Математическая логіка в молодших классах

Введение

Глава I. Історичні і психолого-педагогічні основи теми «Математичні слова пропозиції. Розвиток логічного мислення при вивчення елементів алгебри і математичної логіки.» § 1. Історія виникнення математичної логіки й алгебри. § 2. Математичний мову. Поняття математичних словах та пропонування. § 3. Аналіз завдань шкільного підручника другого класу. Система додаткових вправ в розвитку логічного мислення учнів. Глава II. Методика вивчення елементів алгебри і математичної логіки. § 1. Методика вивчення числових висловів, висловів зі змінними, числових рівностей і нерівностей, рівнянь. § 2. Різні трактування запровадження понять алгебри і математичної логіки. § 3. Розробка конспектів уроків на тему. § 4. Матеріал для позакласної роботи. § 5. Експеримент. Укладання.

Литература

.

Наука алгебри і алмукабалы — це наука про правилах,.

За якими дізнаються числові невідомі по.

відповідним їм известным.

Ал-Каши.

Останніми роками у зв’язку з диференціацією навчання, появою шкіл різної профільної спрямованості, зокрема гуманітарних, технічних, економічних, природничо-математичних та інших по-новому стають питання про цілі, змісті форм та методів навчання математиці у шкільництві, про місце й ролі кожного шкільного предмета.

У 1992 року було прийнято закон Російської Федерації про утворення, друга стаття якого присвячена принципам державної політики у сфері освіти. У ньому говориться про гуманістичному характері освіти, пріоритеті її загальнолюдських цінностей життя і здоров’я людина, вільного розвитку особистості. Отже, Закон відкрив широкі перспективи для перебудови середньої освіти, змогу впровадження різної форми дифференцируемого навчання у практику роботи школы.

Психологічний аспект диференціації навчання пов’язані з дослідженнями у сфері диференціальної психологии.

Дослідження проблеми індивідуалізації і диференціації навчання з педагогічних позицій присвячені роботи Ю. До. Бабанского, І. Еге. Унт і інших. Вони видаються системи навчання, відповідальні уподобань учнів і створені задля розвиток виробництва і формування різних сторін особистості учащихся.

У перелічених роботах ставилися і вирішувалися важливі спільні психологовиховні та методичні проблеми індивідуальних особливостей учнів і диференційованого навчання. У той самий час потреби сучасної школи ставлять перед методою викладання математики нові завдання, пов’язані з диференціацією обучения.

Необхідні нові навчальні посібники, методичні розробки які враховували б специфіку таких класів, та заодно зберігали досить загальний рівень математичної освіти у, досягнутого вітчизняної школой.

Усе вище сказане визначило актуальність исследования.

Об'єктом дослідження є процес навчання математиці у перших классах.

Предметом дослідження є процес навчання алгебраическому материалу.

Наукова проблема дослідження полягає у обгрунтуванні та розробки деяких методичних положень алгебраического материала.

Метою дослідження є розробка методики формування умінь по темі «Алгебраїчний материал».

Ця тема обрано мною із єдиною метою уточнити і поглибити знання про елементи алгебри і математичної логики.

У перші історія російської школи відповідність до нової програмою в початковий курс математики включені елементи алгебри. Учні 1 — 3 класів маємо отримати початкові інформацію про математичних висловлюваннях, числових равенствах і неравенствах, ознайомитися з буквеної символікою, з перемінної, навчити вирішувати нескладні рівняння і неравенства.

Алгебраїчний матеріал вивчається, починаючи з першого класу у тісному зв’язки Польщі з арифметичним. Запровадження елементів алгебри сприяє узагальнення понять про кількість, арифметичні дії, математичних відносинах і водночас готувати дітей до вивчення алгебри у таких классах.

Навчаючись один — 3 класах діти маємо навчитися читати і записувати висловлювання, засвоїти правила порядку виконання дій у висловлюваннях містять дві, і більш дії, практично ознайомитися з перетворенням висловів з урахуванням використання вивчених властивостей арифметичних действий.

Робота над вираженням був із вивченням самих діянь П. Лазаренка та надає великий вплив осіб на володіння школярами такими поняттями, як рівності, нерівності, рівняння. І тому, недостатньо ясне уявлення про найпростіших висловлюваннях сумі і різниці двох чисел є причиною помилок і під час первоклассниками низки завдань. Тільки глибоке розуміння структури висловлювання й тверде знання правил порядку дій можуть попередити подальше не розуміння предмета.

Усе це зобов’язує до потреби розробки системи вправ по формуванню поняття висловлювання у учнів початкової школи з урахуванням виникаючих трудностей.

Насправді вираженням іноді називають послідовність математичних символів, що включає знаки відносин: «>», «90: 10; з заданих висловів випишіть лише вірні: 7 + 3· 5 = 22, (7 + 3)· 5 = 22, 7 + 3· 5 = 50 тощо. буд. Звісно, у тих випадку повинна бути про равенствах і неравенствах, що є конкретними видами висловлювань. Вище наведений приклад свідчить про поверхневих знаннях вчителя, що, безумовно, позначиться на знаннях учнів. Тому і є підстави стверджувати, що нечітке розуміння педагога, начебто, елементарного матеріалу можуть призвести дітей до нерозумінню і противоречиям.

Практична значимість дослідження залежить від того що він розробити й подати проверенны:

1. Системи завдань для теми «Алгебраїчний матеріал», зокрема: усних, опорних, стандартних, підвищеної труднощі, нестандартних, дослідницьких, занимательных.

2. Розробка робіт, вкладених у розвиток умений.

Глава I.

Історичні і психолого-педагогичекие основи теми «Математичні слова і такі пропозиції. Розвиток логічного мислення при вивчення елементів алгебри і математичної логики.».

§ 1. Історія виникнення математичної логіки й алгебры.

Хто хоче обмежиться справжнім, не повідомляючи минулого, той ніколи їх зрозуміє …

Лейбниц.

Алгебра — одне із великих розділів математики, належить до найстаріших гілок цієї науки. Завдання, і навіть методи алгебри, що відрізняють її з інших галузей математики, створювалися поступово, починаючи з давнини. Алгебра виникла під впливом потреб громадської практики.

Алгебрі передувала арифметика. Характерне відмінність алгебри від арифметики у тому, що у алгебру вводиться невідома величина. Натяк ж на таку трактування арифметичних завдань вже є в древне — єгипетському папірусі Ахмеса (2000 — 1700 до зв. е.), де бажана величина називалася словом «купа» і позначається відповідним знаком-иероглифом.

На початку 20 століття вони були розшифровані численні математичні клинопису й з найдавніших культур — вавилонській. Це відкрило світу висоту математичної культури що існувала за 4000 років до відома наших дней.

Перші загальні твердження про тотожних перетворення зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI століття до зв. э.

Серед математиків Стародавню Грецію було винесено висловлювати все алгебраїчні затвердження в геометричній формі. Більшість завдань вирішувалося шляхом побудов циркулем і линейкой.

У Єгипті вирішували завдання способом «аха», а Вавилоні завдання вирішувалися по суті з допомогою рівнянь. Тільки той час не вміли запровадити у математиці літери. Тож замість літер брали числа, показували на числах, як вирішувати проблему, і потім вже всі схожі її у завдання вирішували тим самим способом.

Багато рівняння вмів вирішувати грецький математик Диофант, що навіть застосовував навіть літер для позначення невідомих. Але по-справжньому метод рівнянь сформувався до рук арабських учених, першим написав книжку на арабському мові про рішення рівнянь Мухаммед Ібн Муса ав — Хорезми. Назва вона не мала дуже дивне — «Коротка книга про обчисленні ав — джабры і ав — мукабалы.» У цьому вся назві вперше пролунало відоме нам слово «алгебра».

Один перський математик викладав у віршах позначення слів «ав — джабра» і «ав — мукабала».

Ал — джабра.

За позитивного рішення уравнения.

Якщо частини одной,.

Байдуже какой,.

Зустрінеться член отрицательный,.

Ми до обох частям,.

З цією членом сличив,.

Рівний член придадим,.

Тільки з знаком іншим, ;

І знайдемо результат нам желательный.

Ал — мукабала.

Далі дивимося в уравнение,.

Можна ль зробити приведенье,.

Якщо члени у ньому подобны,.

Зіставити їх удобно,.

Віднявши рівний член з них,.

До одного наводимо их.

Отже, назва «ав — джабра» носила операція перенесення негативних членів із частині рівняння до іншої, але з позитивним знаком. Російською це слово означає «заповнення». Тож у Іспанії, що довго була під арабським пануванням, слово «алгебрист» означало не математика, а … костоправ.

А слово «ав — мукабала» означало приведення подібних членів. Воно не таке употребимое як «ав — джабра» і про неї пам’ятають лише історики науки.

Невдовзі почали вивчення складних рівнянь, та їх успішному рішенню перешкоджало те, що ні застосовували літер. Але невдовзі рівняння, якими займалися італійські і німецькі математики, стали настільки складними, що літер виявилося до них підійде. І почалося впровадження літер у алгебру.

З VI століття центр математичних досліджень переміщається до Індії і Китай, країни Близького Сходу, і Середню Азію. Індійські математики використовували негативні числа і вдосконалили буквенную символику.

