Економіко-математичне моделювання

ЗАДАЧА № 2.

Побудувати мережну модель ремонту Вашої квартири.

а) визначити критичний путь.

б) розрахувати пізні терміни закінчення і формального початку событий.

в) розрахувати ранні терміни закінчення і міст початку событий.

р) розрахувати резерви событий.

Решение:

1. Робимо ремонт двокімнатній квартири поліпшеного планування: житлову кімнату, дитяча, кухня, ванна, туалет і коридор.

2. Необхідно сделать:

• змінити шпалери переважають у всіх помещениях;

• пофарбувати окна;

• у залі й коридорі зробити підвісні стелі з рассеяным светом.

• в оттальных приміщеннях стелю покривається фарбою КЧ.

• пофарбувати вхідну дверь;

• постелити у всій квартирі линолиум.

3. Будуємо таблицю ремонту й мережевий график.

4. «Четырехсекторным «методом розраховуємо параметри мережного графіка й багато визначаємо «критичний шлях » .

5. Расчитываем параметри мережного графіка й багато резерви часу.

ЗА ДАЧА 1.

Умова завдання:

У табице наведені показники коефіцієнтів прямих витрат і.

обсяги кінцевих продуктів трьох взаємозалежних отраслей.

Розрахувати:

1) Валові випуски галузей.

2) обсяги міжгалузевих поставок.

3) матрицю повних витрат итерационным методом, обмежившись.

рівнем непрямих витрат третього порядку.

Произво-дящие галузі Коефіцієнти прямих витрат Споживають галузі Кінцевий продукт Yi.

1 2 3.

1 0,2 0,1 0,005 100.

2 0,15 0,1 0,25 100.

3 0,3 0,05 0,1 200.

Р е ш е зв і е.

1. Валовий випуск галузей знаходимо за такою формулою:

X = (E — A)-1 * Y (1).

1.1 Знайдемо матрицю (E — A).

(E-А) 0,8 -0,1 -0,005.

— 0,15 0,9 -0,25.

— 0,3 -0,05 0,9.

1.2 Знайдемо елементи зворотної матриці (E — A)-1.

?? 0,615 613 детермінант матриці (Е-А).

Алгебраїчні доповнення кожного елемента матриці (Е-А):

a11= 0,80.

a12= 0,21.

a13= 0,28.

a21= 0,09.

a22= 0,72.

a23= 0,07.

a31= 0,03.

a32= 0,20.

a33= 0,71.

1.3 Бажана матриця :

Y.

(E-A)-1= 1,299 519 0,1462 0,4 792.

0,341 124 1,1671 0,3261 100.

0,454 832 0,1137 1,1452 200.

1.4 визначимо валовий випускати продукцію у кожному отрасли.

за такою формулою X=(E-А)-1*Y.

Х1= 154,16.

Х2= 216,04.

Х3= 285,89.

2. Знайдемо обсяги міжгалузевих поставок.

xij=aij*Xj, де Xj — валовий продукт j галузі, а aij — прямі затраты.

матриця міжгалузевих поставок:

30,83 15,42.

0,77.

Мij= 32,41 21,60 54,01.

85,77 14,29 28,59.

3) Знайдемо повні витрати итерационным методом.

Як відомо, щоб отримати матрицю непрямих витрат першого.

порядку треба матрицю прямих витрат Аij помножити саму на себя.

Кожен елемент матриці непрямих витрат першого порядку можна.

знайти за такою формулою: aij (1)=? aik*akj.

0,0565.

0,0303 0,0265.

Аij (1)= 0,12 0,0375 0,5 075.

0,0975 0,04 0,024.

Щоб самому отримати матрицю непрямих витрат другого порядку, потрібно.

матрицю прямих витрат помножити справа на матрицю непрямих витрат.

першого порядку.

Аij (2)= Аij * Аij (1).

Кожен елемент матриці непрямих витрат другого порядку можна.

знайти за такою формулою: aij (2)=? aik*akj (1).

