь-яке рівняння з одного перемінної, учень повинен знати: по-перше, правило, формули чи алгоритми рішення найпростіших рівнянь цього виду і, по-друге, правила виконання тотожних і рівносильних перетворень, з допомогою яких це рівняння можна навести до найпростішим. Отже, рішення кожного рівняння складається із двох основних частин: 1) перетворення даного рівняння до найпростішим; 2) рішення найпростіших рівнянь по відомими правилами, формулам чи алгоритмам. При цьому друга частину рішення є алгоритмічної, то перша — в значною мірою (і тих більшої, складніше рівняння) — евристичної. Саме правильний вибір необхідних тотожних і рівносильних перетворень, як і кожен пошук виконання завдання, представляє найбільшу труднощі учнів. Навчання рішенню рівнянь починається з найпростіших їх видів, і яскрава програма обумовлює поступове накопичення як його видів, і «фонду» тотожних і рівносильних перетворень, з допомогою яких можна привести довільне рівняння до найпростішим. У напрямі слід будувати та інформаційний процес формування узагальнених прийомів рішення рівнянь в шкільному курсі алгебры.

Узагальнення прийомів рішення рівнянь Узагальнення способів діяльності учнів під час вирішення рівнянь відбувається поступово. Виділимо такі етапи, процесу узагальнення прийомів рішення рівнянь: вирішення найпростіших рівнянь цього виду; аналіз дій, необхідні розв’язання; висновок алгоритму (формули, правила) рішення і запам’ятовування його; рішення нескладних рівнянь цього виду, які є найпростішими; аналіз дій, необхідні розв’язання; формулювання приватного прийому рішення; застосування отриманого приватного прийому на зразок, в подібних ситуаціях, в легко усвідомлюваних варіаціях зразка; робота з описаним етапах до таких видів рівнянь відповідно до програмі; порівняння одержуваних приватних прийомів, виділення загальних дій у тому складі - й формулювання узагальненого прийому рішень. застосування узагальненого приєднання до різних ситуаціях, перенесення й створення його основі нових приватних прийомів й інших видів рівнянь. Учитель керує всім процесом узагальнення, його спрямована створення ситуацій (умов) для реалізації цієї схеми у процесі поетапного формування прийомів: добір вправ і питань для діагностики контролю, допомогу учням в усвідомленні складу прийому рішення, його формулювання, відпрацювання. У V—VI класах щодо числових множин підручників формулюється значна частина алгоритмів дій над числами і керував найпростіших тотожних перетворень висловів. Формулювання приватних прийомів розв’язання різноманітних найпростіших рівнянь першого ступеня може природно вписатись у той процес, не обмежуючись, як це роблять шкільні підручники алгебри, поясненнями на прикладах. Проводячи роботу з етапах процесу узагальнення, до кінця вивчення курсу математики V—VI класів можна сформувати у учнів, по-перше, узагальнений прийом рішення рівняння першого ступеня з одного перемінної в наступному вигляді: 1) розглянути дане рівняння, відзначити її особливості; 2) встановити, які з таких спрощень рівняння можна зробити: перенесення доданків з частині рівняння до іншої, приведення подібних доданків який у лівій і правої частинах рівняння, розкриття скобок, розподіл обох частин на коефіцієнт при невідомому; 3) спростити рівняння; 4) знайти значення невідомого; 5) записати відповідь. По-друге, можна сформулювати і узагальнений прийом вирішення завдань з допомогою рівнянь, наприклад, оскільки зроблено у підручнику «Алгебра-7» під редакцією З. А. Теляковского (М., 1989): «…надходять наступним чином: позначають деяке невідоме число буквою і, використовуючи умова завдання, становлять рівняння; вирішують це рівняння; витлумачують отриманого результату відповідно до умовою завдання». У такому стані обидва прийому слід повторити на початку систематичного вивчення курсу алгебри в VII класі, потім уточнити його з огляду на те, що тут дають визначення основним поняттям (рівняння, кореня, равносильности, лінійного рівняння). Способи рішення квадратних рівнянь різних видів шкільні підручники з алгебрі пояснюють на прикладах. Відпрацювавши приватні прийоми рішення неповних квадратних рівнянь і з дискриминанту, доречно сформулювати узагальнений прийом рішення квадратного рівняння (за аналогією з прийомом рішення рівняння першого ступеня): 1) визначити, чи є рівняння найпростішим (неповним чи повним) квадратним рівнянням; якщо «так», то п. 4, якщо «немає» — п. 2; 2) встановити, які з таких тотожних і рівносильних перетворень треба зробити, аби навести рівняння до найпростішій: розкриття скобок, приведення до спільного знаменника, перенесення членів із частині до іншої, приведення подібних; 3) привести з допомогою вибраних перетворень рівняння до квадратному рівнянню ах2 +bх+с=0, де а>0; 4) перевірити рівність коефіцієнтів b і з нулю; якщо b=0 чи c=0, то п. 5, якщо b (с (0, то п. 6; 5) знайти x за правилами: при b=c=0×1,2=0; при с=0 і b (0.

при b=0 і c0 рішень нет;

6) знайти дискриминант рівняння D=b2—4ac;

7) знайти x за такою формулою: при D>0 [pic] при D=0.

[pic] при Dc.

Хід урока.

I. Організаційне початок уроку. -Здрастуйте, сідайте, сьогодні урок алгебри проведу ви я, звуть мене Олена Федоровна.

II. Повідомлення теми і цілі. -Сьогодні, на уроці ми познайомимося з рівняннями нового виду — «Лінійними рівняннями з цими двома переменными».

III. Актуалізація знань учнів. -Подивімося дошку. Які з цих рівнянь вам вже знайомі? 7×2+3х+5=0 5х+9=54 4х+9у=7 9(х2+6х+2)-8=30×2/3+y2/2=1 4(х+2)+1=х+18.

— А як називаються ці рівняння? -Правильно це лінійні рівняння з одного перемінної. -Хто це скаже визначення лінійного рівняння з одного перемінної? -Рівняння виду ах=в, у якому xзмінна, а й у — деякі числа, називається лінійним рівнянням з одного перемінної. -Відкрийте підручники на стор. 27, прочитайте визначення. Повтори… -Наведіть приклади лінійних рівнянь з одного перемінної. -Подивімося дошку, перед вами лінійні рівняння. Згадаймо як воно вирішується. -Відкрийте зошити, запишіть число, класна робота, тема: «Лінійні рівняння з цими двома перемінними.» -Усі вирішують рівняння в зошитах, а Оля піде до й вирішить з докладним поясненням перше уравнение:

2х+6=10 (Перенесемо складова без x в праву частина рівняння, змінивши у своїй його знак на протилежний: 2х=10−6, обчислимо результат 2х=4. Розділимо обидві частини рівняння на 2, одержимо х=2). -Молодець. Сідай. -Друге рівняння піде вирішувати Саша.

