Фрактальная розмірність стримерных каналів

Фрактальная розмірність стримерных каналов

Балханов Василь Карлович Бурятский НЦ ЗІ РАН, р. Улан-Удэ Тремя незалежними методами виміряти фрактальная розмірність площинною проекції стримерных каналів. За підсумками фрактального обчислення скейлинговые показники повної довжини всередині виділеної області й числа розгалужень стримерных каналів виражаються через фрактальную размерность.

Введение

У останнім часом активізувалося вивчення стримерных розрядів — мережі каналів, які виникають за електричному пробое в діелектриках (повітрі, полімерних ізоляторах, фотоемульсії) [1,2]. Вивчення стало особливо актуальним у зв’язку з використання кабелів з полімерної ізоляцією [2]. Проте відзначається, що кількісної теорії, яка описує зростання розгалуження електричного пробою, досі пір немає. У статті геометричну конфігурацію розрядних каналів, зростання кількості каналів, їх галуження запропоновано розглядати, як фрактальные розгалужені об'єкти і описувати їх кількісно з допомогою поняття фрактальной розмірності [3−5]. Електричний пробою — видимий в оптичному діапазоні стримерный канал в діелектриках, освічений локально зростаючим електричним полем. Пробою виникає, коли на невелику ділянку віддаленій від зарядженої підкладки подається таке високу напругу, що відбувається власне електричний пробою. Під таке визначення підходять розряди блискавок повітря, часткові розряди в эпоксидной смолі, плазмові структури в фотоемульсії. У згаданому сенсі стримерные канали ставляться до класу універсальності, залежні лише двох безрозмірних величин: фрактальной розмірності і розмірності простору, у якому відбувається процес. М. Д. Носковым та інших. [2] прямим виміром, було встановлено, що фрактальная розмірність D часткових розрядів лежать у межах 1.45 ¸ 1.55. Н. А. Поповим [1] визначалася фрактальная розмірність коронного розряду, їм отримано, що D = 2.16 0.05. Для розряду блискавок також вимірювалася фрактальная розмірність, у своїй встановлено, що у масштабах від десятків метрів і від D = 1. Бачимо істотну відмінність у значеннях для розмірності. У зв’язку з цим у статті трьома незалежними методами виміряти фрактальная розмірність планового малюнка системи стримерных каналів (рис. 1) [1].

.

Рис. 1. Система микроразрядов, котрі перетинають диэлектрическую фотопластинку [1].

Используемые методи є результатами фрактального обчислення [6], основи останнього для связности викладу представлені у наступній частини. Переказ у статті теорії фрактального обчислення також пов’язана з тим, що із перших книжок Б. Мандельброта і закінчуючи науковими роботами того, пишуть «- структури, які мають у цьому чи іншому сенсі просторовим самоподобием — «. Ми дамо замкнуту систему аксіом фрактального обчислення, і тепер потрібно говоритиме «- у цьому чи іншому сенсі - «.

Аксиомы фрактального обчислення. Фрактальная геометрія, відкрита Б. Мендельбротом 30 років як розв’язано, полягає в експериментальному факті, що загалом разі довжина L довільній кривою (яка то, можливо зламана у будь-якій точці) статечним чином від масштабу виміру d :

L = З d 1-D. (1).

Здесь З — типовий для фрактальной геометрії розмірний множник, свій кожної кривою, D — фрактальная розмірність. Для звичайних, гладких ліній D = 1 й одержуємо «справжню «довжину. Якщо крива щільно заповнює всю площину (простий приклад — броуновская траєкторія), то тут для неї D = 2. Формулу легко перевірити, намалювавши синусоподобную лінію і, змінюючи розчин циркуля, виміряти довжину такий лінії. З появою формули Мандельброта (1) одразу було осмислене, що фрактальные лінії масштабно — інваріанти (самоподобны). Самоподобие означає, що і вся лінія, і будь-який її ділянку мають одному й тому ж размерностью. Якщо лінію збільшити l раз, то тут для виміру нової довжини l L досить використовувати масштаб, рівний ld, т. е.

l L = C (l d) 1-D. (2).

Формулы Мандельброта і умова самоподоби у вигляді (2) досить взяти як аксіом фрактального обчислення, тоді суто логічним шляхом можна було одержати майже всі відомі на останнім часом результати. Ми вживають щодо «розгалуженою структурам », до яких належать і мережі стримерных каналів.

Разветвленные структури. Для побудови розгалужених структур візьмемо лінію і разрежем в безліч нерівнозначних відрізків. Розкидавши ці відтинки по площині, як разів, і отримуємо приклад шуканих структур. Проведемо в (2) заміну позначень, це аналогічна тій, що шестиметрову довжину спочатку вимірюємо двометровим масштабом, кладучи її тричі. Але й використовувати триметровий масштаб, прикладаючи його може лише двічі. Отже, переобозначим l на 1/R, де R вважаємо лінійним розміром виділеної області. Тоді з (2) отримуємо L = Cxd 1-DxR D. Прибравши все невизначені масштабні множники, находим:

L ~ R D. (3).

Применение формули (3) до визначення фрактальной розмірності розгалужених структур ось у чому. На плановому малюнку стримерных каналів виділяється деяка область (на рис. 1 це окружність радіусом R), і підраховується загальна довжина всіх каналів, які у аналізовану область. Тож ми отримуємо перші значення L1 і R1. Далі виділяється інша область (трохи більше початкової), і після підрахунку виходять інших значень L2 і R2. Отже, у результаті ми маємо набір значень L і R, якими методом лінійної регресії будуємо пряму на вісях Ln L і Ln R. Кутовий коефіцієнт дорівнюватиме фрактальной розмірності D. Отже було встановлено, що з стримерных каналов.

D = 1.52 0.03.

Для поліпшення статистики нами вибиралися різні форми областей розбивки — від прямокутних до круглих, і навіть змінювалося і саме число таких разбиений.

Здесь ми виклали перший із використовуваних методів виміру фрактальной розмірності. Другий метод виміру полягає у підрахунку числа N перетинань ветвлениями стримерных каналів периметра області. На рис. 1 кордоном виділеної області є окружність радіусом R. Легко порахувати, що з зображеного малюнку випадку N = 53. Варіюючи радіус R, знаходимо, що N і R пов’язані статечним (скейлинговым) законом:

N ~ R n, (4).

с показником n = 1.012 0.05. Апарат фрактального обчислення [6] дозволяє зв’язати n з размерностью D, именно:

n = 2 (D -1). (5).

Качественно результат можна обгрунтувати так. Для звичайних дифференцируемых ліній число N на повинен залежати від R, тобто. при D = 1 має бути n = 0. Якщо лінія заповнює всю площину, тобто. D = 2, то N буде квадратично залежати від області, тобто. n = 2. Припускаючи лінійну залежність між n і D, дійшли результату (5). При суворому підході необхідно використовувати поняття фрактальной похідною, у разі від статечної функції (3) з нормирующим множником 1/R 2:

..

А і є формула (4) який з показником (5). Тепер знаходимо D = 1 + n / 2 = 1.506 0.005.

Приступимо до третьої методу виміру величини D. Метод грунтується на аналізі графіка на рис. 2 [2], де представлена залежність зростання кордону канальних променів від.

.

Рис. 2 Залежність довжини дендрита від часу зростання. Суцільна крива — експеримент, штриховая — моделирование.

времени. Пропорційно згодом збільшується й кількість розгалужень, тобто. N ~ t і з (4) слід, что.

R ~ t 1/n. (7).

На інтервалі часів від 1 хв до 6 хв з мал. 2 слід, що R ~ t 0.943, звідки n = 1.06 і D = 1.53.

Обсуждение. Трьома незалежними методами отримана фрактальная розмірність площинною проекції стримерных каналів, представлених на рис. 1. Отримані значення 1.53, 1.52 і 1.52 збігаються з цими роботи [2]. Узгодженість значень для розмірності свідчить про працездатність запропонованих вище аксіом фрактального обчислення. Такої рис. 2 є і результати у роботі [1], де полечен наступний закон для числа розгалуження: N ~ R 1.18. З неї слід, що D = 1.59, тобто. близька до наших значенням розмірність. З енергетичних міркувань Н. А. Поповим [1] наведено D = 2.16, відмінність цього значення від 1.59 вказує, що обсяг D = 2.16 стосується лише скейлинговому показнику і ще доведеться завдання зв’язати її з фрактальной размерностью.

Полученный в роботах [1,2] і ми усереднений результат D = 1.53 свідчить про виконання закону класу універсальності для електричних розрядів у різних діелектричних средах.

Список литературы

Попов Н.А. Дослідження просторової структури ветвящихся стримерных каналів коронного розряду // Фізика плазми, 2002, тому 28, ¦ 7, з. 664−672.

Носков М.Д., Малиновський О. С., Закк М., Шваб А. Й. Моделювання зростання дендритов і часткових розрядів в эпоксидной смолі // ЖТФ, 2002, тому 72, вип. 2, з. 121−128.

Федер Є. Фракталы. — М.: Світ, 1991, 254 з.

Шредер М. Фракталы, хаос, статечні закони. — Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка », 2001, 528 з.

Божокин С.В., Паршин Д. А. Фракталы і мультифракталы. — Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка », 2001, 128 з.

Балханов В. К. Введення у теорію фрактального обчислення. — Улан-Уде.: Вид. Бурятської держ. ун-ту, 2001, 58 з.