Дослідження прибутку і чинники, які на нього впливають

Завдання 1

Для отримання прибутку в плановому періоді фірма поклала за мету дослідити кількісний зв’язок між прибутком та основними ресурсами, що на нього впливають.

Щоб дослідити кількісну залежність, маємо статистичну сукупність спостережень показників:

Структура роботи:

1. Ідентифікувати змінні моделі

2. Специфікувати задану модель

3. Оцінка параметрів моделі 1МНК

4. Визначити матрицю ковариації оцінок параметрів моделі та знайти їх стандартні похибки

5. Визначити статистичну значущість зв? язку на основі економетричної моделі:

— коефіцієнта кореляції та детермінації;

— критерія Фішера (F-кореляція);

— критерія Студента (t-кореляція)

6. Визначити прогнозні якості моделі

7. Дати інтервальний та точковий прогнози на наступний місяць

Рішення

1. Ідентифікувати змінні моделі.

Увектор прибутку (залежна або пояснювальна змінна) Х1- вектор інвестицій (незалежна або пояснювальна змінна) Х2- вектор основних виробничих фондів (незалежна або пояснювальна змінна) Х3 — вектор фонду робочого часу (незалежна або пояснювальна змінна)

2. Специфікувати задану модель Економічна модель у лінійній формі:

У=а0+а1Х1+а2Х2+а3Х3+u

Економічна модель у степеневій формі:

У= а0 Х1Є№ Х2ЄІ Х3 Єі u

Степенева функція в лінійно-логорифмічній формі:

LnY=lna0+ lna1X1+ lna2X2+ lna3X3+lnu

3. Оцінка параметрів моделі 1МНК Параметри лінійної багатофакторної моделі обчислюються за формулою:

А=(Х ' * Х) № * Х 'У, де Хматриця незалежних змінних, Х'- транспонована матриця Х, Увектор значень залежної змінної

Х=

Транспонуємо матрицю Х:

Х' * Х=

(Х' * Х) № =

Х' * У = А=

Економічна модель витрат на реалізацію продукції:

У= -11,989+0,442Х10,278Х2+0,141Х3

Для побудови степеневої форми моделі про логарифмуємо вихідні дані:

За допомогою функції «лінійна»:

Економетрична модель прибутку у степеневій формі:

У=0,241Х1 Х2 Х3

Лінійна модель відрізняється від моделі в степеневій формі. У лінійній моделі оцінки параметрів характеризують граничний приріст прибутку залежно від граничного приросту кожного ресурсу на одиницю (коли решта — сталі) і в тих одиницях, в яких вони подаються у вихідній інформації. У степеневій моделі оцінки параметрів характеризують кількісний зв’язок між прибутком та відповідно кожним фактором у відносному виразі - еластичність.

4. Визначити матрицю коваріації оцінок параметрів моделі та знайти їх стандартні похибки.

сov (А) = о_u (Х'Х)^-1

о_u =

о_u = 0,999

сov (А)=

Похибки оцінок параметрів моделі:

S_aj = vcov (a_j)

S_ao = 3,679

S_a1 =0,058

S_a2 = 0,091

S_a3 =0,043

5. Визначити статистичну значущість зв’язку на основі економетричної моделі:

а) коефіцієнта кореляції та детермінації;

б) критерія Фішера (F-кореляція);

в) критерія Студента (t-кореляція) а) Визначимо коефіцієнта кореляції та детермінації за допомогою функції «лінейн»:

економетричний модель прибуток мультиколінеарність

Визначимо коефіцієнт детермінації:

R² = 0,987

Визначимо коефіцієнт кореляції:

R = v R² = 0,993

Коефіцієнт кореляції наближається до 1, зв’язок дуже тісний.

б) критерія Фішера (F-кореляція)

F_фактич = 402,04

F_крит = 3,24

F фактичне більше F критичного, що свідчить про статистичну значущість зв’язку.

в) критерія Студента (t-кореляція)

Т_j =

Т_крит = 1,74

Т₀ = 3,16 158

Т₁ = 7,345 569

Т₂ = 2,969 022

Т₃ = 3,168 823

t_а0 = 3,16 158 більше за табличне значення (1,74) значить а₀ статистично значуще

t_а1 = 7,345 569 більше за табличне значення (1,74) значить а₁ статистично значуще

t_а2 = 2,969 022 більше за табличне значення (1,74) значить а₂ статистично значуще

t_а3 = 3,168 823 більше за табличне значення (1,74) значить а₃ статистично значуще

6. Визначити прогнозні якості моделі

А =

МР.Е. =1?Y-Y_р *100 = -0,0174

nY

М.А.Р.Е.= 1?¦Y-Y_р¦*100 = 1,22 172

nY

v? (Y-Y_р)²

К_Т =n = 0,784

v?Y² + v? Y_р²

nn

7. Дати інтервальний та точковий прогнози на наступний місяць

Точковий прогноз:

У_пр = 74,7122

О_пр = О_u Хn' (X' X)^-1 Xn = 3.057

S_упр = v О_пр = 1,74 843

О_упр = t_кр * S_упр = 3,4 226

Інтервальний прогноз: 71,6699? У_пр? 77,7544

Завдання 2

На основі даних про чинники, які впливають на прибуток. Дослідити їх на наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, згідно з якими перевіряються мультиколінеарність (ХІ(Хі-квадрат), F-критерій, t-критерій. Всі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу зробити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності незалежних змінних.