2(х+3)+4=х-1. (Розкриємо дужки, при цьому помножимо 2 кожне складова суми (х+3), одержимо 2х+6+4=х-1. Перенесемо складові, містять x у ліві частина рівняння, а чи не містять x — в праву частина, змінивши у своїй знаки на противоположные.

2х-х= -6−4-1. Наведемо подібні складові: x= - 11. — Хлопці, такі рівняння ви добре вмієте вирішувати. — Та які властивості застосовували під час вирішення цих рівнянь? (Якщо рівнянні складова перенести з частині до іншої, змінивши його знак, вийде рівняння, равносильное даному.) — А яку ще властивість ви застосовували? (Якщо чи помножити обидві частини рівняння одне і також не на нуля число, вийде рівняння равносильное данному.).

IV. Вивчення нового матеріалу. -Хлопці, а сьогодні ми познайомимося з рівняннями нового виду. -Нехай відомо, що сама їх двох чисел п’ять більше від іншого. Якщо перша число позначити буквою x, а друге буквою у, то співвідношення з-поміж них можна записати як рівності х-у=5, що містить 2 перемінні. Такі рівняння називаються рівняннями з цими двома перемінними чи рівняннями з двома невідомими. -Рівняннями з цими двома перемінними також є рівняння: 5х+2у=10, -7х+у=5, х2+у2=20, ху=12 (запис на дошці). -З положень цих рівнянь перші двоє мають вигляд ах+ву=с, де а, з — числа. Такі рівняння називаються лінійними рівняннями з цими двома перемінними. -Отже: Лінійним рівнянням з цими двома перемінними називається рівняння виду ах+ву=с де x і в — перемінні, а, з, — деякі числа. -Відкрийте підручники сторінка 188. Прочитайте визначення подумки. -Тепер прочитайте вголос. -Хто це хто повторить його? -рівняння х-у=5, при х=8, у=3. Звертається в правильне рівність 8−3=5. Кажуть, що пара значень змінних х=8, у=3 розв’язує цього рівняння. Записую на дошці: х-у=5, х=8, у=3.

8−3=5 — правильне равенство.

Определение: Рішенням рівняння з цими двома перемінними називається пара значень змінних, обертаюча це рівняння в правильне рівність. -Прочитайте визначення сторінка 188 подумки. -Прочитайте його вголос. -Хто повторить? Повтори… -Та які ще пари чисел будуть рішеннями рівняння х-у=5? (х=105, у=100; х=4, у= -1,…) -Правильно рішеннями цього рівняння будуть числа, різницю яких одно 5. -Іноді пари значень змінних записують коротше: (105; 100), (4;- 1). (Запис на дошці). -Під час такої записи треба зазначити, значення який із змінних слід за місці, а який — другою. -у запису рішень рівняння зі змінними x і в першому місці записують значення x, але в другому — значення у. -Рівняння з цими двома перемінними мають одні й самі рішення, називають рівносильними. рівняння з цими двома перемінними, які мають рішень, також вважають рівносильними. -Хлопці, під час вирішення лінійних рівнянь з одного перемінної ми пригадаємо їх властивості. -Лінійні рівняння з цими двома перемінними мають так само властивостями. -Відкрийте підручники на стор. 189. Прочитайте ці якості подумки. -Нині ж Таня, прочитай вголос. Повтори властивості. -Розглянемо рівняння 5х+2у=12. -Скористалися властивостями рівнянь, висловимо від цього рівняння одну зміну через іншу, наприклад у, через x. І тому перенесемо складова 5х в праву частина рівняння змінивши його знак.

2у= -5х+12. -Розділимо обидві частини цієї рівняння на 2: у= -2,5х+6 Рівняння 5х+2у=12 і в= -2,5х+6 — рівнозначні. -Користуючись формулою у=2,5х+6, можна знайти хоч греблю гати рішень рівняння 5х+2у=12. І тому досить взяти довільне x і обчислити відповідне йому значення у. Наприклад: якщо х=2, те в= -2,5.2+6=1. якщо х=0,4 те в= -2,5*0,4+4=5.

Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) — рішення рівняння 5х+2у=12.

Это рівняння має нескінченно багато решений.

V .Первинне закріплення. -Що й казати називається лінійним рівнянням з цими двома перемінними? -Виконаємо № 1092 сторінка 190 усно. -Прочитай завдання. -Чи є перше рівняння 3х-у=17 лінійним? (Так). -Чому? (Т.к. має вигляд ах+ву=с) -А друге вправу? (Ні). -Чому? (Т.к. рівняння х2- 2у=5 не наводиться до виду ах+ву=с, x має показник ступеня 2).

(Далі аналогічно). -Нині ж запишіть № 1094. -Читай завдання. -Як відповісти на питання? (Поставити значення x і в в рівняння. Якщо вийде правильне рівність, то x і в розв’язує рівняння) -Усі вирішуйте в зошитах, а… у дошки. x + у=6.

[pic].

6=6 — правильне равенство.

Відповідь: так. -Та які ще числа може бути рішеннями цього рівняння х+у=6. (Дають в сумі 6: 4 і 2, 3 і трьох тощо.). -Запишіть будь-які 2 вирішення цього рівняння. -Майте на увазі, що значення x пишеться першому місці а й у — другою месте.

Самостоятельная робота. -Нині ж виконаємо № 1096. запишіть. -Прочитай завдання. -Що зробити, аби цей питання? (Підставити значення x і в в рівняння і подивитися, вийде правильне рівність). а) .Організація самостійної роботи. -Усі вирішують в зошитах, а до дошки підуть Лєна і Оля. -Сашко перевірить перші 2 пари, а Катя другі 2 пари. -До того ж перевіримо. б) Проведення самостійної роботи. (3; 1) (0; 10) 3*3+1>10 3*0+10=10. 10=10 — правильне рівність 10=10 правильне рівність Відповідь: є Відповідь: є (2; 4) (3; 2,5) 3*2+4=10 3*3+2.5=10 10=10 — правильне рівність 11,5=10 — неправильне рівність Відповідь: є Відповідь: не является.

в) Перевірка самостійної роботи. -Давайте перевіримо правильно чи виконала Оля. -Хто має інший відповідь? -А Олена? -Хто має інший відповідь? -Молодці. Сідайте. -Нині ж виконаємо № 1099. -Прочитай завдання. -Що зробити, щоб виявити у через x? (Уявити, що x відоме число і знайти в) -Піди до дошки якби з, проте вирішують в тетрадях.

4х-3у=12. (Одночлен 3у є невідомим вычитаемым. Щоб знайти невідоме від'ємник, треба з зменшуваного відняти різницю 3у=4х-12. Розділимо обидві частини рівняння на 3, получим:

[pic].