У Західної Європи вивчення алгебри почалося XIII столітті. Однією з великих математиків цього був італієць Леонардо Пезанский. Його «Книжка абака» — тракт, який містив відомостей про арифметиці і алгебрі до квадратних рівнянь включно. Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття XVI столітті формули для рішення кубічного рівняння. Наприкінці XVI століття французький математик Ф. Виета ввів літерні позначення як для невідомих, але й довільних постоянных.

Розвиток буквеної символіки дозволило встановити загальні затвердження, що стосуються алгебраїчних рівнянь. Наприкінці XVIII століття було доведено, що будь-яке алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. Це твердження називається основний теми алгебры.

На початку ХІХ століття алгебра отримала самостійне обгрунтування, не яка спирається геометричні поняття. Отже, протягом ХІХ століття в математиці виникли різновиди алгебр.

У сфері викладання арифметики Росія ХІХ столітті створила свою передову математичну школу, далеко випередивши у сенсі західноєвропейську школу. Алгебра як дисципліна більш абстрактна опинилася у залежить від формально — схоластичних тенденций.

Програми курсу алгебри у першій половині ХІХ століття вражають своєю громосткоcтью. Великий російський геометр успішно викладав математику в гімназії та, крім підручника геометрії, створив навчальний посібник з алгебрі. У 1985 року М. І. Лобачевський подав до Казанського університету рукопис «Алгебра». Також над алгебраїчними питаннями працюють, і такі математики як У. А. Евтушевский («Збірник арифметичних завдань») У першій частини, якої поставлено завдання запровадження «алгебраического мови»; перехід до буквеним позначенням від числових формул завдань, П. Л. Чебышев («Керівництво алгебри») тощо. д.

Початок нової доби внесло суттєві корективи в викладання алгебри. Передова педагогічна думку визнала, що у курс алгебри повинні бути включені: ідеї перемінної величини, поняття функции.

Історичну основу сучасної логіки утворюють дві теорії дедукції, створені в IV столітті до зв. е. Давньогрецькими мислителями: одна — Арістотелем, інша — його сучасниками Мегарской школи. Переслідуючи одну мета — знайти «загальнозначущі» закони логосу, про які казав Платон, вони, у зв’язку, хіба що поміняли вихідні шляху до цієї цели.

Аристотель яка «Топіка» як доказ сформулював основне правило літочислення висловлювань — правила «відділення укладання». На цьому шляху він впровадив поняття висловлювання як істинної чи удаваної промови, відкрив атрибутивную форму промови — як затвердження чи заперечення «чогоабо про щось», визначив просте висловлювання як атрибутивне ставлення двох термінів, відкрив ізоморфізм атрибутивних і об'єктних відносин, аксіому і правило силлогизма.

Логічні ідеї мегариков були асимільовано у філософській школі стоїків. У творах стоїків логічні висловлювання передують Арістотелевої силлогистики, оформляясь до системи правил побудови і правил виведення высказываний.

Эпикура — остання найважливіша для історії логіки школа в античності. У суперечці зі стоїками епікурейці захищали досвід, аналогію, індукцію. Вони стали початком індуктивної логіці, вказавши, в ролі що суперечить прикладу в проблемі обгрунтування індукції і, сформулювавши ряд правил індуктивного обобщения.

Епікурейської «каноникой» закінчується історія логічного думки ранньої античності. На зміну приходить пізня античність. Її внесок у логіку обмежується перекладацькій діяльністю пізніх числа перипатетиків у і неоплатоников.

Як самостійна наука логіка розвивається лише країнах арабської культури (VII — XI століття). Оригінальна середньовічна логіка, відома під назвою «logica modernorum» виникає лише XII — XIII веке.

Наступні двоє століть — епоха відродження для дедуктивної логіки були епохою кризиса.

У ХІХ — XX столітті у працях Дж. Буля виникає алгебраїчна логіка. Розвивалася вона у роботах Ч. Пірса, П. З. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гільберта та інших. Основним предметом алгебраїчній логіки стали висловлювання, міркування. Під висловлюваннями розуміється кожне пропозицію, щодо якого можна буде стверджувати, істинно воно чи ложно.

У алгебраїчній логіці для позначення істинності вводиться символ І, а для позначення помилковості - символ Л. Часто замість цих символів вживаються числа 1 і 0.

Можна сміливо сказати, що математична логіка вивчає підстави математики, принципи побудови математичних теорий.

Основним предметом математичної логіки є будування вивчення формальних систем. Центральним сукупно це дає, доведена в 1931 року австрійським математиком Геделем теорем про неповноті, яким стверджується, що з будь-який «досить розумної» формальної системи існують нерозв’язні в ній пропозиції, тобто таких формули Хіба ні сама формула А, ні її заперечення немає вывода.

§ 2 Математичний мову. Поняття математичних словах і предложениях.

Коли ми пишемо твір, лист, виступаємо зборах, то своїх поглядів висловлюємо з допомогою пропозицій. Читаючи книжку, статтю, ми знову зустрічаємося про те, що міркування є ланцюжок деяких предложений.

Вивчаючи математику ми теж користуємося пропозиціями, які можна записані як у природно (російському) мові, і на математичному, з використанням символів (3 + 4 · 7 = 31). Математичні пропозиції характеризуються змістом потребують і логічного структурой.

Але, як відомо, на будь-яку пропозицію утворюється з слів, а слова — з літер деякого алфавіту. Алфавіт складається з: десяти цифр, для записи чисел в десяткової системі (0,1,2,…, 9); літер латинського алфавіту, для позначення змінних, множин їх елементів (a, b, з, …, z, A, B, З, …, Z); знаків, для записи дій (+, —, ·, , (, та інших.); знаків відносин, для записи пропозицій (=, >, < та інших.). До того ж в символічних записах зустрічаються дужки, запятая.

З положень цих знаків конструюються слова пропозиції. Слово — це такий кінцева послідовність літер абетки, має сенс. Наприклад, запис 7 —: 8 + сенсу немає, і, отже словом назвати її нельзя.

У математиці різняться елементарні і складові пропозиції. Наприклад: «Кількість 56 ділиться на 8» — це елементарне пропозицію. А пропозицію «Кількість 56 парне і ділиться на 8» составное.

Серед суджень, які визначають різні відносини між поняттями, виділяють висловлювання і высказывательные форми. Висловлюваннями називається пропозицію, щодо якого можна буде питання, істинно воно чи ложно.

Наприклад, пропозицію «число 8 парне» є справжнє висловлювання, а пропозицію «3 + 3 = 32» хибне висловлювання. Кожному висловом приписують з двох значень: І (істина) і Л (брехня). Значення І і Л називають значеннями істинності висловлювання. Якщо висловлювання елементарне, його значення істинності визначається з утримання. А коли вона складене, ті значення істинності залежить від значення істинності складових його елементарних висловлювань, з'єднаних з допомогою слів: «і», «чи», частки «не», «якщо…, то…» та інших., які називаються логічними связками.

З’ясуємо де сенс, що у математиці має союз «і». Нехай Проте й У — довільні висловлювання. Створюємо їх, з допомогою союзу «і», складене висловлювання. Назвемо його конъюнкцией і позначимо, А? У (читають: Проте й В).

Конъюнкицией висловлювань Проте й У називається висловлювання, А? У, яке істинно, коли обидва висловлювання істинними, і брехливо, коли хоча одне з цих висловлювань ложно.

Використовуючи це визначення, знайдемо значення істинності висловлювання «Кількість 102 парне і ділиться на 9». Висловлення має форму «Проте й У», де, А — число 102 парне — І, а У — число 102 ділиться на 9 — Л. Отже, і все пропозицію ложно.

З’ясуємо де тепер, який зміст у математиці має союз «чи». Нехай Проте й У — довільні висловлювання. Утворюємо їх із допомогою союзу «чи» складене висловлювання. Назвемо його диз’юнкцією і позначимо, А? У (читають: А чи В).

Диз’юнкцією висловлювань Проте й У називається висловлювання, А? У, яке істинно коли істинно хоча одне з цих висловлювань, і брехливо, коли обидва висловлювання ложны.

Використовуючи це визначення, знайдемо значення істинності висловлювання «Кількість 15 парне чи ділиться на 3», висловлювання має форму «А чи У», де, А — Кількість 15 парне — Л, а У — число 15 ділиться на 3 — І. Отже, і всі пропозицію истинное.

Дуже важливо було знати який із спілок «і» чи «чи» є у пропозиції, інакше може й наприклад таке непорозуміння: Якось раз Катя пішла гуляти з собакою, і повернулася з прогулянки схвильована. Якийсь перехожий дорікнув їх у порушенні правил змісту собак у місті. Листок правила був наклеєний на паркані, і з них наголошувала: собака на прогулянці мусить бути на повідку… в наморднику (шматочок папери після слів «на повідку» був оторван).

Вона спустила собаку з повідця, але залишила в наморднику. У цьому прикладі добре видно роль союзу. Якби був союз «і», перехожий був би прав. Якби союз «чи» було б пава Катя.

Часто у математиці доводиться будувати висловлювання, у яких щось заперечується. Наприклад, дано висловлювання «Кількість 12 просте». Це хибне висловлювання. Побудуємо його заперечення: «Неправильно, що кількість 12 просте». Отримали справжнє висловлювання. Заперечення висловлювання, А позначають? читають: «Не А» чи «Неправильно, що А».