Отже матриця непрямих витрат другого порядку:

0,23 788 0,01 0,0105.

Аij (2)= 0,4 485 0,0183 0,1 505.

0,0327 0,015 0,1 289.

матриця непрямих витрат третього порядку:

0,9 406 0,0039 0,367.

Аij (3)= 0,16 228 0,0071 0,0063.

0,12 649 0,0054 0,1 289.

Матриця повних витрат :

Sij=.

0,289 694 0,1442 0,4 566.

0,331 078 0,1629 0,3221.

0,442 849 0,1104 0,14 978.

Ремонт. Завдання 2.

Робота Зміст роботи Длитель-ность, часы.

Кухня.

0−1 Видалення старих шпалер 4.

1−2 Оклейка кахельної плиткою 40.

0−2 Забарвлення віконних рам 4.

2−3 Стеля покривається фарбою КЧ 2.

3−4 Оклейка шпалерами 10.

Зал.

0−5 Видалення старих шпалер в житловий кімнаті, підготовка стен (затираем нерівності, покриваємо клеєм) 8.

5−6 Фундаментальна обізнаність із електропроводкою 10.

0−7 Підготовка (видалення старої фарби, шліфовка) і забарвлення віконних рам 20.

6−7 Виготовлення підвісного стелі 40.

7−12 Оклейка шпалерами 15.

Дитяча кімната.

0−8 Видалення старих шпалер як у дитячій 5.

8−9 Стеля покривається фарбою КЧ 2.

0−9 Забарвлення віконних рам 4.

9−10 Оклейка шпалерами 12.

Ванна і туалет.

0−11 Фарбуємо ванну 10.

11−12 Фарбуємо туалет 8.

Коридор

12−13 Видалення старих шпалер 4.

6−13 Фундаментальна обізнаність із електропроводкою 5.

13−14 Виготовлення підвісного стелі 30.

14−15 Оклейка шпалерами 15.

15−16 Фарбування вхідних дверях.

Линолиум у всій квартирі.

7−16 Линолиум у залі 16.

10−16 Линолиум як у дитячій 12.

4−16 Линолиум на кухні 12.

16−17 Линолиум в коридорі 16.

Таблиця до 2 задаче.

Параметри мережного графіку й резерв.

і j tij Tjран Tiран Tjпозд Tiпозд tij tij tij tij Rij.

раннє початок раннє закінчення пізніше закінчення пізніше початок резерв.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.

0 1 4 4 0 62 0 0 4 62 58 58.

1 2 40 44 4 102 62 4 44 102 62 58.

0 2 4 44 0 102 0 0 4 102 98 58.

2 3 2 46 44 104 102 44 46 104 102 58.

3 4 10 56 46 114 104 46 56 114 104 58.

4 16 12 126 56 126 114 56 68 126 114 0.

0 5 8 8 0 8 0 0 8 8 0 0.

5 6 10 18 8 18 8 8 18 18 8 0.

0 7 20 58 0 58 0 0 20 58 38 0.

6 7 40 58 18 58 18 18 58 58 18 0.

6 13 5 77 18 77 18 18 23 77 72 0.

7 12 15 73 58 73 58 58 73 73 58 0.

7 16 16 126 58 126 58 58 74 126 110 0.

0 8 5 5 0 100 0 0 5 100 95 95.

0 9 4 7 0 102 0 0 4 102 98 95.

8 9 2 7 5 102 100 5 7 102 100 95.

9 10 12 19 7 114 102 7 19 114 102 95.

10 16 12 126 114 126 114 114 126 126 114 0.

0 11 10 10 0 65 0 0 10 65 55 55.

11 12 8 73 10 73 65 10 18 73 65 0.

12 13 4 77 73 77 73 73 77 77 73 0.

13 14 30 107 77 107 77 77 107 107 77 0.

14 15 15 122 107 122 107 107 122 122 107 0.

15 16 4 126 122 126 122 122 126 126 122 0.

16 17 16 142 126 142 126 126 142 142 126 0.

Завдання 3.

х1×2.

0 50.