— Молодець. Сідай. Нині ж виконаємо пункт б, Сергій йди до дошки. 4х-3у=12. (Одночлен 4х є невідомим уменьшаемым, щоб знайти, треба, до різниці додати від'ємник: 4х=12+3у. Розділимо обидві частини рівняння на виборах 4 й одержимо: [pic] -Правильно. Молодець. Сідай .

VI. Підбиття підсумків. -Який вигляд має лінійне рівняння з цими двома перемінними? (ах+ву=с). -Як мовиться рішенням лінійного рівняння з цими двома перемінними? -Наведіть приклади таких рівнянь. -Якими властивостями мають рівняння з цими двома перемінними? 2 До тренувальним ставляться завдання на розпізнавання різних об'єктів і їх властивостей. Тренувальні самостійні роботи складаються з однотипних завдань, містять суттєві ознаки й властивості даного визначення, правила. Звісно, цю роботу мало сприяє розумовому розвитку дітей, але вона необхідна, оскільки дозволяє виробити основні вміння і навички та цим створити базу задля її подальшого вивчення математики. За виконання тренувальних самостійних робіт учням ще необхідна допомогу вчителя. Можна дозволити користуватися й підручником, і записами розмов у зошитах, таблицями тощо. п. Усе це створює сприятливою для слабких учнів. За цих умов вони легко входять у роботи й виконують ее.

Хід урока:

I. Організаційне початок уроку: II. Повідомлення теми і цілі: — Сьогодні на уроці продовжимо вирішувати системи рівнянь, але будемо вчитися самі складати по завданню систему. III. Актуалізація знань учнів: — Запишіть число, тему.

1) висловити одну невідому через другую:

| 1. 3х-у=3 | 2. у+2х=2 | |-у=3−3х |2х=2-у | |у=3х-3 |[pic] | | |[pic] | | | | |вирішити систему методом підстановки: | |- Повторимо алгоритм. Вирішимо: | |[pic] |[pic] | |[pic] | |.

Вирішимо квадратне уравнение:

[pic].

[pic] [pic].

[pic] чи [pic].

Відповідь: (4; -14); (-1; 1).

IV. Закрепление.

№ 498.

— Прочитайте задачу.

— Як позначимо числа? (x, у).

— Якщо сума? (х+у=18).

— Твір чисел? (х*у=65).

— Знайти що? (ці числа).

— Яку систему получим?

— Яким методом будемо решать?

[pic] (записати пояснення: Нехай перше число — x тощо. д.).

— До дошці пойдет…

[pic] [pic].

Вирішимо квадратне уравнение:

[pic].

Відповідь: числа 5 і 13.

№ 504 -Прочитайте умова. -Який форми ділянку? (Прямокутної) -Нехай довжина — x, ширина — у. -Площа прямокутника? (S=ав) -Потрібно перекласти на одну одиницю виміру: км. в м., га. в м2; -Якщо ділянку прямокутної форми, то яке рівняння составим?

(2(х+у)=1000) -Площа ділянки 60 000 м²? (ху=60 000) -Запишемо умова до задаче:

Нехай довжина ділянки — x, ширина — у. Оскільки ділянку треба обгородити парканом довжиною 1000 м. Оскільки площа ділянки 60 000 м², то складемо рівняння: ху=60 000. Одержимо систему:

[pic].

[pic] ([pic].

[pic].

Ответ: довжина — 300 м., ширина — 200 м. № 1 -Послухайте условие:

«Одне з двох позитивних чисел на 3 більше від іншого. Знайдіть ці числа, якщо їхній колективний витвір одно 70?» -Нехай числа x і в. -Якщо відомо, що сама понад 3. Як запишемо? (х=у+3) -Твір чисел? (ху=70) -Складемо систему: [pic] [pic].

[pic].

Вирішимо квадратне рівняння: [pic] оскільки числа позитивні, то 10 і аналогічних сім. Відповідь: 10 і 7.

2) самостійна робота. (15 хв.) -Ви партах лежать збірники завдань і в кожного номер індивідуального завдання. -Запишіть: «Самостійна робота»., стор… №…

|1. |З. 15, в-1, № 3 |2. |З. 20, в-1, № 5 | | |З. 11, в-1, № 4 | |З. 19, в-1, № 4 | |3. |З. 28, в-1, № 6 |4 |З. 35, в-1, № 3 | | |З. 11, в-1, № 4 | |З. 19, в-1, № 4 | |5. |З. 48, в-1, № 6 |6 |З 21-го, в-1, № 6 | | |З. 19, в-1, № 4 | |З. 19, в-2, № 4 | |7. |З. 15, в-2, № 3 |8. |З. 20, в-2, № 5 | | |З. 11, в-2, № 4 | |З. 19, в-2, № 4 | |9. |З. 28, в-2, № 6 |10.|С. 35, в-2, № 3 | | |З. 11, в-2, № 4 | |З. 19, в-2, № 4 | |11. |З. 48, в-2, № 6 |12.|С. 21, в-2, № 6 | | |З. 19, в-2, № 4 | |З. 11, в-1, № 4 | |13. |З. 29, в-1, № 4 |14.|С. 29, в-2, № 4 | | |З. 11, в-1, № 4 | |З. 11, в-1, № 4 | |15. |З. 30, в-2, № 6 |16.|С. 31, в-2, № 6 | | |З. 11, в-2, № 4 | |З. 19, в-1, № 4 | |17. |З. 30, в-1, № 6 |18.|С. 31, в-1, № 6 | | |З. 19, в-2, № 4 | |З. 11, в-1, № 4 |.

— Оцениваться будуть кожне завдання отдельно.

Ответы |1. |1) (-5; 2); (2; -5) |10.|1) (5; -3); (-3; 5) | |2. |1) (-2; 1); (1; -2) |11.|1) (1; -3); (3; -1) | |3. |1) (5; -3); (-3; 5) |12.|1) (-7; 11); (3; 1) | |4. |1) (8; 4); (4; 8) |13.|1) (7; 6); (-3; -4) | |5. |1) (2; -4); (4; -2) |14.|1) (-7; -9); (3; 1) | |6. |1) (-7; 9); (4; -2) |15.|1) (-3; 7); (2; 2) | |7. |1) (-3; 4); (-4; 3) |16.|1) (2; 4); (4; 2) | |8. |1) (2; 3); (3; 2) |17.|1) (-2; -3); (1; 0) | |9. |1) (-2; 7); (7; -2) |18.|1) (6; -4); (-4; 6) |.

V. Підбиття підсумків: -скільки існує способів вирішення систем рівнянь? -здайте зошити. 3 До що закріплює можна віднести самостійні роботи, що сприяють розвитку логічного мислення та вимагають комбінованого застосування різних правив і теорем. Вони показують, наскільки міцно, осмислено засвоєно навчальний матеріал. За результатами перевірки завдань цього виду вчитель визначає, чи потрібно ще займатися даної темой.