Взагалі, запереченням висловлювання, А називається висловлювання ?, яке істинно, якщо висловлювання, А брехливо, і брехливо, коли, А истинно.

Також складові висловлювання можна отримати роботу з допомогою слів «якщо…, то…». Наприклад: «Якщо куплю квитки, то піду до театру», «Якщо учень отримав на іспиті позитивну оцінку, він здав цей іспит». Висловлювання має форму «Якщо Бо У» і називається імплікацією висловлювань Проте й У (від латинського слова implicatiomecho пов’язують). Импликацию висловлювань Проте й У записують так: А (У і читають «Якщо Бо У». Висловлення, А називають умова імплікації, а висловлювання У — її заключением.

Вважають, що імплікація, А (У істинною є завжди, крім випадку, коли, А істинно, а У ложно.

Та ще і імплікація зворотна даної. Переставивши місцями импликацию двох висловлювань, А (У одержимо У (А. Її називають імплікацією, зворотної імплікації А (У. Наприклад, якщо дана імплікація «Якщо до вас більше 14 років, ви маєте паспорт», то імплікація, зворотна даної, така: «Якщо вже ви маєте паспорт, то, вам більше 14».

Створюємо конъюнкцию двох взаємно зворотних імплікацій, А (У і У (Бо є висловлювання виду (А (У)? (У (А). Ці слова істинно лише тоді, коли висловлювання Проте й У обидва істинними, або обидва хибні. Висловлювання цього виду називають эквиваленцией висловлювань Проте й У і обозначают:

А (У. Запис читають: а) А рівносильне У; б) А тоді й тільки тоді, коли У; в) Якщо ж і лише, якщо В.

Якщо пропозиція, А слід пропозицію. У, та якщо з пропозиції У слід пропозицію Бо кажуть, що пропозиції Проте й У равносильны.

Наприклад, эквиваленция «2 = 3 тоді й тільки тоді, коли 3 < 5» — ?, оскільки брехливо висловлювання «2 = 3».

Всі ці визначення можна записати з допомогою таблиці, званої таблицею істинності. |А |У |А? У |А? У |? |А (У |У (А |(А (В)? (В (А) | |І |І |І |І |? |І |І |І | |І |? |? |І | |? |І |? | |? |І |? |І |І |І |? |? | |? |? |? |? | |І |І |І |.

У математиці часто зустрічаються пропозиції, містять одну чи кілька змінних. Наприклад: Х < 3; Х + У = 8. Ці пропозиції не є висловлюваннями, т. до. щодо їх має сенсу питання, істинними вони або хибні. Але у підстановці значень змінних ці пропозиції в висловлювання (істинні чи ложные).

Пропозиції такого виду називання высказывательными формами чи предикатами. Кожна высказывательная форма породжує висловлювання однієї й тієї ж форми. Высказывательная форма яка містить одну зміну називається одномісному, а дві двох местной.

І, высказывательная форма — цю пропозицію з одного чи декількома перемінними, яке звертається до висловлювання при підстановці до нього конкретних значень переменных.

Серед усіх можливих значень перемінної є ті, які звертають высказывательную форму на справжнє висловлювання. Безліч таких значень змінних називають безліччю істинності высказывательной форми. Наприклад, безліччю істинності предиката Х > 5, заданого на безлічі дійсних чисел, якщо проміжок (5;?).

Означимо безліч істинності высказывательной форми буквою Т. Тоді за визначенням, завжди Т (Х.

Так само як і висловлювання, предикати бувають елементарні і складові. Складові утворюються з елементарних з допомогою логічних связок.

Нехай на безлічі Х заданны два предиката А (х) і В (х). Предикат.

А (х) (В (х), x (Х називають імплікацією даних предикатів. Він обертається в хибне висловлювання лише за тих значеннях x з багатьох Х, у яких предикат А (х) (В (х) щирий. Кажуть що предикат В (х) логічно слід з предиката А (х).

Взагалі якби безлічі Х заданны два предиката А (х) і В (х) і всім відомо, що предикат В (х) логічно випливає з предиката А (х), то предикат В (х) називають необхідною передумовою предиката А (х), а А (х) — достатнім передумовою предиката В (х). Найчастіше слова «необхідна умова» заміняють словами «тільки тоді ми», «в тому случае».

Нами з’ясовано, що з підстановки значень змінних в предикат, отримуємо справжнє чи хибне висловлювання. Але це перетворення можна провести іншим образом.

Якщо перед высказывательной формою «число x кратно 5» поставити слово «всяке», вийде пропозицію «всяке число x кратно 5». Щодо цієї пропозиції можна запитати, істинно воно чи брехливо. Отже пропозицію «всяке число x кратно 5» (x (N) — висловлювання, причому ложное.

Вислів «будь-кого x» з логіки називається квантором спільності по перемінної x і позначається символом (х.

Висловлення «існує x таке, що …» з логіки називається квантором існування по перемінної x і позначається символом (х.

Поруч із словом «всякий» вживають слова «кожен», «будь-який», а замість слова «існує» використовують слова «деякі», «знайдеться», «є», «хоча б один».

Використовуючи слово «певний» у звичайній промови мають на увазі «по меньшой мері один, але не», у математиці ж слово «деякі» позначає «по меншою мері один, але, можливо, і всі». І, якщо задана одномісна высказывательная форма А (х), те що перетворити їх у висловлювання, досить зв’язати квантором спільності чи існування що є у ній зміну. Якщо ж высказывательная форма містить кілька змінних, то перевести їх у висловлювання можна, якщо зв’язати кванторм спільності чи існування що є у ній зміну. Якщо ж высказывательная форма містить кілька змінних, то перевести їх у висловлювання можна, якщо зв’язати квантором кожну зміну. Наприклад, якщо дана высказывательная форма «x > у», то тут для отримання висловлювання треба зв’язати квантором обидві перемінні. Наприклад, ((х)((у) x > у чи ((х)((у) x > у.

Одна важливо вміти як переходити від высказывательной форми до висловом з допомогою кванторів, а й розпізнавати висловлювання, містять кванторы, і виявляти їх логічний структуру.

Часто у висловлюваннях квантор опускається; наприклад, переместительный закон складання чисел записують їх у вигляді рівності а + в = в + а, яке означає, що з будь-яких чисел й у справедливо рівність, а + в = в + бо є переместительный закон складання є висловлювання з квантором общности.

Правдивість висловлювання з квантором спільності встановлюється шляхом докази. Що б переконатися у помилковості таких висловлювань, досить привести контр пример.

Правдивість висловлювання з квантором існування встановлюється при допомоги конкретного прикладу. Щоб переконається в помилковості такого висловлювання, доречно буде навести доказательство.

Поняття: висловлювання, предиката та операції з них дозволяють з’ясувати логічний структуру багатьох тверджень. Цьому сприяє і за її записи символів, що застосовуються у логике.

При вивчення математики найчастіше доводиться розглядати пропозиції, звані теоремами. Хоч би яким було утримання теореми, вона завжди є висловлювання, істинність якого встановлюється при допомоги доказательства.

Отже, теорема — це висловлювання у тому, що з властивості А слід властивість У. Правдивість цього висловлювання встановлюється шляхом доказательства.

З логічного погляду теорема є висловлювання виду, А (У, де Проте й У — высказывательные форми з одного чи декількома перемінними. Пропозиція, А називають умовою теореми, а пропозицію. У — її заключением.

Теореми з, А (У і У (А називаються зворотними одна одній, а теореми, А (У і? (У називаються протилежними друг другу.

Теорему У (? називають зворотної протилежної. Встановлено, що теорема, А (У і B (А рівнозначні, тобто завжди коли істинною є теорема.

А (У, буде істинною є і теорема У (Проте й навпаки, А (У рівносильне B (А. Отриману равносильность називають законом контр позиции.

У математиці крім теорем використовуються пропозиції, звані правилами і формулами.

А, щоб теоремою було зручніше користуватися практично, її формулюють як правил і записують лише формулу, опускаючи все умови, вказаних у теоремі. Такі спрощення дозволяють швидше запам’ятовувати правил і формулы.

§ 3. Аналіз підручника з математики 2-го класу М. І. Моро.

Вивчення числових висловів у другий клас починається з сторінки 9. Тут діти знайомляться з визначенням числові висловлювання. І на закріплення цієї теми в підручнику запропоновані такі вправи: 1. Прочитай вислови й знайди їх значення 90 — 4; 38 + 20. Дане вправу розвиває обчислювальні навички в дітей віком, вміння правильно читати висловлювання. 2. Запиши вислови й знайди їх значення: а) Сума чисел 2 і 9-те; 5 і шість. б) Різниця чисел 16 і аналогічних сім; 14 і шість. Завдання формує вміння записувати числові вислови й розвиває обчислювальні навички. 3. Порівняй висловлювання 45 — 10 * 45 — 8; 18 + 40 * 18 + 30. При виконання цього вправи в дітей віком розвивається логічне мислення. 4. Сума яких однозначних чисел дорівнює 15, 16, 17? Дане вправу розвиває логічне мислення, обчислювальні навички, активізує мислительну діяльність. 5. Складові 18 і 80. Знайди суму. За позитивного рішення даного завдання закріплюються знання таких компонентів як складові з сумою, вміння користуватися ними. 6. Уяви число 8 як суми однакових доданків. Розвиває логічне мислення учнів. 7. Склади завдання выражениям: 2 · 4; 12: 3. Розвиває логічне мышление.

