Кількісні методи в управлінні

ЗМІСТ. 2.

1. ОПТИМАЛЬНЕ ВИРОБНИЧЕ ПЛАНУВАННЯ. 3.

1.1 ЛІНІЙНА ЗАВДАННЯ ВИРОБНИЧОГО ПЛАНУВАННЯ. 3.

1.2 ДВОЇСТА ЗАВДАННЯ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ. 4.

1.3 ЗАВДАННЯ Про КОМПЛЕКТНОМ ПЛАНІ. 5.

1.4 ОПТИМАЛЬНЕ РОЗПОДІЛ ІНВЕСТИЦІЙ. 6.

2. АНАЛІЗ ФІНАНСОВИХ ОПЕРАЦІЙ І ІНСТРУМЕНТІВ. 9.

2.1 ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ ЗА УМОВ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ. 9.

2.2 АНАЛІЗ ДОХІДНОСТІ І РИЗИКОВАНОСТІ ФІНАНСОВИХ ОПЕРАЦІЙ. 11.

2.3 СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ГРОШОВИХ ПОТОКІВ. 13.

2.4 ЗАВДАННЯ ФОРМУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ. 17.

3. МОДЕЛІ СПІВРОБІТНИЦТВА І КОНКУРЕНЦІЇ. 19.

3.1 СПІВРОБІТНИЦТВО І КОНКУРЕНЦІЯ ДВОХ ФІРМ НА РИНКУ ОДНОГО ТОВАРУ. 19.

3.2 КООПЕРАТИВНА БИМАТРИЧНАЯ ГРА ЯК МОДЕЛЬ СПІВРОБІТНИЦТВА І КОНКУРЕНЦІЇ ДВОХ УЧАСТНИКОВ. 20.

3.3 МАТРИЧНА ГРА ЯК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦІЇ І СПІВРОБІТНИЦТВА. 22.

4. СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНА СТРУКТУРА СУСПІЛЬСТВА. 24.

4.1 МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ БАГАТСТВА У СУСПІЛЬСТВІ. 24.

4.2 РОЗПОДІЛ СУСПІЛЬСТВА ПО ПОЛУЧАЕМОМУ ДОХОДУ. 26.

1. Оптимальний виробниче планирование.

1.1 Лінійна завдання виробничого планирования.

48 30 29 10 -удільні прибыли.

добові норми витрат- 3243 198.

2312 96 — запаси ресурсов.

6510 228.

Означимо x1, x2,x3,x4 — число одиниць 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукції, які плануємо зробити. У цьому можна використовувати лише наявні запаси ресурсів. Метою є отримання прибутку. Отримуємо таку математичну модель оптимального планирования:

P (x1,x2,x3,x4) =48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 —> max.

3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4.

2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4.

6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4.

x1,x2,x3,x4>=0.

Аби вирішити отриманої завдання у кожне нерівність додамо неотрицательную зміну. Після цього нерівності перетворяться на рівності, це що додаються перемінні називаються балансовими. Виходить завдання ЛЗ на максимум, все перемінні неотрицательны, все обмеження є рівності, це і є базисний набір змінних: x5 — у 1-му рівність, x6 — у 2-му і x7 — в 3-м.

P (x1,x2,x3,x4)=48*x1+30*x2+29*x3+10*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7 —>max.

3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4+ x5 =198.

2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4+ x6= 96.

6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4 + x7=228.

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0.

48 30 29 10 0 0 0 Hi /qis.

З Б М Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7.

0 Х5 198 3 2 4 3 1 0 0 66.

0 Х6 96 2 3 1 2 0 1 0 48.

0 Х7 228 6 5 1 0 0 0 1 38.

Р 0 -48 -30 -29 -10 0 0 0.

0 Х5 84 0 -0.5 3.5 3 1 0 -0.5 24.

0 Х6 20 0 1.33 0.67 2 0 1 -0.33 30.

48 Х1 38 1 0.83 0.17 0 0 0 0.17 228.

Р 1824 0 10 -21 -10 0 0 8.

29 Х3 24 0 -0.14 1 0.86 0.29 0 -0.14.

0 Х6 20 0 1.43 0 1.43 -0.19 1 -0.24.

48 Х1 34 1 0.86 0 -0.14 -0.05 0 0.19.

Р 2328 0 7 0 8 6 0 5.

Оскільки оціночні коефіцієнти неотрицательны, то отримано оптимальне рішення. Оптимальний рішення: x1=34, x2=0, x3=24, x4=0, x5=0, x6=20, x7=0. Максимум цільової функції Pmax= 2328.

Ресурси 1 і трьох є «вузьким місцем» виробництва, бо за виконанні оптимального плану їх використовують повністю (без остатка).

1.2 Двоїста завдання лінійного программирования.

вихідна завдання двоїста задача.

CX—>max YB—>min.

AX=0YA>=C, Y>=0.

P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 —>max P. S= 198*y1+96*y2+228*y3 —>min.

3*x1+2*x2+4*x3+3*x4=48.

2*x1+3*x2+1*x3+2*x4=30.

6*x1+5*x2+1*x3+0*x4=29.

x1,x2,x3,x4>=03*y1+2*y2+0*y3>=10.

y1,y2,y3>=0.

Перший спосіб:

За першим теоремі двоїстості, оптимальні рішення двоїстої завдання (y1,y2,y3) рівні оцінним коефіцієнтам при балансових змінних останньої симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А екстремум двоїстої завдання Smin=2328.