0,1 26,11.

0,2 18,48.

0,3 12,93.

0,4 8,411.

0,5 4,529.

0,6 1,088.

0,7 -2,02.

Графік № 3.

Завдання 4.

Умова завдання.

Задана наступна економічна ситуація. Завод випускає вироби двох.

типів Проте й У. У цьому використовується сировину чотирьох видів. Витрата.

сировини кожного виду на виготовлення еденицы продукції і на запаси сировини.

задано в таблиці.

Вироби Сировину.

1 2 3 4.

А 2 1 0 2.

У 3 0 1 1.

Запаси сировини 21 4 6 10.

Випуск вироби, А приносить 3 грошові еденицы, У — 2 грошові единицы.

Скласти план виробництва, який би максимальну.

прибуток.

а) складіть матиматическую модель завдання;

б) поясніть сенс цільової функції й обмеження.

Рішення:

а) Математична модель.

2x1+3×2.

x1.

x2+.

2x1+ x2.

x1 >=0.

x2 >=0.

б) Сумарний витрата кожного виду сировини все випуск ні.

перевищувати заданого обмеження.

Валова реалізація (сума обсягів реалізації за кожним видом.

продукції грошах) повинна прагнути при заданих.

умовах до максиму.

в) Вирішувати будемо симплекс методом.

перетворимо нерівності в рівності, при цьому введемо чотири.

додаткові перемінні.

2x1+3×2+ x3 =21.

x1 + x4 =4.

x2 +x5 =6.

2x1+x2+ x6 =10.

f=3×1+2×2+0*x3+0*x4+0*x5+0*x6 -> max.

перепишемо як систем 0 рівнянь.

0= 21-(2×1+3×2+x3).

0= 4-(x1 + x4).

0= 6-(x2+ х5).

0=10-(2×1+х2+ х6).

f=0-(-3×1−2×2−0*x3−0*x4−0*x5−0*x6).

Система рівнянь то, можливо записана як векторного равенства.

0=В — (А1×1+А2×2+А3×3+А4×4+А5×5+А6×6).

У — вільні члени.

А1…А6 коефіцієнти при змінних х1… х6.

Лінійна форма має вигляд: f=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6.

Вектори А3, А4, А5, А6 становлять базис.

Складаємо першу симплекс таблицю.

Базисний вектор Коэф.лин. форми з вектор св. член b b/a 3 A1 2 A2 0 A3 0 A4 0 A5 0 A6.

А3 0 21 10,5 2 3 1 0 0 0.

A4.

0 4 4 1 0 0 1 0 0.

A5 0 6 0 0 1 0 0 1 0.

A6 0 10 5 2 1 0 0 0 1.

індексна рядок fj-сj 0 -3 -2.

Рішення: х1=0,х2=0,х3=21,х4=4,х5=6,х6=10.

f=0.

Позаяк у індексної рядку є негативні елементирішення не.

є оптимальним.

A1 вводимо в базис замість вектора А4.

Базисний вектор Коэф.лин. форми з вектор св. член b b/a 3 A1 2 A2 0 A3 0 A4 0 A5 0 A6.

A3 0 13 4 1/3 0 3 1 -2 0 0.

A1 3 4 0 1 0 0 1 0 0.

А5 0 6 6 0 1 0 0 1 0.

A6.

0 2 2 0 1 0 -2 0 1.

індексна рядок fj-сj 0 -2 0 3 0 0.

Рішення: х1=4,х2=0,х3=13,х4=0,х5=6,х6=2.

f=12.

Позаяк у індексної рядку є негативні елементирішення не.

є оптимальним.

A2 вводимо в базис замість вектора А6.

Базисний вектор Коэф.лин. форми з вектор св. член b b/a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0 A5 0 A6.

A3.

0 7 1 ¾ 0 0 1 4 0 -3.

A1 3 4 4 1 0 0 1 0 0.

А5 0 4 2 0 0 0 2 1 -1.

A2 2 2 -1 0 1 0 -2 0 1.