Тема: Графічний спосіб розв’язання уравнений.

Цель: домогтися усвідомленого засвоєння і запам’ятовування графічного способу розв’язання рівнянь, сформувати практичні вміння і навыки;

Виховувати акуратність ;

Розвивати наочні представления;

Оборудование: табличка «абсциса», таблиця з графиками.

Хід уроку. I. Організаційне початок. а) Привітання б) Перевірка готовності робочих мест.

II. Повідомлення теми і цели.

— Сьогодні ми із Вами навчимося вирішувати рівняння з допомогою графиков.

III. Актуалізація знань учащихся.

1. Усний счет.

а) Що графіком даної функції: y=2х (лінійна функція, графікпряма) y=х2 (графік — парабола, галузі спрямовані вгору) y=3/x (гіпербола, галузі перебувають у I і III чверті) y=х3(кубическая парабола, лежить у I і III четверти) б) По кресленню визначте загальний вигляд рівняння, який задає цю функцию.

(I — кубічна парабола у=х3; II — парабола — у=х3; III — пряма, у=кх+в; IV гіпербола у= k/x в) Заповнити таблицю: у= 2×2−5.

|x |-6 |-2 |0 |1 |2 | |y |67 |3 |-5 |-3 |3 |.

IV Вивчення нового матеріалу 1. Пояснення матеріалу. — Відкрийте зошити. Запишіть число, тему уроку. — Розглянемо рівняння x2=6/x. Якщо обидві частини цієї рівняння помножити на x, одержимо рівняння х3=6, спосіб розв’язання якого ми неизвестен.

Проте якщо з допомогою графіків можна знайти наближені значення коренів рівняння x2=6/x.

Побудуємо за одну координатної площині графіки функції у=х2 і в =6/x.

1. у=х2 — Д (у)= R. Графіком є парабола, галузі якої спрямовані вгору, т.к. к>0. Складемо таблицу:

|x |-2 |-1 |0 |1 |2 | |y |4 |1 |0 |1 |4 |.

2. y=6/x — Д (у) — будь-яке, крім 0. Графіком є гіпербола, галузі якої у І і III четвертях.

Складемо таблицю значень :

|x |-6 |-3 |-2 |-1 |1 |2 |3 |6 | |y |-1 |-2 |-3 |-6 |6 |3 |2 |1 |.

Ці графіки перетинаються лише у точці. Абсциса точки перетину є, ті значення перемінної x, у якому вираз х2 і 6/x приймають рівні значення. Отже, абсциса точки перетину графіків функцій y=x2 і y=6/x є коренем рівняння (x2=6/x). З малюнка видно, що близьке значення кореня одно 1,8. Застосований спосіб розв’язання рівняння називають графічним. Абсциса точки перетину — корінь рівняння. -Запишіть цю пропозицію в зошит. Подивіться як пишеться слово абсцисса.

V.Закрепление. — Знайдіть № 622 стор. 133. Прочитайте завдання. До дошці піде …, інші ж виконують у зошитах. a) х2=х+2 y=х2 у=х+2.

|x |-1 |-2 |0 |1 |2 | |x |0 |1 | |y |1 |4 |0 |1 |4 | |y |2 |3 |.

2 і - 1 — є рішенням уравнения.

Відповідь: х=2, x= -1, б) Подивімося таке рівняння x2+1,5х-2,5=0.

— Які перетворення ми мають виконати? y=х2 у= -1,5х+2,5.

— До дошці підуть…, … Одна становить таблицю для у=х2, інша у=-1,5х+2,5.

— Потім графіки побудуйте лише у координатної площини і знайдете точки пересечения.

|x |-1 |-2 |0 |1 |2 | |x |0 |1 | |y |1 |4 |0 |1 |4 | |y |2,5 |1 |.

Тепер будуйте графики.

1 і - 2,5 — розв’язує уравнения.

Відповідь: х=1, x = - 2,5.

Самостійна робота. -Нині ж знайдіть № 624. Нині мені подивлюся, як ви вже засвоїли матеріал. Два людини вирішують на переносних дошках. Потім, перевіримо. Перший варіант вирішує 8/x=-x+6, другий 8/x=x2.

Варіант I.

y=8/x y=-x+6.

|x |-1|-2|-4|1 |2 |4 |8 | | |x |0 |1 | |y |-8|-4|-2|8 |4 |2 |1 | | |y |6 |5 |.

2 і 4 — розв’язує рівняння відповідь: х=2 х=4.

|Вариант II | | | |y=8/x y=x2 | | | |x |-1|-2|-4|1 |2 |4 |8 | | |x |-1|-2|0 |1 |2 | |y |-8|-4|-2|8 |4 |2 |1 | | |y |1 |4 |0 |1 |4 |.

2 — розв’язує рівняння відповідь: х=2.

VI. Підбиття підсумків. — Що ж є коренем рівняння? (абсциса точки перетину) — Які перетворення можна зробити, якщо рівняння має вигляд: х2+5х-7=0.

VII. Завдання будинок. -Відкрийте щоденники. Запишіть завдання додому? № 627 (чи № 625(б) -Подивіться. Кому що незрозуміло? 4 Дуже важливі звані повторительные (оглядові чи тематичні) роботи. Перед вивченням нової теми вчитель має знати, підготовлені чи школярі, .чи є в них необхідні знання, які прогалини зможуть утруднити вивчення нового материала.

План урока.

I. Організаційний момент (2 хв.) II. Повідомлення теми і цілі (3 хв.) III. Закріплення вивченого (15 хв.) IV. Вивчення нового матеріалу (20 мин.).

V. Підбиття підсумків (3 хв.) VI. Завдання будинок (2 мин.).

Хід урока.

I. Організаційний момент II. Повідомлення теми і цели.

— Мы продовжуємо роботу з темі «Рішення завдань» Зараз напишемо самостійну роботу, вирішимо завдання на рух. Затим самостійної роботи я поясню, як виконувати завдання на.

III. Закріплення вивченого материала.

Самостійна робота. У — I — на «3» — з. 134 — 630 У — II на «4».

Моторна човен пройшов перебігу річки 6 км, та був озером 10 км. витративши все шлях 1 год. Знайдіть як швидко човен їхала озером, якщо швидкість течії 3 км/ч.

В — III на «5».

Моторна човен пройшла 54 км. за течією і повернулася назад витративши все шлях 7 год. 30 хв. Знайдіть швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/ч.

В-I.

(P.S Припускаємо x км./ч. t/x 18 км. Або (х+½)км./ч. 18/(х+(½)), на Ѕ год. быстрее Пусть x км./ч. — швидкість, з якою передбачає йти турист, тоді (х+½) км./ч. швидкість, із якою йшли. Знаючи, коли туристи мали пройти 18 км., що вони пройшли намічений шлях на Ѕ год. швидше, складемо і вирішимо уравнение:

[pic] 0.3=2х (х+½) 18*2(х+½)-18*2х=1х (х+½).

