Анотація. 
Математичні моделі оцінювання опціонних стратегій за умов невизначеності фондового ринку

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук за спеціальністю 08.00.11 — математичні методи, моделі та інформаційні технології в економіці. — Львівський національний університет імені Івана Франка. — Львів, 2010.

У дисертаційній роботі розглянуто теоретико-методологічні положення математичних моделей оцінювання опціонних стратегій за умов невизначеності фондового ринку. Автором проаналізовано особливості функціонування фондового ринку та обігу опціонів на ньому. Обґрунтовано найбільш перспективні напрями використання математичного інструментарію для аналізу поведінки фінансових інструментів та арґументовано необхідність застосування теорії нечітких множин, мір та інтегралів для врахування чинника ринкової невизначеності. На підставі використання цих теорій модифіковано класичну модель Блека-Шоулса визначення премії опціонів купівлі та продажу європейського стилю на акції для випадку нечітких вхідних даних; виведено аналітичні вирази інтервалів оцінювання доходу базових опціонних комбінацій та здійснено вибір оптимальної опціонної стратегії на підставі критерію максимізації очікуваного доходу із застосуванням принципів теорії нечіткого інтеграла Суґено.

Розроблений цілісний комплекс нечітких економіко-математичних моделей оптимізації фондових портфелів, до складу яких входять опціони. Апробацію побудованих моделей виконано на прикладі портфеля акцій українських акціонерних товариств та опціонів на них. Для перевірки адекватності моделей здійснено порівняння запропонованого підходу із градієнтним методом розв’язання задач цього типу. Запропоновано схему формування «гнучкого» узагальненого портфеля опціонів, що дає змогу обирати консервативну та агресивну частини і будувати адаптивний до ринкового середовища фондовий портфель.

Ключові слова: опціон, ринок цінних паперів, невизначеність фондового ринку, опціонна стратегія, нечітке число, нечіткий інтеграл Суґено, оптимізаційна модель, фондовий портфель опціонів, «гнучкий» узагальнений портфель опціонів.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук по специальности 08.00.11 — математические методы, модели и информационные технологии в экономике. — Львовский национальный университет имени Ивана Франко. — Львов, 2010.

В диссертационной роботе рассмотрены теоретико-методологические положения математических моделей оценивания опционных стратегий в условиях неопределенности фондового рынка. Автором проанализированы особенности функционирования фондового рынка и оборота опционов на нем. Также обоснованы наиболее перспективные направления использования математического инструментария для анализа поведения финансовых инструментов и аргументирована необходимость применения терии нечетких множеств, мер и интегралов для учета фактора рыночной неопределенности. На основании использования этих теорий модифицирована классическая модель Блэка-Шоулса определения премии опционов покупки и продажи европейского стиля на акции для случая нечетких прямоугольных исходных данных показателя годовой волатильности. При этом интервал изменения волатильности вычислен с использованием теории марковских процессов с дискретным временем.

В диссертации учтено, что доходность опционных стратегий является случайной величиной. На этом основании выведены аналитические выражения для интервального оценивания базовых опционных комбинаций. Полученные формулы вычисления нечетких прямоугольных чисел ожидаемой доходности самых распространенных опционных стратегий можна использовать для оценивания более сложных опционных комбинаций. Кроме того, автором построена математическая модель выбора оптимальной опционной стратегии с использованием нечеткого интеграла Сугено. Моделирование базируется на основании критерия максимизации ожидаемой доходности стратегий для нечетких исходных данных треугольного вида.

Разработан целостный комплекс экономико-математических моделей оптимизации фондовых портфелей опционов, среди которых — модель хеджирования базового актива опционами продажи, модель форсирования акций опционами покупки, задача оптимизации виртуального и построение оптимального обобщенного портфеля опционов. Предложено приведение нечетких задач оптимизации фондовых портфелей опционов к задачам математического программирования. Апробация проведена на примере порфеля акций украинских акционерных предприятий и опционов на них. Выполнено сравнение предложенного подхода с градиентным методом решения задач этого типа. Вид эффективной границы и пропорции инвестирования в финансовые активы свидетельствует об адекватности полученных автором результатов. Кроме того, предложена схема «гибкого» обобщенного портфеля опционов, что дает возможность выбирать консервативную и агрессивную части и выстраивать адаптированный к рыночной среде фондовый портфель.

Ключевые слова: опцион, рынок ценных бумаг, неопределенность фондового рынка, опционная стратегия, нечеткое число, нечеткий интеграл Сугено, оптимизационная модель, расширенный фондовый портфель опционов, «гибкий» обобщенный портфель опционов.

A dissertation applying for the scientific degree of candidate of economic sciences in the specialty 08.00.11 — mathematical methods, models and information technologies in economics. — Ivan Franko National University of L’viv. — L'viv, 2010.

This dissertation investigates the theoretical-methodological formulation of mathematical models which assess the value of options strategies in the context of the indeterminate nature of the stock market. The author seeks to analyze the particulars of functioning of the stock market and concomitant options fluctuations. Evidence is also presented to indicate which methods of mathematical function utilization are likely to be successful in predicting the behavior of financial instruments and to support the necessity of utilizing fuzzy numbers, measures and integrals in the calculation of the effect of the indeterminate nature of the market. These theories are utilized to modify the classic Black-Scholes model of determination of values of premiums for European stock call and put options in the case of inputted values of an indeterminate nature; the analytical functions of intervals of valuation of profit of fundamental options combinations are elucidated and the principles of selection of optimal options strategies on the basis of maximizing expected profits utilizing the principles of the Sugeno fuzzy integral theory are finalized.

A comprehensive complex of fuzzy economic and mathematical models to optimize option portfolios are outlined. The execution of the constructed models is performed by using as an example portfolios of stocks of Ukrainian stock companies and their respective options. In order to verify the adequacy of the proposed models a comparison is performed between the proposed method and the gradient method of solving problems of this type. A schemata of a «flexible» generalized option portfolio is proposed which allows for the selection of either conservative or aggressive components and the formulation of a portfolio that is adaptive to prevailing market conditions.

Key words: option, stock market, indeterminate nature of the stock market, option strategy, fuzzy number, Sugeno fuzzy integral, optimization model, options portfolio, «flexible» generalized options portfolio.