Структура роботи:

1. Нормалізація (стандартизація) пояснюючих змінних моделі.

2. Розрахунок кореляційної матриці r

3. Визначення детермінату матриці r

4. Визначення критерію ХІ

5. Розрахунок оберненої матриці до матриці r

6. Визначення F-критерію

7. Обчислення часткових коефіцієнтів кореляції

8. Визначення t-критерію

Рішення

Обчислимо середні значення та стандартні відхилення пояснюючих змінних Х₁, Х₂, Х₃ за допомогою алгоритма Феррара-Глобера

1. Нормалізація (стандартизація) пояснюючих змінних моделі.

Х=

Транспонуємо нормалізовану матрицюХ:

2. Розрахунок кореляційної матриці r

Помножимо кожен елемент матриці Х’Х на 1/(n-1), де n-1=19.

3. Визначення детермінату матриці r.

det r = 0,3 289 — наближається до нуля, значить в масиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність. Про логарифмуємо визначник матриці r: ln det r = -3,414 557.

4. Визначення критерію ХІ.

Х² = - (n — 1 — 1/6 (2m + 5)) ln (det r) = 58,627 949

Табличне значення ХІ кр= 7,81 менше, ніж ХІ фактичне. Значить в масиві пояснюючих змінних існує мультиколінеарність.

5. Розрахунок оберненої матриці до матриці r.

Знайдему матрицю С — обернену до матриці r:

6. Визначення F-критерію.

Для рівня значущості а = 0,05 і ступенів свободи n — m = 17 і m — 1 = 2 табличне значення критерію F = 19,43 704.

F₁ > F_t, значить змінні Х₁, Х₂, Х₃ мультиколінеарні з іншими змінними.

7.Обчислення часткових коефіцієнтів кореляції.

При порівнянні парних коефіцієнтів видно, що одні значно менші, ніж інші. Тому висновки про мультиколінеарність зробити не можливо.

8. Визначення t-критерію.

Табличне значення t-критерію при n-m=17 ступенях свободи і рівні значущості а = 0,05 дорівнює 2,109 819.

t ₁₂ > t — змінна Х₁ мультиколінеарна з Х₂

t ₁₃ > t — змінна Х₁ не мультиколінеарна з Х₃

t ₂₃ > t — змінна Х₂ не мультиколінеарна з Х₃

Завдання 3

На основі статистичної інформації в таблиці необхідно побудувати економетричну модель прибутку методом Ейткена, за умови, що в масиві інформації існує гетероскедастичність.

Структура роботи:

1. Протестувати статистичну інформацію щодо наявності гетероскедастичносі на основі:

— тесту Гольфреда-Квандта;

— тесту Гейзера

2. Побудувати матрицю Р№ та S№

3. Перетворити вихідну інформацію за допомогою інформації матриці Р№ та за допомогою стандартної функції «ЛИНЕЙН» побудувати економентричну модель

4. Оцінити параметри моделі на основі оператора Ейткена, використавши матриці Р№ та S№

5. Зробити порівняльний аналіз кількісних характеристик взаємозв'язку отриманих методом найменших квадратів (1 МНК) та методом Ейткена

6. Визначити інтервальний прогноз.

Рішення:

1. Протестувати статистичну інформацію щодо наявності гетероскедастичносі на основі:

— тесту Гольфреда-Квандта;

— тесту Гейзера Метод 1МНК:

Тест Гольфреда-Квандта:

Сукупність спостережень впорядкуємо за X₁ від меншого до більшого значення:

Спостереження с, які знаходяться всередині сукупності:

с/n = 4/15 = 6.

Економетрична модель для сукупності n1=7.

На основі першої сукупності формуємо економічну модель:

У = 10,27+0,362Х₁+0,013Х₂+0,128Х₃

Економічна модель для сукупності n2=7

На основі другої сукупності формуємо економічну модель:

У = 7,300+0,617Х₁+0,324Х₂-0,100Х₃

В проведених розрахунках знайдено сумми квадратів залишків: S₁=2,007, S₂=2,912.

Знайдемо критерій:

R*= S₂/ S₁=1,451

Порівняємо це значення з табличним значенням Фішера, при (n-c-2m)/2=3 ступенях свободи та при рівні значущості 0,05. F_{критичне}=9,2766.

Значення критерію R* менше табличного, значить в масиві змінних гетероскедастичність не існує.

Тест Гейзера:

1) Встановимо наявність гетероскедастичності залишків для Х₁:

Визначимо достовірність параметрів моделі за критерієм Стьюдента:

t_a0 = -2,3536 — менше за табличне значення (2,10), значить а0 статистично незначуще;

t_a1 = 20,867 995 — більше за табличне значення (2,10), значить а1 статистично значуще;

Залишки мають мішану гетероскедастичність.