У підручнику багато завдань даних типів, вони відпрацьовують обчислювальні навички учнів, допомагають усвідомити поняття «числові висловлювання», але вони містять елементів цікавості. Однак ж, обмаль вправ вкладених у розвиток логічного мислення. Тому необхідно використовувати додаткові завдання розвиває характеру. Це можуть бути такими завдання: 1. Чи знайдеться серед трьох чисел таке, що є різницею двох інших: а) 4; 8; 4. б) 2; 4; 4. у два; 7; 5. р) 3; 3; 3. 2. Які з висловів мають однакові значення: 480 + 20; 75 + 25; 294 +.

0; 480 — 20; 300 — 200; 294 + 0; 75 — 25; 300 + 200. У цьому завданні формується одночасно два поняття: перебування значення вислови й порівняння отриманих значень висловів. 3. Виріши приклади за такими програмам: а) 345 -> -> -> в) 894 -> -> -> 4. Устав підходящий знак дії «+» чи «-», щоб відповідь був верным:

2 + 6 * 2 = 10; 20 — 9 * 7 = 18; 9 + 10 * 3 = 16; 10 — 3 * 4 = 12; 5. Распредели числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на дві групи те щоб сума двох будь-яких чисел лише у групі ні а дорівнює ніякому числу другий. 6. Склади висловлювання: а) На подання до цирк пішли 12 хлопчиків і 15 дівчаток 2 «А» класу. Скільки дітей цього пішли у цирк? б) На арену вибігли 5 пуделів, а болонок — на 3 більше. Скільки болонок на арене?

Всі ці завдання як формують обчислювальні навички, а й розвивають логічне мислення та це із елементами цікавості, гри. Завдання досить різноманітними і вирізняються друг від друга.

Далі, сторінка 58, вводяться поняття «рівність і нерівність». Щодо закріплення дане теми Моро пропонує такі задания:

1. Склади два вірних рівності і двоє вірних нерівності, використовуючи висловлювання: 23 + 12; 40 — 16; 12 + 23; 40 — 5. Виконуючи дане вправу діти добре бачать відмінність рівності від нерівності. У цьому вправі відпрацьовуються поняття рівність, нерівність, розвивається логічне мислення. 2. Перевір вірні чи такі записи: 9 · 3 = 27; 16 — 8 =16; 6 + 9 = 9 +.

6; 2 · 7 > 2 · 6; 2 · 9 < 9 · 2; 37 + 6 > 37. Дане вправу цілеспрямовано на відпрацювання обчислювальних навичок. 3. Устав замість зірочок знаки плюс чи мінус, щоб вийшли вірні рівності: 76 * 4 * 7 = 73; 38 * 5 * 6 = 39. Цілеспрямовано в розвитку обчислювальних навичок, розвиток логічного мислення. 4. Підбери такі числа, щоб вийшли вірні рівності чи вірні нерівності: 9 · 6 = 6 ·; 8 · 2 >; 6: 3 <; 56 — 8 <. 5. Постав, де потрібна, дужки отже б вийшли вірні равенства:

76 — 20 + 5 = 51; 53 — 18 — 15 = 20. Дане вправу одночасно відпрацьовує знання порядку дій. 6. Запиши нерівність: а) Твір чисел 6 і 2 більше їх приватного. б) Сума чисел 36 і 9-те менше різниці цих чисел.

Ця в підручнику система вправ досить різноманітна, цікава присутні вправи створені задля розвиток логічного мислення, на відпрацювання обчислювальних навичок, що дуже важливо у молодших класах. Але цього замало цікавості, ігровий форми. І на підвищення впливу на дітей до математики можна використовувати такі завдання: 1. Устав замість пичок те ж цифру те щоб рівність стало вірним: 1 (+ 3 (+ 5 (= 111; (0 + (1 + (2 = 273. 2. Переставляючи цифри, зроби рівність вірним: 7 3 — 2 5 = 5 8. 3. У віконце почергово демонструються числа 3, 7, 6, 4. У яких випадках виходить правильне рівність у яких не верное?

4. Зайці грають у футбол. Хитрий воротар вирішив пропустити в одні ворота м’яч, який зробить рівність вірним: 4 + = 11. Який заєць заб'є гол? Чи вдасться забити гол гравцю під номером 9?

5. З чисел 56, 6, 18 складіть всіх можливих різниці. Які з цих разностей немає сенсу? 6. Назвіть все цифри, при підстановці яких замість зірочки виходить правильне нерівність: 3 * 2 > 355; * 68 < 443; 875 > 87 *; 406 < 4 * 7; *68.

< 268. При виконання цього вправи закріплюються правила порівняння чисел. 7. Нерівність має вигляд 10 — x < 5. Які значення приймати х?

Зазначте все значення x, у яких вийде: а) Вірний нерівність; б) Не правильне неравенство.

Тут є завдання підвищеної труднощі, але за виконанні яких глибше засвоєння теми, також ведеться підготовка до вивчення рівнянь зокрема це відбувається за виконанні вправи під номером 7. Та оскільки такі нерівності не уводять у початковій школі пояснити його треба докладніше і допомогти у разі затруднения.

Також у другий клас розглядаються такі теми як: «Порядок дій у висловлюваннях без скобок» (стор. 83), «Порядок дій у висловлюваннях зі дужками» (стор. 86) й у закріплення даних тим, у підручнику запропоновані такі вправи: 1. Рішення завдань шляхом складання висловів. 2. Склади завдання з вираженню: 4 · 6 — 14; (12 + 16): 4. Дані два завдання розвивають логічне мислення в учнів. Учать як оставлению завдання вираженню, і назад, складання висловлювання по завдання. 3. Поясни рішення: 30 — 4 · 7 = 30 — 28 = 2.

17 +.

32: 8 = 17 + 4 = 21.

76. — (27 + 9) + 8 = 76 — 36 +8 = 48.

49 + 9 · (20 — 17) = 43 +9 · 3 = 43 +27 = 70 Дане завдання цілеспрямовано як у відпрацювання обчислювальних навичок, і на закріплення знань правил порядку дій. 4. Обчисли значення висловів: 26 + 24:4; 71 — 16: 2; 10 · (30 — 24); (22 + 14): 4. 5. Запиши вислови й обчисли їх значення: а) З-поміж 82 відняти твір чисел 5 і аналогічних сім. б) Різниця чисел 31 і 22 помножити на виборах 4. в) Суму чисел 9 та19 розділити на майже 7. Дане вправу добре використати в математичних диктантах. Воно цілеспрямовано в розвитку обчислювальних навичок, закріплення таких понять як сума, твір, різницю і приватне. 6. Знайди значення висловів зручним способом: 15 — (5 + 3); 46 + (4+2). Цілеспрямовано в розвитку логічного мышления.

Але система вправ досить «суха» і її слід доповнити завданнями, наприклад, подібного типу: 1. Склади програму діянь П. Лазаренка та знайди значення висловлювання. Зроби висновок. 30 — 4 + 21 — 8 =; 24: 3: 2 · 5 =; 36: 4 + (47 — 39) · 5 = + =. Дане вправу цілеспрямовано не толь на відпрацювання обчислювальних навичок, а як і воно вчить дітей робити самостійні висновки, розмірковувати, тобто не автоматично виконувати завдання, а обдумано. 2. Склади за схемами вислови й знайди їх значення. Чим вони різняться друг від друга? У якій порядку слід виконувати дії, тоді як вираженні є скобки?

Задание містить елемент цікавості, що підвищує інтерес до виконання завдання. Розвиває увагу дитини, спостережливість. 3. Виберете значення висловлювання 96 — 24 + 12: 6 з чисел: 90, 74, 70, 14. 4. Виберіть висловлювання значення яких рівні 80: 20 + 20 · 2; 95 — 10 + 5;

84 — 12 + 48: 6; 5 + 90: 6 · 5. 5. З схем вибрати ті, у яких множення треба виконувати другим дією: а) (+ (· (р) (+ ((- ()· (б) (· (+ ((+ () буд) (: (· (: (в) (+ (· (+ (е) (: ((+ () · (Дані вправи різноманітніші, у яких використовуються елементи цікавості, вони розвивають увагу, логічне мислення, спостережливість, підвищують интерес.

Потім, сторінка 129, вивчають тему «Висловлювання зі змінними» і закріплюють з допомогою наступного низки завдань: 1. Прочитай вираз: в — 9. Знайди його значення, тоді як = 20, 18, 12, 9. У цьому завданні відбувається письмове, а й усне ознайомлення з висловлюваннями з перемінної, тобто за вимові висловлювання діти не можуть сприйматися лише зовні, а й за допомоги слухових аналізаторів. 2. Заповни таблицу:

|В |0 |1 |2 |3 |4 |5 | |20· в | | | | | | |.

У вправі дається поняття про перемінної, а як і про значеннях перемінної. 3. Запиши вираз, а + в. Обчисли значення висловлювання, якщо, а = 16, в = 37.

В даному завдання вводиться вираз з цими двома перемінними, але це не продуктивно тим, що він присутній одна з чотирьох, арифметичне дію — складання. 4. Обчисли значення висловлювання, а: з при значеннях літер, вказаних у таблице:

|а |23 |34 |84 |0 |36 |36 | |з |23 |17 |28 |81 |1 |12 |.

Дане завдання аналогічно предыдущему.