36(х+½)-36х=х (х+½).

36+18−36=х2+½х х2+½х-18=0.

Д=в2−4ас=¼−4*(-18)=¼+72=72*¼=289/4.

[pic].

[pic] - сторонній корень.

Проверка: якщо х=4, то 2*4(4+½)=8*4(½)=32/2=16 Відповідь: туристи припускали долати з швидкістю 4 км/ч.

В-II.

(t P. S за течією (х+3) км./ч. [pic] 6 км.

1ч. озеро x км./ч. [pic] 10 км.

река 3 км/ч.

Нехай швидкість човни власна x км/год., тоді швидкість човни за течією (х+3) км/год. Знаючи, що у перебігу річки човен пройшла 6 км., а, по озера 10 км. витративши все шлях 1час, складемо і вирішимо рівняння: [pic] 0.3=х (х+3).

6х+10(х+3)=х (х+3).

6х+10х+30=х2+3х х2+3х-16х-30=0.

х2−13х-30=0.

Д=в2−4ас=169−4*(-30)=169+120=289>0,2 к.

[pic].

[pic] - сторонній корень.

Проверка: якщо х=15, то 15(15+3)=15*18=270. Відповідь: човен їхала озером зі швидкістю 15 км/ч.

В-III.

(t P. S моторна човен x км/ч.

по перебігу (х+3) км./ч. [pic] 54 км.

7ч. 30 хв. проти течії (х-3) км./ч. [pic] 54 км.

течение річки 3 км/ч.

Пусть x км./ч. швидкість човни, тоді (х+3) км/год. швидкість човни за течією і (х-3) км/год. швидкість човни проти течії річки. Знаючи що човен пройшла 54 км. за течією і повернулася назад, витративши все шлях 7ч 30 хв., складемо вирішимо уравнение:

7ч. 30 мин.=7,5 часа.

[pic] 0,3=(х+3)(х-3).

54(х-3)+54(х+3)=(7,5х+22,5)(х-3).

54х-162+54х+162=7,5−22,5х+22,5х-67,5.

7,5×2−108х-67,5=0.

1,5×2−21,6х-13,5.

Д=в2−4ас=(-21,6)2−4*1,5*(-13,5)=466,56+81=547,56>0.

[pic] [pic] Перевірка: якщо х=15, то (15+3)(15−3)=18*12=216 Відповідь: швидкість моторної човна у стоячій воді 15 км/ч.

IV Вивчення нового материала.

— Как ви ж розумієте вираз — завдання працювати? -Запам'ятайте: під час вирішення завдань працювати ми будемо використовувати поняття: робота, час і продуктивність: -Як розумієте, що таке продуктивність? (кількість роботи виконане за одиницю часу) -Роботу ми завжди будемо позначати за одиницю — 1. -Як ми знаходити продуктивність? -Як знайдемо час? -Давайте розберемо задачу с. 132, 614.

продуктивність час робота I [pic] (х+5)ч. II [pic] x ч.

Пусть x год. час другого штукатура, тоді час першого штукатура (х+5)ч. Знаючи що при роботі всі разом вони виконують роботу за минулий 6 год., складемо і вирішимо рівняння: [pic] 0.3=6х (х+5).

[pic] 6х+6(х+5)=х (х+5).

6х+6х+30=х+5х х2+5х-12х-30=0.

х2−7х-30=0 по т. Виета х1+х2=7×1=10.

х1×2=-30×2=-3 — сторонній корінь Перевірка: якщо х=10, 6*10(10+3)=60*13=780 10+5=15(ч) Відповідь: час першого штукатура 15 годин, а другого 10 часов.

— У хто має питання? -Кому що ні понятно?

V Підбиття итогов.

— Итак ми розібрали як вирішуються завдання працювати. -Усі зрозуміло? -Оцінки за самостійну роботу ви дізнаєтеся ось на чому уроке.

VI Завдання будинок № 616, № 620. 5. Самостійними роботами розвиває характеру може бути домашні завдання щодо складання доповідей визначені теми, підготовка до олімпіадах, научно-творческим конференцій, проведення школі «днів математики», твір математичних ігор, казок, вистав та ін. На уроках — це самостійні роботи, потребують вміння вирішувати дослідницькі задачи.

Тема: Узагальнюючий урок на тему «Квадратні рівняння «.

Цель: Закріпити теоретичні і практичні знання й уміння учнів під час вирішення квадратних уравнений.

Розвивати мова, мислення, самостоятельность.

Виховувати інтерес до предмета, старанність і активность.

Оборудование: таблиці, рисунок.

Хід уроку. 1. Організаційне початок уроку. а) Привітання. б) Перевірка готовності робочих мест.

2. Повідомлення теми і цілі. — Сьогодні ми проведемо урок змагання. І з’ясуємо ваші знання з теме.

" Квадратні рівняння «.

3. Закріплення вивченого материала.

1) Бліц — турнір. — Нині з вами розділимося на дві команди. 1 ряд половина другого ряда.

— 1 команда. 3 ряд інша половина другого низки — 2 команда. — Нині ж виберемо капітанів. — І, у першому конкурсі хочу з’ясувати, наскільки добре вами засвоєно теоретичний матеріал теми «Квадратні рівняння ». — Я попрошу вийти до дошки за одним представнику кожної команди. — Кожній команді пропонується серія питань. — Я ставити запитання, а ви отже нею відповідати. — Але й інші як і мають брати участь у роботі. — На партах лежать червоні і сині таблички. — Якщо учень дає пошук правильної відповіді, то порушуєте синій прапорець, і якщо хибний — червоний прапорець. — І цим я зможу побачити, чого ж кожен із вас знає теоретичний матеріал. — Перемагає та команда, яка набере більше очок, даючи правильні ответы.

Вопросы 1 команді. 1. Дай визначення квадратним рівнянням. 2. Якщо квадратному рівнянні ох + вх + з = 0 хоча один із коефіцієнтів в чи з рівні 0, те, як називається таке рівняння. 3. Що називають дискриминантом квадратного рівняння. 4. Приведи конкретний приклад квадратного рівняння, другий коефіцієнт дорівнює 17. 5. Сформулюй і доведи теорему, зворотний теоремі Виета. — Добре учень першої команди за бліц — турнір отримає 3 очки, оскільки були помилки при доказі теореми, зворотної теореми Виета. — Однак ж були неточності у визначенні квадратного рівняння. — Стосовно роботи класу, потрібно бути активнее.

