Знаходження відстані між точками

Твердження 1. Нехай в Декартові системі координат задано дві точки і з своїми координатами та тоді відстань між ними буде визначатись за формулою:

(1).

Доведення: Нехай на площині дано дві точки: з координатами і з координатами Виразимо відстань між точками і через координати цих точок. Розглянемо спочатку випадок, коли і. Проведемо через координати цих точок і прямі, паралельні осі координат, і позначимо через точку їх перетину (мал.2). Відстань між точками і дорівнює, а відстань між точками і дорівнює. За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику маємо:

(*).

де — відстань між точками і.

Хоча формула (*) для відстані між точками виведена у припущені що, , вона залишається правильною і для інших випадків. Справді, якщо, , то дорівнює. Такий самий результат дістанемо і за формулою (*). Аналогічно розглядаємо випадок, коли,. Якщо, , то точка і збігаються і за формулою (*) дістаємо що .

Мал.2.

Теорема про пропорційні відрізки

Теорема про порційні відрізки: паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Мал. 3.

Доведення. Нехай сторони кута перетинають паралельні прямі — у точках відповідно до (мал. 3).

Теорема стверджує, що.

. (*).

Доведемо спочатку рівність (*) для випадку коли, існує відрізок такої довжини в, який можна відкласти ціле число разів і на відрізку і на відрізку. Нехай і. Розіб'ємо відрізок на цілих частин (довжиною в). При цьому точка буде однією з точок поділу. Проведемо через ці прямі, паралельні прямій. За теоремою Фалеса ці прямі розбивають відрізок на рівні відрізки деякої довжини. Маємо:

і .

Бачимо що Отже Що і тре ба було довести.