Тобто, видно, що у підручнику запропоновані однотипні завдання, прийом, необхідні чотири вправи, щоб використовувати усі чотири арифметичних дії, оскільки формування обчислювальних навичок — це одну з найважливіших завдань початковій школи. І тож треба використовувати більш різноманітні і продуктивні завдання: 1. Розшифруй прізвище відомого письменника казкаря, розмістивши відповіді прикладів гаразд убывания.

|а |0 |66 |87 |102 |200 | |x | | | | | |.

Про, А Б У Ж.

| | | | | | | | | | | |.

Дане завдання цілеспрямовано як формування поглядів на змінних, але крім цього вона носить у собі кілька завдань: розмістити у порядку спаду, два арифметичних дії, порівняння чисел. Також вправу розвиває пильність і запропоновано в цікавою формі, що приваблює дітей і інтерес до завдання. 2. Порівняй: а + 301 … а + 103; в — 408 … в + 48; з — 206 … з — 260; 97 — х.

… 79-х. Вправа цілеспрямовано в розвитку логічного мислення, оскільки діти порівнюють вираз, містять зміну, відпрацьовуються правила порівняння. 3. Чи можна назвати все числа, які звертають нерівність в правильне: x >

5; y < 15; x + 1 < 1. Дане завдання як і попередні, містять кілька завдань. по-перше, відпрацьовується тема «висловлювання з перемінної», а як і значення перемінної, оскільки для відповіді поставлене запитання дитина може підставляти різні значення перемінної. По-друге, необхідно виконати порівняння і дане вправу розвиває логічне мислення, так що сказати на поставлене запитання можна, не підставляючи значення змінних. 4. Завдання: Сукня стоїть, а рублів, а костюм — в рублів. Наскільки сукню дешевше костюма? Вирішення даної завдання залежить від складання буквеного выражения.

Також у другий клас вивчається тема «Рівняння». І на закріплення цієї теми Моро пропонує такі завдання: 1. Прочитай рівняння і якби їх: x + 5 = 9; 12 — x = 7; x -3 = 6; 7 + x = 13. 2. Виріши рівняння і зроби перевірку. У цих завданнях навчити дітям пропонується вирішити рівняння. Дани найпростіші рівняння без додаткових завдань, тобто завдання цілеспрямовано лише з закріплення теми, без який або цікавості. 3. Знайди рівняння і якби їх: x — 8 = 9; 5 + 7 = 12; а + 17; 8 + x = 14. Це завдання вчить дітей відрізняти рівняння від числових висловів. 4. Назви рівняння, у яких невідоме число одно 8: x · 2 = 20; 6 · х.

= 48; x: 2 = 5; 40: x = 5. Завдання розвиває як вміння вирішувати рівняння, а й внимательность.

Завдань на тему обмаль, вони всі одноманітні, не містять елементів цікавості, тому їх слід доповнювати: 1. Якими числами усунути фігурки:? + (= 1 (: (= 25.

(-? = 25? · (= 0 (? — 0; (- 1; (- 25). Завдання дуже добре розвиває логічне мислення учнів, пильність, а як і містить елемент цікавості. Його можна испоьзовать, як підготовче до вивчення теми «Рівняння». Містить приклади попри всі арифметичні дії. 2. У записи яких рівнянь допущено помилку? Знайди невідоме подільне: x: 5 = 3 (ост. 2) з: 2 = 7 (ост. 1) а: 7 = 4 (ост. 1) р: 6 = 9 (ост. 7) в: 9 = 2 (ост. 9) до: 3 = 12 (ост. 2).

Данное завдання формує вміння як вирішувати рівняння, а й вирішуватиме приклади із залишком. 3. Поясни, чому за будь-якому значенні x значення висловлювання x + 2 більше значення x. Завдання розвиває логічне мислення, формує обчислювальні навички. 4. Підбери пропущені числа: (> (> (> (> (Завдання цілеспрямовано формування вміння знаходити значення перемінної. 5. Наталя задумала число, умножила його за два, додала 5. Потім вона розділила результат на майже 7, додала 49 і має 52. Яка кількість задумала Наташа?

|Х | | |· 2 | | |+5 | | |: 7 | | | | | |+ 49| | |52 | |.

Такий спосіб допомагає дітям швидко і розв’язувати будь-які рівняння, навіть довгі, з велику кількість арифметичних дій. Однак ж присутній елемент занимательности.

Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що у підручнику Моро другого класу мало вправ розвивають логічне мислення, пильність. Практично відсутні завдання із елементами цікавості. Вправи однотипні. Тому конче необхідно доповнювати дані в підручнику вправи додатковими завданнями розвиває характера.

Глава II.

Методика вивчення елементів алгебри і математичної логики.

§ 1. Методика вивчення числових висловів, висловів зі змінними, числових рівностей і нерівностей, уравнений.

Вивчення числових висловів, рівностей і нерівностей, а як і рівнянь починається ще з першого класу, під час вивчення нумерації не більше 10.

Так ознайомлення з равенствами і неравенствами починається з дев’ятій сторінки. Діти спочатку порівнювати числа, потім висловлювання з єдиною метою встановлення відносин «більше», «менше», «одно», навчаються записувати результати з допомогою знаків ««, «=» й читати отримані рівності і неравенства.

Порівняння чисел здійснюється спочатку з урахуванням порівняння множин, яке виконується з допомогою встановлення взаємно однозначного відповідності. Попутно виконується рахунок елементів множин і порівняння отриманих чисел:

(((((((7 (((3.

7 > 5 3 = 3.

?? ?? ? 5 (((3 надалі при порівняння чисел учні спираються на знання їхнє місце в натуральному ряду: дев’ять менше, ніж десять, тому що за рахунку число дев’ять називають перед числом десять. Встановлені відносини записуються з допомогою знаків, =, учні вправляються у читанні і запис рівностей і нерівностей, однак самі терміни запроваджуються лише у другому классе.

Перехід до порівнянню двох висловів здійснюється поступово. Спочатку діти знайомляться з самими выражениями.

При формуванні поняття числового висловлювання необхідно враховувати, що знак дії, поставлений між числами має двоякий сенс: з одного боку, означає дії, які потрібно виконати над числами; з з іншого боку, знак дії служить для позначення висловлювання (6 + 4 — це сума чисел 6 і 4).

Поняття про висловлюваннях формується у зв’язку з поняттями про арифметичних дії і сприяє кращому їх засвоєнню. У першому формується уявлення про найпростіших висловлюваннях (сума і). Знайомство здійснюється за допомогою методу изложения.

На дошці записано приклад на складання: 5 + 2.

Назвати і підписати: це сумма.

Знайти чому дорівнює сума: 7.

Записати і підписати — це теж сумма.

І з чисел має назва (ім'я): 5 — перше складова, 2 — друге складова. Наш приклад можна прочитати так: сума чисел 2 і п’яти дорівнює 7; перше складова 5, друге — 2, сума — 7.

Також знайомляться і з різницею. І потім цього діти порівнюють вираз із кількістю, а далі вираз з выражением.

У першому уроці можна надати вправу на порівнювати з опорою на малюнки, наприклад, у двох лавах малюються по 6 квадратів (6 = 6), потім у першому ряду домальовують два квадрата чи закреслюють два квадрата. І дається запись:

6 + 2 > 6 6 — 2 < 6.

8 > 6 4 < 6.

Діти кажуть: «Зліва було шість і правих 6. Праворуч і залишилося 6, а зліва додали (забрали) 2. Там побільшало (менше)». Для перевірки виконуються обчислення і порівнюються отримані числа.

Потім переходять до порівнянню двох висловів. Порівняти два висловлювання — отже, порівняти їх значення. Наприклад, слід суми 6 + 4 і шість + 3. Міркування: перша сума дорівнює 10, друга — 9, 10 більше, ніж 9, отже сума чисел 6 і 4 більше, аніж чисел 6 і 3.

6 + 4 > 6 +3.

10> 9.

Також у першому здійснюється ознайомлення з записом і читанням висловів зі дужками і деякими випадками у яких встановити порядок дій. Наприклад, 70 — 26 + 10, 42 + 18 -19 тощо. буд. Виконують тотожні перетворення, спираючись на властивості арифметичних дій (поповнення числа від суми та незначною сумою до числу).

Наприклад, продовж запис: 76 — (20 + 4) = 26 — 20… Крім цього, в першому проводиться підготовчу роботу до ознайомлення з уравнениями.

Невідомо число з’являється вперше вже у з рішенням прикладів виду 1 + 1 = 2, котрі наважуються щодо нумерації не більше десяти. У цьому прикладі двоє відомих числа 1 і одну, а третє число, яке вийде, треба знайти. Кількість потрібної знайти, називають неизвестным.

Поступово завдання ускладнюються. Так, дітям пропонується, користуючись малюнком, наявних у підручнику, скласти приклад, у якому треба додати 1: (+ 1 = (.

У розглянутих прикладах невідомим числом був результат дії. Надалі діти трапляються й дещо з цими випадками, коли невідомим сам з компонентів дії. Наприклад, спишіть приклад, заповнюючи перепустку: 3 + (= 5.

Далі, вивчення висловів зі змінними, рівностей і нерівностей, рівнянь триває у другому классе.