Вопросы 2 команді. 1. Скільки коренів може мати квадратне рівняння. 2. Сформулюй і доведи теорему Виета. Чому дорівнює сума коренів квадратного рівняння ох + вх + з = 0 3. Приведи приклад квадратного рівняння. 4. Напиши формулу коренів квадратного рівняння 5. Чим є числа, а і з в квадратному рівнянні? — Добре учень 2 команди отримає 4 очки, бо була допущена шибка в доказі теореми Виета. — Отже, провівши цей конкурс ми із Вами вкотре повторили теоретичний матеріал теми «Квадратні рівняння «і ми побачили все брак знань цього материала.

2) Конкурс «Хто швидше сяде в ракету? «-Сьогодні ми проведемо наступний конкурс «Хто швидше сяде в ракету «.

Посмотрите на дошку у ньому бачимо ракету і щаблі, які ведуть ракеті. -готується до дошці вийдуть два учня — представники кожної команды.

— Командам пропонується серія завдань. Вирішивши найперше завдання ви записуєте у відповідь першу щабель ракети. Сідайте і вас змінює наступний учасник вашої команди. -Отже ви доберетеся до ракети лише тому випадку, коли всі відповіді будуть вірними. -Тому ви можете звертатися по допомогу команди. Вони самостійно вирішують завдання, звіряють свій відповідь зі своєю і підписують відповідну табличку. -Приступимо до виконання конкурса.

|1 До |2 До | |1. Знайти значення висловлювання. | |- x + 2х — 2 при х=-1 |2х + 5х -2 при х=1 | |2. Виріши рівняння. | |x + x — 2 = 0 |x — 3х + 2 = 0 | |3. При якому значенні R рівняння має 1 корінь? | |16х + Rх + 9 = 0 |25х + Rх + 2 = 0 | |4. Рівняння. | |x + вх + 24 = 0 |x — 7х + з = 0 | |Якщо корінь x 1= 8 |якщо корінь х1 = 5 | |знайти х2 і коефіцієнт в |знайти х2 і коефіцієнт з | | | |.

— Добре, у тому конкурсі перемогла 2 команда, оскільки її показали блискуче вміння виконання практичних вправ. 3) Конкурс «Склади рівняння «- Нині ж наступний конкурс. — На дошці записані по 1 рівнянню кожної команди, які мають коефіцієнти пропущені, на місце їх порожні клеточки.

1 До 2 К.

(х2+(х+(=0 (z2+(z+(=0 — Зараз, із одного з учасників команди, виходять до дошки підбирають про себе одне із коренів квадратного рівняння і коефіцієнти, щоб після виконання дії виконувалося рівність. — Потім наступний учень вирішує їх. — Інші ж учні вирішують рівняння в зошитах і правильність відповідей підтверджують сигнальними картками. — Приступаємо до виконання завдання. — І так цьому конкурсі кожна команда отримає по 1 очку, бо всі не впоралися із завданням. — Молодцы!

4.Самостоятельная робота. — Необхідно вирішити рівняння і перевірку по теоремі, зворотної теоремі Виета. — Цю самостійну роботу проводитимемо за варіантами, за Олею — 1 в, за Сашком — 2 в (аналогічно інші). — За цю самостійну роботу я виставляю оцінки на журнал. — Отже, 1 У 2 В.

3x2−4x-4=0 2×2+9x+8=0.

IV Підбиття підсумків. — У змаганні, проведеному на уроці перемогла 2 команда. Бо вони були активні, добре працювали. — А першої команді б порадила вкотре повторити весь теоретичний матеріал теми і бути більш активними 6. Велике зацікавлення цікавить учнів творчі самостійні роботи, які передбачають високий рівень самостійності. Тут учні відкривають собі нові боку вже наявних проблем них знань, навчаються застосовувати ці знання на нових несподіваних ситуациях.

Хід урока.

I. Організаційне початок уроку а) Привітання б) Перевірка готовності робочих мест.

II. Повідомлення теми і ціліМи маємо сьогодні особливий урокМи проведемо із Вами «Зоряний годину» на тему «Квадратні рівняння», тим самим укотре перевіримо знання і умения.

III. Закріплення материала.

1) (Ознайомлення з правилами игры).

— Отже уявімо, що ми із Вами в студії. -Ви гравці, а я провідна. -Вам в кожного на партах лежать таблички з цифрами від 1 до 5. |1| |2| |3| |4| |5| | | | | | | | | | | | | | | | | |.

— Итак, послухайте умови гри. -Я ставити всім питання, відповідно піднімати табличку про те номером, що відповідає правильному відповіді. -Однак у кожного хто лежать на партах листочкиЗа кожну правильну відповідь, коли вам скажу ви у ньому креслити зірочку. -На кінці гри ми їх підрахуємо і оцінимо роботу кожного з вас.

2) Проведення игры.

— Итак, починаємо груСьогодні ми працюватимемо із Вами по 1 табличке Таблица № 1 |1 |2 |3 |4 |5 | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |.

— Итак, згори ви бачите номери відповідейА під ними відповідні відповідіЯ запитаю, ви 5 секунд думаєте і порушуєте таблички з правильними відповідями. 1) Який вигляд має квадратне рівняння. 2) Назвіть формули коренів квадратного рівняння. 3) Назвіть неповне квадратне рівняння. 4) Назвіть, чому дорівнює дискриминант квадратного уравнения.

— Хорошо з цим завданням ви впоралися добре, майже всі учні піднімали таблички з правильними відповідями. -Хто це помилявся, він знову побачив правильні формули і сподіваюся як і доучит матеріал. -Нині ж ми всі переходимо другого туру. -У в другому турі ми з’ясуємо знання правил на цю тему. Працювати будемо з іншою табличкой.

— Я говорити вам правило, а ви піднімати відповідну картку. 1) Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнта, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

— Правильно, тепер додатковий вопрос.

Числа, а і із чим є у квадратному уравнении.

— Правильно, таке запитання, слухайте і піднімайте таблички.

2) Якщо квадратному рівнянні [pic] хоча один із коефіцієнтів в чи з нульовий, то таке рівняння называется…

— Правильно, приведіть приклад квадратного уравнения.

3) Рівняння виду [pic], де x змінна, а, з — деякі числа, причому, а (0 называется…

— Правильно, приведіть приклад квадратного рівняння Наступний вопрос.

4) Якщо числа метрів і n такі, що й сума дорівнює р, а твір q, то ці числа є корінням рівняння виду [pic].

— Правильно, скажіть, скільки коренів має неповне квадратне рівняння кожного вида.

— Верно.

5) Як називаються повні квадратні рівняння в яких усі три коефіцієнта відмінні від нуля і де перший коефіцієнт дорівнює 1.

— Добре б і з цим завданням ви справились.

III тур.

Таблиця № 3 |1 |2 |3 |4 |5 | |х1=-2 |х1=4 |х1=16 |х1=-16 |х1=5 | |х2=4 |х2=-11 |х2=-1 |х2=-1 |х2=4 |.