2) Встановимо наявність гетероскедастичності залишків для Х₂:

Визначимо достовірність параметрів моделі за критерієм Стьюдента:

t_a0 = 3,6 561 305 — більше за табличне значення (2,10), значить а0 статистично значуще;

t_a1 = 15,39 722 — більше за табличне значення (2,10), значить а2 статистично значуще;

Гетероскедастичність відсутня.

3) Встановимо наявність гетероскедастичності залишків для Х₃:

Визначимо достовірність параметрів моделі за критерієм Стьюдента:

t_a0 = -2,99 324 — меньше за табличне значення (2,10), значить а0 статистично незначуще;

t_a1 = 8,4 815 221 — більше за табличне значення (2,10), значить а3 статистично значуще;

Залишки мають мішану гетероскедастичність.

2. Побудувати матрицю Р№ та S№.

Оскільки, гетероскедастичність мішана, треба використовувати третю гіпотезу для визначення г_і .

г_і = ¦u_і²¦

Для розрахунку u використаємо будь-яку модель, оскільки всі а значущі:

У = -8,983+0,73Х₁

Підставивши в цю модель фактичні значення пояснювальної змінної Х_1, отримаємо розрахункові залишки за модулем та квадрати цих залишків:

Побудуємо матриці Р^(-1), де ¦u_i¦- це діагональні елементи та S^(-1), в якій діагональні елементи — ¦u_i²¦ .

3. Розрахуємо оцінки параметрів методом Ейткена, застосувавши:

A=(Х'S^-1X)^-1X’S^-1Y

Оцінки параметрів моделі методом Ейткена і 1МНК відрізняються.

4. Оцінимо параметри моделі методом Ейткена за допомогою матриці Р^(-1), скориставшись функцією «Лінейн», в якій вихідними будуть скориговані Y та X.

Економетрична модель набуває вигляду:

У=-0,662+0,314*Х₁+0,373*Х₂+0,119Х₃

5.Зробимо інтервальний прогноз:

Y_пр = Х'_прА + vл_n u_n

У_пр = 74,00

Розрахуємо похибку прогнозу:

S_упр= v О_u²X'_n (X'S^-1X) X_n = 0,698

Розрахуємо граничну похибку прогнозу:

О_упр=t_кр* S_упр=1,725*0,698=1,20 405

Інтервальний прогноз:

72,791 983? У_упр? 75,200 083.

Завдання 4

На основі статистичної інформації в таблиці необхідно побудувати економетричну модель з автокорельованими залишками.

Структура роботи:

1. Дослідити наявність автокореляції на основі критерій:

— Критерій Дарбіна-Уотсона

— Критерій Фон Неймана

— Циклічний коефіцієнт автокореляція

2. Побудувати матрицю S та S№

3. Розрахувати оцінки параметрів методом Ейткена:

4. Оцінити параметри моделі на основі перетворення вихідної інформації

Побудова матриці Т.

5. Визначити точковий та інтервальний прогноз.

Рішення:

1.Дослідити наявність автокореляції на основі критерій:

— Критерій Дарбіна-Уотсона

— Критерій Фон Неймана

— Циклічний коефіцієнт автокореляція Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

У=а₁Х₁+а₂Х₂+ а₃Х₃= u

Методом 1МНК оцінимо параметри цих економетричних моделей. Обчилемо параметри лінійної багатофакторної моделі: А=(Х' * Х)^-1 * Х' У Де Хматриця незалежних змінних, Х'- транспонована матриця Х, Увектор значень залежної змінної.

Транспонуємо матрицю Х:

Для визначення автокореляції залишків застосуємо критерій Дарбіна-Уотсона:

DW = 1,8918 не більше 2, значить є додаткова автокореляція.

Критичні значення критерію DW:

DW₁ = 1

DW = 1,68

Фактичне значення DW більше за DW — автокореляція відсутня.

Критерій фон Неймана:

Фактичне значення Q більше за табличне (1,36) — автокореляція відсутня.

Циклічний коефіцієнт автокореляції:

Автокореляцію можна не брати до уваги, бо коефіцієнт автокореляції менший 0,3.

2. Побудувати матрицю S та S№.

2. Розрахувати оцінки параметрів методом Ейткена:

А=(X' S^-1 X)^-1 X' S^-1 У

Побудуємо економічну модель:

У=38,501+0,442*Х₁*0,279*Х₂+0,150*Х₃

4. Оцінити параметри моделі на основі перетворення вихідної інформації.

Побудова матриці Т:

Помножимо цю матрицю на вектор У та матрицю Х:

Застосуємо функцію «Лінійн»:

5. Визначити точковий та інтервальний прогноз:

Точковий прогноз: 114,757

Інтервальний прогноз:

S v О_u² Х’n (X' S^-1 X) Хn = 0.813

Гранична похибка прогнозу:

О_упр = t_кр* S_упр=1,725*0,813=1,4024

Інтервальний прогноз:

113,354? У_пр? 116,159.