Другий способ:

За другою теоремі двоїстості, якщо якась компонента оптимального рішення вихідної завдання відрізняється від нуля, то відповідне їй обмеження двоїстої завдання їхньому оптимальному рішенні виконується, як суворе рівність. Якщо ж якесь з обмежень вихідної завдання їхньому оптимальному рішенні виконується, як суворе нерівність, то відповідна компонента оптимального рішення двоїстої завдання обов’язково дорівнює нулю.

Оскільки балансова змінна другого обмеження (х6) відрізняється від нуля, отже захід виконується на оптимальному рішенні як суворе нерівність, тож у2=0. Оскільки х1 і х3 відмінні від нуля, то отримуємо таку систему рівнянь: 3*у1 +6*у3 = 48.

4*у1 + у3 = 29.

Вирішуючи їх, отримуємо оптимальні рішення двоїстої завдання: у1=6, у2=0, у3=5.

1.3 Завдання про комплектном плане.

Маємо співвідношення: x3: x1= 1; x4: x2=3 чи х3=х1; х4=3*х2. Підставивши ці висловлювання, одержимо завдання ЛЗ з цими двома переменными.

77*х1 +60*х2 —> max.

7*х1 +11*х2? 198.

3*х1 + 9*х2? 96.

7*х1 + 5*х2? 228.

Наносимо ці обмеження на площину х1×2 й шукаємо на допустимому безлічі максимум функції. І тому будуємо градієнт grad (77,60). Бажана точка з координатами х1=0; х2?28.29 і максимум прибутку max?2178.

1.4 Оптимальний розподіл инвестиций.

Маємо: 4 фірми, інвестиції у вигляді 700 тис. рублів. За цією 4 фірмам його потрібно розподілити. Розмір інвестицій кратний 100 тис. рублів. Ефект від напрямку i-го фірмі інвестицій у розмірі m (сотень тис. рублів) виражається функцією fi (m). Приходимо до задаче:

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)—>max.

x1+x2+x3+x4.

x1,x2,x3,x4>=0.

де xi — невідомий розмір інвестицій i-го фірмі. Це завдання вирішується методом динамічного програмування: послідовно шукається оптимальне розподіл для k=2,3 і 4 фірм. Нехай першим двом фірмам виділено m інвестицій, позначимо z2(m) величину інвестицій 2-ї фірмі, коли він сума f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0=V2, 0max y/V2=x1x1 + x2 —>min.

2*y+6*(1-y)>=V2,(1-y)/V2=x2 2*x1 +6*x2>=1.

7*y+1*(1-y)>=V2,7*x1 +1*x2>=1.

00.2 розподіл багатства називається небезпечно несправедливим — це переддень соціальних заворушень. З функції d (z) можна було одержати іншу функцію w (z), вона повідомляє частку громадського багатства, якою володіє z-я частина найбагатших (w (z)=1-d (1-z)). Ще одного функцію можна з d (z): S (x)=d (½+x)-S (½-x). Вона показує, що частину майна товариства, яка багатшими, ніж (?-x) найбідніших, але біднішими (?-x) найбагатших, володіє S (x)-й частиною всього громадського багатства. Графік функції P. S розташований лише над відрізком [0, ½]. Кажуть, де є середній клас, якщо d (¾)-d (¼)>=½ чи, що таке саме S (¼)>=½ .

Дано: d (z)= exp ((7/2)*ln (z)).

Як бачимо на графіках d (0,5)=0,09, тобто. половина найбідніших членів товариства володіє лише 9% всього громадського багатства. Обчислимо коефіцієнт Джинни:

? — J=(0?1 (exp (7/2*ln (z)) dz)=0,22, отже J=0,28. Оскільки 0,28>0,2, такий розподіл багатства у суспільстві небезпечно несправедливо.

s (x)= exp ((7/2)*ln (½+х)) — exp ((7/2)*ln (½-х)).

w (z)= 1 — exp ((7/2)*ln (1-z)).

Оскільки s (0,25)=0,36 і 0,36.

Похідні функцій d (z) і w (z):

4.2 Розподіл суспільства по получаемому доходу.

Нехай F (z) є частка мають місячний дохід менше z стосовно всім, у яких який-небудь грошовий дохід (всіх таких членів товариства назвемо платниками податків). Функцію F (z) цілком правильно трактувати як функцію розподілу випадкової величини I — місячний дохід випадкового платника податків. С.в. I вважатимуться безупинної. Функція F (z) то, можливо цікава податкової інспекції. З допомогою функції F (z) можна знайти кілька цікавих характеристик суспільства. Наприклад, середній дохід, які перебувають як інтеграл від 0 нескінченно функції z*dF (z). Інший як і характеристикою є коефіцієнт Рейнбоу, які перебувають як ставлення рішень рівнянь F (z)=0.9 і F (z)=0.1, тобто. цей коефіцієнт показує ставлення доходів 10% членів товариства з найвищими доходами до доходів 10% із найнижчими доходами. Якщо цей показник перевищує 20, такий розподіл доходів називається несправедливим, інакше нормальним.

Дано: F (z)= 1 — exp (6*ln (500/(500+z))).

Як бачимо на графіці 1, F (9)=0,1 і F (234)=0,9. Це засвідчує тому, що 10% низькодохідних членів товариства мають дохід трохи більше 9 у.о., а 10% високодохідних мають прибуток понад 234 у.о. Якщо узяти, ці числа як ставлення, одержимо Коефіцієнт Рейнбоу. Оскільки 234/9=26 і 26>20, такий розподіл доходів у даному суспільстві вважатимуться несправедливым.