Самостійна робота. -Вам у тому турі потрібно виконати такі завдання. -На дошці виписані квадратні рівняння. 1) х2 — 15х — 16 = 0 2) х2 — 9х + 20 = 0 3) 2×2 + 2х — 112 = 0 4) х2 — 6х + 8 = 0.

— Вы самостійно вирішуєте це рівняння у зошиті, і потім ми перевіримо. -Отже, я називатиму вам рівняння, а ви піднімати картку відповідну правильному відповіді. -Добре давайте перевіримо. -Підніміть картку відповідну правильному відповіді для рівняння 2×2+2х- 112=0 -Нині ж складіть три не повних квадратних рівняння і вирішите їхПогляньмо які рівняння ви составили.

IV. Підбиття підсумківОтже ось й більше наближена до кінця наша гра. -У результаті гри ми повторили теоретичний практичним матеріал, і тепер ми можемо підвести урок гри. -Підрахуйте свої зірочкиХто набрав від 20 до 25 зірок отримують 5 -Хто набрав від 20 до 15 зірок отримують 4 -Хто набрав 15 зірок і від отримують 3.

V Організація на перемену.

7. Контрольні праці є необхідною умовою досягнення планованих результатів навчання. Фактично розробка текстів контрольних робіт мусить бути одній з основних форм фіксування цілей навчання, зокрема і мінімальних. Тому, по-перше, контрольні завдання мають бути рівноцінними по змісту й обсягом роботи; по-друге, повинно бути спрямовані на відпрацювання основних навичок; по-третє, — забезпечувати достовірну перевірку рівня навчання; по-четверте, вони мають стимулювати учнів, дозволяти їм продемонструвати прогрес у своїй загальної подготовке.

План урока.

V. Організаційний момент (2 хв.) VI. Повідомлення теми і цілі (3 хв.) VII. Проведення контрольної роботи (37 хв.) VIII. Підбиття підсумків (3 мин.).

Хід урока.

I. Організаційне початок уроку II. Повідомлення теми і цели.

— Мы зараз писатимемо контрольну роботу з темі «Дробные раціональні рівняння». Ми вже довго займалися на цю тему вмієте добре розв’язувати проблему і гадаю, що це впораються з цим контрольної работой.

III. Проведення контрольної работы.

Вариант-I.

1) Вирішіть уравнения:

[pic] [pic].

2) Задача.

Катер пройшов 12 км. проти течії річки й 5 км за течією. Заодно він витратив стільки часу скільки йому потрібно було, якщо він йшов 18 км. озером. Яка власна швидкість катери, якщо відомо що швидкість течії річки дорівнює 3 км/ч.

Вариант-II.

1) Вирішіть уравнения:

[pic] [pic].

2) Задача.

Катер пройшов 15 км. проти течії річки й 6 км за течією. Заодно він витратив стільки часу скільки йому потрібно було, якщо він йшов 22 км. озером. Яка власна швидкість катери, якщо відомо що швидкість течії річки дорівнює 2 км/ч.

IV Підбиття итогов.

— Итак, ми написали контрольну роботу. Наступного урок я перевірю їх і скажу оцінки. Ми напишемо роботу над помилкамиДо свидания!

§ 2. Результати дослідницької працювати над впливом різних видів самостійної работы.

1. Аналіз результатів виконання самостійної роботи з темі «Дрібно раціональні уравнения».

Мета: Підгледіти, як самостійна робота учнів на засвоєння знань і умінь при закріпленні вивченого материала.

Клас 8 «Є» Кількість учнів виконують роботу 24 людини. Результати самостійної роботи. |Завдання |Виконано вірно |Допущені помилки | | | |в міркуванні |обчисленні | |1 |8 |8 |9 | |2 |7 |12 |6 | |3 |3 |14 |9 | |4 |5 |8 |11 |.

Протокол беседы.

Після завершення самостійної роботи з темі «Дрібно раціональні рівняння» я провела розмову з учнем, котрі допустили ошибки.

1. Що було зробити на першому завданні. (Вирішити рівняння, тобто знайти коріння рівняння чи довести, що й нет).

2. Подивися уважно зважується на власну роботу. У чому твоя помилка? (Неправильно переніс вираз з частині рівняння в другую).

3. Скажи, як треба правильно перенести вираз з частині рівняння до іншої? (Щоб перенести вираз з частині рівняння до іншої треба міняти знак на протилежний й вийде рівняння, равносильное данному).

4. Правильно, оскільки ж правильно вирішити це уравнение.

Виконання решения.

[pic].

— Добре, так ти розібрався, як правильно переносити вираз з частині рівняння до іншої. -І сподіваюся, що більше аналогічних помилок не допустишь.

Висновок: Метою моєї розмови з учнями 8 «Є» класу було з’ясування причини допущених учнем помилок. -І з’ясувала, що учень припустився помилки в міркуваннях, при перенесення висловлювання з частині рівняння в другую.

Причиною цієї помилки є незнання учнем властивості перенесення висловлювання з частині рівняння до іншої. Однак ж неуважність. -Та й після повторення властивості учень зміг без особливих зусиль виконати вірно дане завдання. -Тож порадила учневі краще вчити властивості й уміти застосовувати на конкретні приклади. Однак ж вони бути більш уважним і проводити перевірку виконаного решения.

Це ж таки я порадила тощо учням цього виконали самостійну работу.

Вважаю що необхідно частіше давати учням самостійні праці та проводити аналіз допущених помилок, оскільки це допомагає засвоєнню теоретичного матеріалу, а як і виробляє вміння вирішувати практичні завдання. А вчителю це допомагає виявити все прогалини у знанні учнів й надалі враховувати это.

2. Аналіз результатів дослідження під час проведення самостійної роботи з темі «Рішення уравнений».

Мета: Підгледіти як диференціація у навчанні на засвоєння учнями певної теми. Показати, що диференційований підхід активізує роботу учнів і підвищує якість знаний.

Клас 5 «Ж» Кількість учнів виконують роботу 23 человека.

Результати навчальною самостійної роботи. |Завдання |Виконано вірно |Допущені помилки | | | |в міркуванні |обчисленні | |а |19 |3 |3 | |б |15 |2 |6 | |в |17 |6 |5 | |р |21 |1 |2 | |буд |20 |2 |1 |.

3. Диференційована самостійна робота з темі «Рішення уравнений».

Клас 5 «Ж».

Кількість учнів виконують роботу 23 человека.

Рівень, А виконували: 1. Киктенко Стас. 2. Печениговская Ганна. 3. Печениговский Андрій. 4. Сидельников Вітя. 5. Киктенко Ю. 6. Бородіна З. 7. Зінченка Ю.

Рівень У виконували: 1. Изербанова Ш. 2. Звягінцева Про. 3. Бородаенко У. 4. Мацуга П. 5. Сиротенки З 6-ї. Сиротенки Л. 7. Фоменка Про. 8. Романенка Ш. 9. Шкарупа Л.