Тут діти знайомляться з термінами «рівність» і «нерівність». Учням пропонується перевірити, вірні записи (дано два стовпчика рівностей і нерівностей). Учитель пояснює, що, якщо розрив між висловлюваннями стоїть знак одно, — це рівність, і якщо знак більшою або меншою це нерівність. Рівності і нерівності бувають правильними невірними. Учні вибирають вірні рівності і вірні нерівності із запропонованих. Потім вирішують велике кількість завдань подібного типу на закрепление.

Також у другий клас діти знайомляться з темою «Порядок дій» в складних висловлюваннях. Формулюють правило: тоді як вираженні без скобок є лише складання і віднімання чи множення і розподіл, всі вони виконуються по порядку зліва-направо. Учитель звертає увагу дітей те що, що з не дотриманні цих правил вийдуть не правильне равенство.

Потім вивчається порядок дій у натуральному вираженні без скобок, де є множення і розподіл, складання і віднімання: у висловлюваннях без скобок множення і розподілу виконуються раніше, ніж складання і вычитание.

Після цього вивчається правило порядку дій у висловлюваннях зі дужками, причому у дужках одну дію. Знайомляться з цими тотожними перетвореннями як множення і розподіл суми на число.

Запроваджується нове поняття, вираз з перемінної. У підготовчій роботі потрібно повторити назва чисел в математичних висловлюваннях: «сума чисел», «різницю чисел», «твір чисел», а як і залежність між компонентами і результатом действий.

Гарним упражнением на підготовку до впровадження буквеної символіки є завдання з пропущеними числами.

На початку вводяться висловлювання з одне перемінної. І тому можна використовувати посібник — прямокутник з нарізаним «віконцем» і продвижной стрічкою. На стрічці записані числа, наприклад, 2, 6, 8, 15, але в картоні за «віконцем» записано +8. Учитель пересуває стрічку, а діти називають і записують відповідні висловлювання: 2 + 8, 6 + 8 тощо. буд. Учитель повідомляє, що у математиці замість «віконця» записують латинські літери. Учитель пояснює: «Запишемо замість „віконця“, наприклад, букву з, тоді одержимо вираз з + 8, яке читають так: „сума чисел сек. і 8“. Знайдемо значення цієї суми, підставляючи значення записані в цій стрічці (вчитель пересуває стрічку, а діти записують на дошки та в зошитах вираз: з + 8, з = 2, 2 + 8 = 10; з = 6, 6 + 8 = 14 тощо. д.».

Числа 2, 6, 8, 15 — це позначення літери з, а числа 10, 14 … — це значення висловлювання з + 8 доданих значеннях буквы.

Чи можна букві з надати інших значень? Назвіть їх. Діти називають кілька значень, записують числові вислови й знаходять їх значення. Учитель помічає, що букві з можна надати дуже багато різних значений.

Для ознайомлення з висловлюваннями з цими двома перемінними можна використовувати спеціальне посібник — прямокутник з цими двома «віконечками» і започаткувати роботу, аналогічну тій, що з запровадження висловлювання з одного. Почати можна і з розгляду простий завдання, наприклад, такой:

«На однієї полиці 3 книжки, але в інший — 5 книжок. Скільки книжок на цих полках?».

Діти знають, такі завдання вирішуються сложением.

На дошці запись:

На 1 полиці На 2 полиці Всего.

3 кн. 5 кн. (3 + 5) кн.

6 кн. 4 кн. (6+4) кн. а кн. в кн. (а + в) кн.

Потім у завданню змінюються числові дані: «На однієї полиці 6 книжок, але в інший — 4». Питання хоча б, запис даних, і рішення проходить за тієї ж таблице.

З метою закріплення знань придбаних під час знайомства з буквенными висловлюваннями, виконуються вправи, пов’язані з обчисленням значень даного висловлювання при заданих значеннях літер. Корисні і вправи на заповнення таблиць, де компоненти дій вказано буквами.

І іще одна елемент алгебри, який діти вивчають у другий клас — це уравнения.

При запровадження рівнянь воно вирішується добором використовуючи знання складу чисел, табличных випадків складання, вирахування множення і розподілу. Після рішення кількох прикладів добором вчитель дає рівняння x + 28 = 40, пропонує прочитати: перше складова невідомо, друге — 28, сума — 40, треба знайти перше складова. Діти кажуть правило перебування невідомого доданка: щоб знайти перше складова, треба від суми 40 відняти відоме складова — 28.

Обчислюємо: 40 -28 = 12, т. е. x = 12.

Перевіряємо: 12 + 28 = 40, отже рівняння вирішено правильно. Запис на дошки та в зошитах: x + 28 = 40 Перевірка: x = 40 — 28 12 + 28 = 40 x = 12 40 = 40.

Потім аналогічно вивчаються рівняння видов:

Х — 5 = 27 — перебування невідомого уменьшаемого;

32 — x = 8 — перебування невідомого вычитаемого;

14 · x = 28 — перебування невідомого множника; x: 6 = 12 — перебування невідомого делимого;

48: x = 4 — перебування невідомого делителя.

Опанування поняттям «рівняння» сприяє і вирішення завдань способом складання рівняння. Необхідною вимогою при цьому є вміння складати висловлювання з їхньої условиям.

У третьому класі вирішуються завдання з допомогою складання рівняння, в яких слід знайти невідомий компонент действия.

Аби вирішити завдання з допомогою рівняння позначають буквою дані число, виділяють в умови завдання зв’язку, що дозволяють скласти рівність, що містить невідоме, записують його. Отримане рівняння вирішують, використовуючи знання, зв’язок між компонентами і результатом дії. Потім дається на запитання задачи.

Також з допомогою рівнянь вирішуються завдання на перебування однієї зі сторін прямокутника по відомим площі й довжині суміжною стороны.

Завдання складання рівнянь вирішуються систематично — ту хорошу вправу на відпрацювання поняття уравнения.

Крім рішення рівнянь учні у третій класі продовжують роботу над висловлюваннями з перемінної, а також із вивченням порядку действий.

Отже учні перевіряють знання властивостей арифметичних дій в вправах: яких значеннях літер вірні такі рівності: 36 · в = в; а · а = а; з + з = з; 10 · з = 10; 49 · а = 0; в · 0 = 0; 12 · а = а · 12; в + в = в.

У цьому рівнянні літерна символіка сприяє підвищення рівня узагальнення знань і готує їх до вивчення алгебры.

І новим щодо порядку дій у висловлюваннях вивчення правила порядку дій у висловлюваннях зі дужками, причому у дужках кілька действий.

Відтак можна дійти невтішного висновку у тому, що вивчення числових висловів з перемінної, числових рівностей і нерівностей, рівнянь триває на протязі всіх трьох років початкового навчання у школе.

§ 2. Різні трактування запровадження понятий.

Завдання творчого характеру під час уроків математики.

Навчальні завдання, що їх під час уроків математики, часто визначають одноманітність мисленнєвої діяльності учнів, реалізуючи лише навчальні мети — закріплення знань, формування умінь і навиків. Це негативно б'є по розвиток учнів і подальшому засвоєнні навчального матеріалу. Зокрема, маються на увазі навчальні завдання на перебування значень числових висловів, тобто рішення прикладів учебников.

Урок математики дуже оживляють навчальні завдання творчого характеру. Дітям необхідно скласти нерівність. На дошці записана ліва частина нерівності 72: 6 і це ознака порівняння «>». Подумайте, яке вираз треба записати у правій частині нерівності, щоб значення лівого висловлювання був у в чотири рази більше правого? 72: 6 > 72: (. Пропонується дільник 24.

— Подумаємо, правильно чи виконано завдання. Спробуємо розмірковувати не вычисляя.

— Дільник у правому вираженні шість. Щоб перше вираження у в чотири рази більше в своєму значенням, ніж друге, треба щоб дільник у другому вираженні був у в чотири рази більше, ніж шість, тобто 24.

Дільник у першому вираженні менші надходження до в чотири рази, отже, приватне буде більше коштів у чотири раза.

— Тепер перевіримо міркування вычислением.

У цю слід активно включати слабких учнів. Потім діти самостійно становлять нерівності. При самостійному виконанні слабким учням пропонуються картки з методичної помощью:

72: 2 > 72: 6.

72: 3 > 72: (.

72: 4 > (: (.

72: (> (: (.

Головне, щоб вчитель усвідомлював психолого-пелогогическую основу навчальних завдань — розвиток учащихся.

Порядок действий.

Пояснення нового за таблицею «порядок дій» допомагає дітям швидше, і міцніше засвоїти цей «новий їм матеріал. Таблиця є хіба що моделлю темы.

— Про що замислився Незнайко і чому щодо нього прилетіли птички?

— Втомлені і голодні пташки повинні звити собі гніздечко. Незнайко замислився як допомогти їм. Йому допоможе прийшли самі ж птички:

«Спочатку давайте зберемо зернини, поклюем їх, і потім, став сильними, полетимо за гілочками для гнездышка.».

— Але як на таблиці зображені зернята і гілочки? Якими знаками їх визначено? Незнайко запам’ятав порядок роботи, що йому запропонували пташки, і він вирішив спробувати виконати приклади значно действий.

Давайте допоможемо йому. Розбирають приклади: 30 — 2 · 4; 20: 4 + 9.

Отже діти самостійно вивчають тему, а вчитель керує їх мисленнєвої діяльністю. У першому етапі, головне — навчити розбиратися гаразд действий.