індексна рядок fj-сj 0 0 0 -1 0 2.

Рішення: x1=4, x2=2; x3=7; x4=0;x5=4;x6=0.

f=12.

Позаяк у індексної рядку є негативні елементирішення не.

є оптимальним.

A4 вводимо в базис замість вектора А3.

Базисний вектор Коэф.лин. форми з вектор св. член b b/a 8 A1 7 A2 6 A3 0 A4 0 A5 0 A6.

A4 0 1 ¾ 0 0 ¼ 1 0 — ¾.

A1 3 2 ¼ 1 0 — ¼ 0 0 ¾.

А5 0 ½ 0 0 — ½ 0 1 ¼.

A2 2 5 ½ 0 1 ½ 0 0 -1 ½.

індексна рядок fj-сj 0 0 ¼ 0 0 1 ¼.

Рішення: x1=2,25, x2=5,5; x3=0; x4=1 ¾;x5=½;x6=0.

f=17,75.

У індексної рядку немає негативних елементів, отже.

подальше збільшення значення лінійної форми неможливо ми маємо.

оптимальну програму.

Максимальна прибуток характеризується виготовленні першого виду.

продукції 2,25 у.о., а другого 5,5 у.о.

Оскільки нас було поставлено умова целочисленности, такі значення.

припустимі, наприклад, як умовних едениц — тисячі тонн.

ЗАВДАННЯ 5.

Наити максимум функції F при заданих обмеженнях.

F = x1+2×2 ->max.

3x1+x2 >=3 (1).

3x1-x2.

x1-x2 >=3 (3).

x1>=0 (4).

x2>=0 (5).

Вирішити графічним методом.

Рішення.

1.Из умови знакоположительности — першої припустимою областю.

рішення є перша чверть декартовой системи координат.

2. Побудуємо області допустимих значень, при цьому побудуємо линии.

кожного з рівнянь.

3x1+x2 =3.

3x1-x2 =0.

x1-x2 =3.

і лінію для функції f.

x1+2×2 =0.

3. Наидем область допустимих значень.

4. Як бачимо на графіці області допустимих значень для.

обмеження (1); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (2) і (3) не перетинаються, отже система має не має.

допустимих рішень. Обмеження суперечливі.

5.Для здобуття права систему було вирішувана, повинна бути наприклад.

такий F = x1+2×2 ->max.

3x1+x2.

3x1-x2.

x1-x2.

x1>=0.

x2>=0.

Тоді область допустимих рішень — трикутник АВС.

І функція F сягає максимуму у точці З (0;3) і F=6.

Рівняння значения.

x1 x2.

для рівняння 3×1+x2=3 0 3.

2 -3.

для рівняння 3×1-x2=0 0 0.

2 6.

для рівняння x1-x2=3 0 -3.

5 2.

для рівняння x1+2×2=0 0 0.

(лінія функції) 5 -2,5.

Діаграма до 5.

ЗАВДАННЯ 6.

Є такі дані про врожайність зернових культур Y (в ц/га).

кількості опадів Х1 (в див) що випали в вегетаційний період.

і 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.

Yi 23 24 27 27 32 31 33 35 34 32.

Xi 25 27 30 35 36 38 39 41 42 45.

Потрібна :

а)Определить параметри рівняння регресії;

б) визначити коефіцієнт парної кореляції і перевірити його.

статичну надійність.

1. Кількісні оцінки зв’язок між величинами випадкового процесу.

встановлює регресійний аналіз. Зв’язки між перемінними можуть.

лінійні і нелинейные. У найпростішому разі значення Y виражаються у.

вигляді лінійної залежності :

Y =a + bX,.

де a і b — коефіцієнти регресії.

Найчастіше для розрахунків коефіцієнтів застосовують метод.

найменших квадратів.

2. За методом найменших квадратів зробимо розрахунок коефіцієнтів.

рівняння регресії.

із системи рівнянні.

sum (Yi)= n*A + B sum (Xi).

sum (XiYi) = A* sum (Xi) + B*sum (Xi2)).