Рівень З виконували: 1. Обролов Ш. 2. Подопригора З. 3. Гринько М. 4. Дробина І. 5. Мельникова Я. 6. Тарануха А. 7. Варвашевич А. Результати диференційованої самостійної роботи. |Завдання |Виконали вірно роботу | | |Рівень, А |Рівень У |Рівень З | |а |75% |81% |85% | |б |78% |92% |91% | |в |70% |90% |93% | |р |90% |89% |94% |.

Вывод: Метою моєї диференційованої роботи була з’ясування того як, як впливає диференціація щодо навчання на засвоєння учнями певної темы.

І моєї роботи показали, що диференційований підхід активізує роботу учнів і підвищує їхня якість. Оскільки кожен учень сам визначає собі ступінь труднощі завдань. Така вчить дітей розмірковувати, знаходити нові шляхи рішення вправ, а чи не діяти за зразком. Виконавши складніше завдання їм хочеться вирішити не аналогічні завдання, а рухатися далі, домагатися большего.

Вважаю, що також самостійні кращої роботи необхідно проводити частіше школах, бо всі завдання розраховані на середнього учня і сильним учням немає можливості рухатися далі, а так змогу їм буде предоставлена.

Заключение

Я виконала дипломну роботу з темі «Самостійна робота, як засіб навчання рішенню рівнянь в розмірі 5 — 9 классах».

За виконання дипломної роботи мені знадобилися як ті знання, що має мене, а й необхідна роботу з додаткової літературою, складання конспектів уроків і проведення дослідницької работы.

Завдяки виконання цього роботи зрозуміла, що ефективність процесу навчання залежить від багатьох чинників. І з дуже важливих чинників є самостійна робота учнів. Адже проблема методики формування умінь самостійної роботи є підставою актуальною. Її вирішення важливо ще з тим погляду, що з оволодіння сучасним змістом шкільного математичної освіти необхідно збільшити ефективність процесу навчання у напрямі активізації самостійної діяльності учащихся.

І у своїй роботі я зупинилася тільки деяких прийомах сприяють успішному засвоєнню навчального матеріалу завдяки самостійної работе.

Адже дітям важливо як дати тверді знання, а й навчити їх почати самостійно застосовувати знання практично щодо у цьому разі ними «Уравнения».

І у своїй роботі я освітила, як за допомогою самостійної роботи можна активізувати процес навчання учнів рішенню рівнянь. І результати дослідницької роботи проведеної мною, показали. Як самостійна робота учнів впливає процес засвоєння знань, а як і на прагнення дітей самостійно отримувати знания.

І цієї дипломної роботі гадаю, що у я зможу застосовувати їх у своїй практиці, і досягти вищих успіхів у обучении.

Підбиваючи підсумки сказаного можна дійти невтішного висновку, що значної ролі в ефективності процесу навчання математиці грає самостійна робота, як навчання у тому випадку під час вирішення рівнянь в розмірі 5 — 9 классах.

Библиография.

Приложение Самостоятельная робота з темі «Дрібно раціональні рівняння» 8 класс.

Варіант 1.

1. Вирішіть уравнение.

[pic].

2. При якому значенні x значення функції [pic] дорівнює 5; -3; 0 3. Вирішіть рівняння: [pic] 4. Вирішіть задачу:

Туристи мали пройти шлях у 18 км. певну час. Але вони йшли з швидкістю на 0,5 км/год. більшої ніж припускали й тому пройшли намічений шлях на підлогу години швидше. З якою швидкістю припускали йти туристы?

Варіант 2.

1. Вирішіть уравнение.

[pic].

2. При якому значенні x значення функції [pic] дорівнює -10; -5; 0 3. Вирішіть рівняння: [pic] 4. Вирішіть задачу:

Бригада намічала засіяти 120 га. за певний строк, проте перевиконуючи заплановану щоденну норму на 10 га. щодня, вона зуміла закінчити сівши на 2 дня раніше. Скільки гектарів засівала бригада щодня Самостійна робота з темі «Рішення рівнянь» Клас 5.

Варіант 1.

1) Запишіть в зошитах зразок записи рішення рівняння. Зразок Вирішіть рівняння. 169*х=4225 Рішення 169*х=4225 х=4225:169 х=25.

Ответ: х=25.

2) По зазначеному вище зразком вирішите рівняння а.) 138*х=14 076 б.) б*37=11 174 в.) k:34=228 р.) 2041;у=786 буд.) у-6295=3215.

Варіант 1.

1) Запишіть в зошитах зразок записи рішення рівняння. Зразок Вирішіть рівняння. 45 852: х=3821 Рішення 45 852: х=3821 х=45 852:3821 х=12.

Ответ: х=12.

2) По зазначеному вище зразком вирішите рівняння а.) б*16=8752 б.) 25*у=1175 в.) k:24=85 р.) 1857-х=976 буд.) у-7397=4518 Диференційована самостійна робота з темі «Рішення рівнянь» Клас 5.

Уровень На «3».

1) Запишіть в зошитах зразок записи рішення рівняння. Зразок Вирішіть рівняння. (1987+х):27=2160 Рішення (1987+х):27=2160 1987+х=2160*27 1987+х=58 320 х=58 320−1987 х=56 333.

Ответ: х=56 333.

2) По зазначеному вище зразком вирішите рівняння а.) (х+242)+76=538 б.) (х-379)+125=30 000 в.) (127+у)-83=1009 р.) 28х:4=1344.

Рівень У на «4».

Решите рівняння: а) 37+х+963=1000 б) 30а-16а=1498 в) 8у+10у+у=1200 р) [pic].

Рівень З на «5».

Найдите коріння рівняння а) 0*а=0 б) 3*а=а в) х: х=1 р) (815+х)+284=284+815+581 ———————————- [1] 1 Див.: Выгодский М. Я. Алгебра і арифметика у старовинному світі" 2-ге вид. М. — Л., 1967.

[2] Алімов Ш. А. Алгебра: Пробний підручник для 6 — 8 класів середньої школи. — М. Просвітництво, 1981 р. [3] Фаддеев Д. До. Алгебра: 6 — 8 Матеріали ознайомлення М. Просвітництво, 1983 г. [4] Микільський З. М. Потапов М. До. Алгебра: Посібник самоосвіту М. Наука, 1984 г.

———————————- [pic].

[pic].

линейные.

1-ї степени.

линейные.

1-ї степени.

квадратные.

2-ї степени.

цілі алгебраические.

лінійно — раціональні лінійно — квадратные.

дрібно — рациональные.

биквадратные.

иррациональные.

Уравнения.

Системы.

[pic].

y=-1.5x+2.5.

y=x2.

[pic].

x?1,8.

— 5.

(-2;1).

(1;2).

[pic].

Х2=2 С=10 Х2=3 Б=-11.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою