Значення малюнка при вивченні геометрії

Значення малюнка при вивченні геометрії дуже велике, особливо при розв’язуванні задачі із взаємозв'язаними між собою елементами фігури, в тому числі з додатковими побудовами.

Малюнкам просторових фігур належить першорядна роль у розвитку просторової уяви, просторового мислення, такого необхідного в умовах науково-технічного прогресу.

При розв’язанні задач на переріз многогранника площиною малюнок і є розв’язком і відповіддю на поставлене в задачі питання.

Малюнок при цьому буде розглядатися як ілюстрація, як наочна графічна модель, яка допомагає з’ясовувати особливості даної просторової фігури. При цьому спотворення, зумовлені проекцією на площину, ми перестаємо помічати.

Побудова перерізів многогранників здійснюється методом зовнішніх або внутрішніх слідів і базується на використанні понять слідів прямої в площині та слід січної площини в даній площині, правил паралельного і центрального проектування, а також тверджень:

• 1. Якщо дві точки прямої належать даній площині, то всі точки цієї прямої належать даній площині.
• 2. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
• 3. Лінія перетину двох площин відома, коли відомі дві спільні точки цих площин.
• 4. Коли пряма, що лежить поза площиною, паралельна якій-небудь прямій, що лежить в площині, то ця пряма паралельна самій площині.
• 5. Коли через дану пряму, яка паралельна даній площині, провести площину, що перетинає дану площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.
• 6. Коли паралельні площини перетинають третьою площиною, то лінії їх перетину паралельні.
• 7. Площини паралельні, коли дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини.
• 8. Пряма перпендикулярна до площини, коли вона перпендикулярна до двох прямих, що лежать у цій площині й проходить через точку перетину даної прямої і площини.
• 9. Якщо площина перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.
• 10. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою.
• 11. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні між собою.
• 12. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.
• 13. Відрізки паралельних прямих, що лежать між двома паралельними площинами, які перетинають зазначені прямі, рівні між собою.
• 14. Якщо деякі прямі належать січній площині, то слід останньої в площині грані многокутника проходить через сліди зазначених прямих у цій площині.

При вивченні теми " Перерізи многогранників площиною" особливу увагу потрібно приділити вмінню будувати точку перетину (слід) прямої з площиною та пряму (слід) перетину двох площин, одна з яких задана трьома точками. Тому доцільно розпочати викладання теми з вивчення двох базових задач.

ЗАДАЧА 1. Побудувати слід перетину прямої АВ з площиною а, якщо пряма задана точками, А і В.

Побудова: Побудову почнемо з зображення площини б у вигляді паралелограма (мал.1) Якщо умова задачі передбачає, що АВ не паралельна до б, то точки, А і В розташуємо на різній відстані від площини.

Мал.1.

Проведемо додаткову побудову: знайдемо проекції точок, А і В на площину б (А 1, В 1). Для цього проведемо умовні перпендикуляри з точок, А і В на площину б (один з них має бути коротшим за другий). Отже, основи цих перпендикулярів і будуть проекціями точок, А і В на площину б. Тоді пряма A1B1 є проекцією прямої АВ на дану площину. Тому спільна точка прямої АВ і площини б має лежати на прямій A1B1. Отже, досить лише знайти точку перетину прямих АВ і A1B1 і вона буде шуканою точкою (слідом) перетину прямої АВ і площини б.

ЗАДАЧА 2. Побудувати слід перетину площини (ABC), що задана точками А, В, і С з площиною б.

Побудова: Зображуємо площину б як паралелограм (мал.2) і три точки А, В і С на різній відстані від б. Проводимо міркування: Дві площини перетинаються по прямій. Для побудови цієї прямої досить знайти дві її точки, що належать обом даним площинам. Як їх знайти? Площина (ABC) задана трьома точками А, В і С, отже, можна вважати, що на ній задано дві прямі АВ і АС. Спільні точки прямих АВ і АС з площиною б будуть шуканими точками. Використовуємо міркування задачі 1, щоб побудувати ці точки (Е і F відповідно).

Мал.2.

Пряма EF і є шукана пряма (слід) перетину площин (ABC) і б.