На наступний етап пропонуються приклади о третій і чотири дії. Потім з’являються приклади з допомогою скобок та на допомогу пропонується таблица:

1 — 2 +.

((+ (= (.

((- (= (1 +.

Виконуй почергово 2 -.

Поспішай на помощь.

((- () + (= (.

(- ((+ () = (.

Таблиця образно нагадує, що у першу чергу треба виконувати дії в скобках.

Пошук і творчество.

Як домогтися твердого засвоєння правил порядку виконання действий?

На дошці записано приклад: 96 — 28: 4 + 36 · 2. Визначити порядок дій лише дій ділення клітин і множення: 96 — 28: 4 + 36 · 2. Виконуємо їх за порядку: 1) 28: 4 = 7; 2) 36 · 2 = 72. Потім переписуємо числове вираження у спрощеному вигляді: 96 — 7 + 72. Знову позначаємо порядок дій: 96 — 7 + 72. Закінчуємо його прийняти рішення: 3) 96 — 7= 89; 4) 89 + 72 = 161.

Для вироблення твердих навичок, правильних і швидких усних обчислень на кожному уроці виділяється 5 — 10 хвилин щодо тренеровочных вправ. Та й щоб не пропадав інтерес до усному рахунку можна використовувати игры.

На внутрішній стороні дошки вішаються кармашки з написом «Усно», «Працюй сам».

У кишеню кладуться картки у яких записані приклади для усного рахунки, на другий кишеню — приклади для самостійної роботи з уроке.

Дітям не дуже подобається гра «У політ на повітряній кулі». Змальовується повітряний кулю, у ньому герої з дитячих книжок. Унизу прикріплений поштову скриньку — кишеню з прорізом. На уроці за відмінний відповідь учень отримує квиток — картку на звороті якої пише своє прізвище і зміні опускає в поштову скриньку. Політ може тривати за кілька днів, а якщо буде закінчено, вчитель разом із учнями розкриває поштову скриньку, підбиває підсумки й оголошує переможця. Як заохочення переможець може становити створення для усного рахунки і навіть проводити его.

Помилки гаразд виконання арифметичних діянь П. Лазаренка та шляху їхнього предупреждения.

Для виявлення характеру помилок які у визначаючи порядок виконання дій у висловлюваннях наприкінці третій, і початку четвертої чверті, коли матеріал якого добре вивчений, можна навести самостійні роботи. Висловлювання складаються те щоб обчислення у яких можна було виробляти як і правильному порядку, не в правильному: 60: 6 · 2 (правильный);

64: 16: 2 (неправильный).

На правильність застосування правил порядку виконання дій сильно впливає структура висловів і числової материал.

У структурі висловів грає набір, кількість і місцезнаходження дій в висловлюваннях, його присутність серед них скобок. Помилки у тому, що учні виконують складання раніше розподілу, не звертаючи увагу порядок записи.

Діти пам’ятають початок формулювання, у якій складання названо раніше вирахування, а множення раніше розподілу, і звертає уваги кінець правила, наголосивши, що ці дії треба виконувати гаразд їх записи. Інша причина цих помилок — орієнтування учнів не так на правило, а до можливості виконання дій — роблять те, що делается.

Також великій ролі грає кількість дій. Якщо учні вміють застосовувати правило порядку виконання дій у висловлюваннях удвічі дії, не можна стверджувати, що можуть застосувати її такою ж успішно в висловлюваннях у трьох — чотири дії. Особливо яскраво виявляється в висловлюваннях зі скобками.

Тепер на вплив числового матеріалу. Зрозуміло, що й вересня вираженні неможливо виробляти обчислення в зрадливої послідовності, то помилки трапляються нечасто. Якщо числової матеріал дозволяє щодо одного й тому самому вираженні використовувати різний порядок виконання дій, то роботах зустрічаються всі можливі варианты.

Можна також використовувати такі вправи на формування умінь користуватися правилами порядку виконання дій, які передбачають поступові ускладнення діяльності учащихся.

1. а) Виберіть значення висловлювання 96 — 24 + 12: 6 з чисел 90, 74, 70,.

14. б) Виберіть висловлювання, значення яких рівні 80: 20 + 20 · 2;

84 — 12 + 48: 6; 95 — 10 + 5; 5 + 90: 6 · 5.

2. З усіх схем висловів виберіть ті, у яких множення треба виконувати другим дією: (+ (· (; (· (+ ((+ (); (+ (· (+.

(; (+ ((- () · (.

3. Перевірте правильно враховано значення висловів. Поліпшіть помилки, якщо що є: 100 -20: (20 — 10) = 8; 70: 14 · 5 = 1; 90 — 36: 18.

+ 18= 70.

4. Розставте знаки арифметичних дій щоб вийшли різні висловлювання, і обчислите їх значення: 48 (12 (4.

5. Складіть висловлювання, підбираючи замість «віконець» такі числа з яких можна виконати зазначені дії: (- (· (;

(+ (- (+ (; (: (+ (; (- (· (+ (.

Наведені вправи можна використовувати як у уроках, і у позакласної работе.

Робота з — новому.

Завдання, підібрані у цій статті, допомагають вчителю вибудувати хід уроку, допомагають повторити вивчений раніше матеріал, яке необхідне засвоєння нового, і навіть кожне завдання жадає від учнів активної мисленнєвої деятельности.

Візьмемо тему «Порядок виконання дій у висловлюваннях». Орієнтуючись на матеріали з приводу математиці на другому класу. Перший урок проходить так.

Спочатку дітям пропонуються різні вислови й їм необхідні визначення кількості дій у яких, наявність або відсутність скобок, а так ті ж дії, які потрібно виконати у цих висловлюваннях: 72 — (9- 3) — 6; 72 — 9 — 3 — 6 + 12; 72 — 9 — 3 — (6+ 12).

Діти порівнюють друге висловлювання, відзначають, що у першому є дії (його треба виконати першим), у першому вираженні треба зробити три дії, тоді як у другому — 4. Деякі відзначають, в другому вираженні додається число 12. Друге вираз схоже третє, лише у третьому є скобки.

Діти кажуть, що у даних висловлюваннях відсутні такі дії, як множення і деление.

Хіба можна сказати про такі висловлюваннях? 72: 9 · 3: 6: 2; 72: 9 · 3: (6: 2) · 7; 72: 9 · 3: 6: 2 · 7.

Розглядаються правила виконання дій у висловлюваннях. Підкреслюють слова: усе своєю чергою зліва на право, складання чи віднімання. Звертають увагу і слову чи. Обговорюється, що означає. Роблять висновок: тоді як вираженні зліва йде першим складання, то виконуємо складання, і якщо віднімання, то виконуємо вычитание.

Для закріплення правил, виконують завдання. За яким ознакою записані висловлювання на кожному столбике?

29 — 8 + 24 72: 9 · 3.

32 + 9 — 7 + 14 48: 6 · 7: 8.

64 — 7 + 16 — 8 27: 3 · 2: 6 · 9.

Тільки після цього ставиться обчислювальна задача.

На дошці записують вираз 68 — 7 · 8 + 63: 9. Діти розставляють порядок дій: 68 — 7 · 8 + 63: 9. Обчислення виконують усно. Вони вирішують перше дію 7-ї · 8 = 56. Учитель бере картку із кількістю 56 і закриває нею вираз 7 · 8, виходить запис: 68 — 56 + 63: 9. І доки вийде запис: 12 + 7.

Наступне завдання: з якого ознакою може бути розбитий вираз втричі групи: 81 — 29 + 27; 400 + 200 + 30 — 100; 27: 3 · 2: 6 · 9; 400 + 200 + 300 — 100: 48: 6 · 7: 8; 54 + 6 · 3 — 72: 8; 72: 9 · 3; 84 — 9 · 8.

Завдання третє. Чи можна стверджувати, що значення висловів у кожному стовпчику однакові? 56: 8 54: 9.

7 · 8: (32: 4) 9· 6: (36: 4).

(65 — 9): (24: 3) (72 — 18): (27: 3).

Коли учні навчаться співвідносити ту чи іншу вираз з відповідним правилам, пропонують такі завдання: подумайте, які знаки дій можна поставити замість зірочок: (* (* (.

Діти запитують «А який порядок дій?» Учитель виставляє порядок дій: (* (* (. Пропонують різноманітні варіанти: (* (* (.

+ ;

— +.

· :

: · тощо. д.

Далі дітям пропонується виконати роботу самостійно. Вони придумують різні приклади такого типа.

Потім схеми ускладнюються: додаються числа, дужки, змінюється порядок дій. Особливості цих завдань у тому, що вони активізують творчу активність самого учителя.

Живі уравнения.

Чи рівняння маленьких дітей? Чи легко зрозуміти приклад, коли відповідь ховається за чиюсь таємничим «x», що й прочитати в повному обсязі можуть правильно, чи «ікс», чи «пхе». Рішення завдань із допомогою рівнянь таємниче і цікаво, а приховування таємниць для допитливого людини шкідливо. Тому ознайомлення з рівняннями треба розпочинати з першого класу. І провести його можна наступним образом.

Почати з фігурок, які діти вміють складати і робити з них. На дошці намальовані дві постаті. Що вийде за її складання? (+? =.

Діти одержують будинок, у якому квадрат і трикутник перетворилися на стіну й дах. Будинок — ціле, а дах і стіни — його частину. З частин складається целое.