маємо.

А = sum (Yi) * sum (Xi2) — sum (XiYi) * sum (Xi).

n* sum (Xi2) — (sum (Xi) 2).

B = n*sum (XiYi) — sum (Xi)* sum (Yi).

n*sum (Xi2) — (sum (Xi))2.

A=S2*S3-S4*S1 B=n*S4-S1*S2,.

n*S3-S1*S1 n*S3-S1*S1.

де S1=SUM (Xi) S2=SUM (Yi) S3=SUM (Xi2).

S4=SUM (XiYi).

n — загальна кількість вимірів, у разі це 10.

2.В результаті розрахунку отримано рівняння регресії:

Y= 8,917+0,583*Х.

3.Подставив значення XX ст рівняння знайдемо Y розрахункове.

4.По значенням експериментальним і теоретичним будуємо графіки.

5. Зв’язок між двома випадковими величинами, визначене з.

деякою ймовірністю, називається кореляційної. Для.

кількісної оцінки лінійної кореляції використовується коефіцієнт.

парній кореляції.

r = 10*S4-S1*S2.

(10*S3-S12)*(10*S5-S22).

S5=SUM (Yi2).

r= 0,9104.

По таблиці Чеддока знайдемо тісноту зв’язок між двома явищами, зв’язок.

" дуже тісний «.

6.Качество рівнянь регресії оцінюють з його прогнозуючої.

здібності. Рівняння добре прогнозируют (т.е. адекватно описують).

експериментальні дані, якщо розбіжності між експериментальними.

і розрахунковими даними перебувають у припустимих межах.

Для перевірки адекватності рівняння знайдемо середню відносну.

помилку прогнозування E:

E=100 *SUM |Yэi — Ypi|.

10 Yэi.

де Yэiекспериментальне, Ypi — розрахункове значення.

Є= 4,434%.

Це порівняно велике значення помилки прогнозування при.

отриманому вище значенні r.

Уважно розглянемо значення відхилень між фактичними і.

розрахунковими значеннями Y. Майже безперервне зростання уражайности.

після 8 року змінюється спадом. 10 рік дає найбільший приріст.

помилки прогнозування.

Очевидно, для описи залежності, краще підійшло б.

не рівняння прямий, а рівняння параболлы, оскільки після досягнення.

певного рівня опадів врожайність починає падати (багато води ;

це теж шкоду врожаю) див. останні значення Х і Y.

У 4 минулий рік також порівняно велике розбіжність, це то, можливо.

вызванно тим, що врожайність зернових залежить тільки від.

кількості опадів, а й від інших чинників, наприклад, від.

кількості тепла. Просто було холодно.

і X Y X2 XY Yрасч Y2 (Y-Yрасч) Y.

1 25 23 625 575 23,5 529 0,0217.

2 27 24 729 648 24,67 576 0,0279.

3 30 27 900 810 26,42 729 0,0215.

4 35 27 1225 945 29,33 729 0,0863.

5 36 32 1296 1152 29,92 1024 0,0650.

6 38 31 1444 1178 31,08 961 0,0026.

7 39 33 1521 1287 31,67 1089 0,0403.

8 41 35 1681 1435 32,83 1225 0,0620.

9 42 34 1764 1428 33,42 1156 0,0171.

10 45 32 2025 1440 35,17 1024 0,0991.

? 358 298 13 210 10 898 298 9042 0,4434.

середнє 35,8 29,8.

Коефіцієнти регресії:

b 0,583.

a 8,917.

Рівняння регресії: Y= 8,917+0,583*Х.

Коефіцієнт парної кореляції:

ЧИСЛИТЬ 2296.

ПРАПОРІВ 2522.

R 0,91.

Середня відносна помилка прогнозирования:

E= 4,43 439.

Диаграмма6.

25 23 23,5.

27 24 24,67.

30 27 26,42.

35 27 29,33.

36 32 29,92.

38 31 31,08.

39 33 31,67.

41 35 32,83.

42 34 33,42.

45 32 35,17.