Ч1 + Ч2 = Ц

Тепер розберемо будинок. Можна зняти дах і стіна, а можна прибрати стіну і дах. Якщо цілої забрати частина, вийде інша його частину Ц — Ч 1 = Ч 2. Знаючи це, вона може тепер сам визначити невідому частина, маючи ціле і відому частина. Це вже рівняння. У ньому з’являється містер Ікс. — x =.

Що ж сталося з олівцем? Що сховав містер Ікс? Та звичайно, у нього зламався грифель. x = .

Коли працюють із рівнянням, то пишуть три рядки. У кожній із них обов’язково є x і тільки знак равенства.

Рядок 1 — рівняння; у ньому x спрятался.

Рядок 2 — рішення рівняння; x лише у боці рівності, решта — в другой.

Рядок 3 — корінь рівняння; у ньому відкривається всім, що сховав х.

Вирішимо таке уравнение:

— x =.

Що й казати залишилося, якщо в моркви відрізали зелений хвостик? Решение:

x = ;

x =.

Тут два місця, у яких x зліва знака рівності самотужки. Нижня частина явно показує, що корінь моркви і є корінь рівняння. ВерхняДокладно розповідає, як ми завжди діємо, щоб знайти корінь, тобто вирішуємо рівняння: показуємо, що з цілого (моркви) і відомої частини (хвостика) дізнаємося невідому частина (корінь). Ц — Ч изв.= Ч н.

Нині ж намалюємо ракету. В неї відпадає щабель з пальним і залишається ракетоноситель.

— x =.

Показують як від ракети відпадає щабель з пальним. Малюють відпалу частина — корінь уравнения.

Потім діти складають свої рівняння за схемами. Наприклад: Ц — x = Ч изв. x = Ц — Ч изв.

Х = Ч (та, яка сховалася У першій строчке.).

Тепер вирішимо рівняння, де x перебрався інше место.

. (+ x = ((.

Ч изв. + x = Ц

Вирішуємо уравнение:

x = ((- ((.

x =.

Яка ж його частина сховалася? Який вид кореня рівняння? Це — кузов.

Ч изв + x = Ц

Х = Ц — Ч изв.

Х = Ч1.

Тепер вирішимо рівняння, у якому за x сховалося ціле. Зараз ми все розбирали, тепер збиратимемо ціле з частей.

Х — Ч 1 = Ч 2.

Х = Ч 1 + Ч 2.

Х = Ц

Щоб скласти ціле потрібно скласти його частину. І це ще одне уравнение:

Х — =.

Х = +.

Х =.

Це був повітряний кулю. Нині ж діти самі вигадують і вирішують рівняння. Знаючи ціле і вік частини, можна легко діяти з числами.

Х — 2 = 7 5 — x = 3.

6 + x = 9.

Починають сіло, що визначають, де ціле, і підкреслюють його. Адже забирати можна тільки від целого.

Х — 2 = 7 5 — x = 3.

6 + x = 9.

З положень цих рівнянь лише у першому саме ціле. У інших — части.

Х = 7 + 2 x = 5 -3 x = 9 — 6.

Х = 9 x =2 x = 3.

Рівняння допомагає дізнатися, чи правильно зроблено обчислення, якщо замість x підставити свою знахідку — число.

Х — 2 = 7 5 — x = 3.

6 + x = 9.

9 — 2 = 7 5 — 2 = 3 6 + 3 = 9.

Отже, у тому що вирішити рівняння потрібно: а) Відзначити ціле; б) Знайти рішення; в) Записати корінь рівняння; р) Зробити перевірку — підставити знайдене число під час першого інший бік і переконатися, що кінцеві числа совпадают.

Коли щось негаразд, потрібно перевірити, де поквапився. Це теж важливе вміння — знайти в себе помилку і наявність виправити ее.

Потім діти знайомляться правила, які називаються бовтанки — приговорки. Те, що складають, — складові. с1 + с2 = сумма.

3 + 5 = 8.

Те, що склали, це і є сума. Підбирають складові суму: 6 + 4 = 10.

* * =.

Коли число зменшують, її називають зменшуване. Від неї щось забрати. Кількість, яке віднімають, називають від'ємник. Шукаємо їх різницю, чи різницю. Підбирають числа: 7 — 6 = 1.

* * =.

Балакуха № 1. Що знайти зменшуване, до різниці додали вычитаемое.

Х — в = р

Х = р + в.

Х = у.

Вирішуємо рівняння: у в р у в р

Х — 5 = 4 x — 7 = 2.

Балакуха № 2. Що знайти від'ємник, на різницю зменшуємо уменьшаемое.

У — x = р

Х = у — р

Х = в.

Вирішують рівняння: у в р у в р

8 — x = 3 7 — x = 4.

Балакуха № 3. Щоб знайти будь-яке складова, від суми забираємо все інші. Х + с2 = сумма.

Х = сума — с2.

Х = с1.

Вирішують рівняння: с1 с2 торб. с1 с2 сум.

3 + x = 9 x + 4 = 8.

Після цього вирішуються рівняння, засновані на знанні складу чисел.

Записують склад чисел без повторів, бо за зміни місць доданків сума не меняется.

Пограємо в цікаві гри «Клоуни» і «Вертушки», де замість x потрібно вписати своє число.

«Клоуни» «Вертушки».

Нині ж вставляють x у складі числа й довідаються його. 6×4 3 7 6×4.

0 1 2 3 0 1 2 3.

І вирішують рівняння: 6 — x = 1; 2 + x = 7.

Запиши склад чисел 8 і 9-те. 8 7 6 5 4 9 8 7 6 5.

* * * * * * * * * *.

Знайди x, в квадраті напиши отгадку.

8. 7×5 4 8 7 6 5 4 8 7 6 5 9 8.

7 6 5.

0 1 2 3 4×1 2 3 4 1 2 3 4 0.

1 2×4.

Виріши рівняння: 8 — x = 2; 8 + x = 8; x — 7 = 2; 9 — x = 6.

Далі переходять вирішення завдань з допомогою рівнянь. Завдання в схемах.

Схема № 1.

I — в.

II — Завдання: Десять оселедців розклали на дві тарілки з урахуванням схемы.

I — x 10с. I — 7c. 10с.

II — 3с. II — x Становлять і його вирішують рівняння за схемами: 7 + x = 10; x + 3 = 10.

Схема № 2.

Було — 10 птиц.

Зникли — 5 птиц.

Залишилося — x птахів Завдання: сиділи в дереві 10 птахів, п’ять птахів полетіли. Скільки птахів осталось?

Рішення: 10 — x = 5.

Схема № 3.

Було — х.

Додали — 5 ягод.

Стало — 10 ягід Діти самостійно придумують умова завдання й вирішують її: x + 5 = 10.

Також дітей ознайомлять із найлегшим засобом для вирішення рівнянь — аналогия.

Треба вирішити рівняння, а дитина забув як. Що ж робити? Давайте розглянемо рівняння. І завжди пам’ятатиме, як вони решаются.

2 + 3 = 5 5 -3 = 2 5 — 3 = 2 x + 3 = 5 x — 3 = 2 5 — x = 2 x = 5 — 3 x = 2 + 3 x = 5 — 2.

Це синє це зелене це красное.

Вирішимо рівняння: x + 5 = 11. Яке воно? Синє. Отже, воно вирішується так: x = 11 — 5.

Потім вивчення рівнянь триває у другий клас, по тому, як діти ознайомилися із такі дії як множення і розподіл. Почати з болтушек.

Множник 1 (множник 2 = произведение.

М1 (М2 = П.

Х (М2 = П М1 (x = П.

Х = П: М2 x = П: М1.

Що б упізнати невідомий множник, твір розділимо в інший відомий множитель.

Мизв. (x = П x · 4 = 8.

Х = П: Мизв. Х = 8: 4.

Якщо ми щось розділимо, одержимо частину акцій цього, тому результат розподілу назвемо приватним. Те, що ділять, — подільне. Те, потім ділять, — дільник. Д: буд = Ч.

Х: буд = Ч x: 4 = 3 Д: x = Ч.

15: x =3.

Х = буд (Ч x = 4 · 3 x = Д: Ч x = 15: 3.

Х = Д x =12 x = буд x =5.

Потім вивчаються рівняння в завданнях на множення і деление.

Схема № 1.

Усього — 20 яблок.

У першому пакеті - 5 яблок.

Пакетів — x Завдання: У кожному пакеті по п’ять яблук. Яка кількість пакетів знадобиться для 20 яблок?

У = Про (До, де У — всього яблук, Про — кількість яблук щодо одного пакеті, До — кількість пакетів: 20 = 5 · х.

Схема № 2.

Вартість — 30 тис. $.

Ціна — х.

Кількість — 3 Завдання: скільки коштує одна машина, якщо на три таких машини заплатили.

30 тис. $?

У розділі ст. = Ц (До, де У розділі ст. — загальна вартість, Ц — ціна однієї машини, До — кількість машин: 30 = x · 3.

Схема № 3.

P.S — шлях — 15 км t — час — x v — швидкість — 5 км/год Завдання: Велосипедист проїхав 15 км зі швидкістю 5 км/год. Скільки часу він катался?

P.S = v (t; 15 = 5 · х.

І потім цього вирішуються рівняння попри всі чотири дії. Для вирішення цих рівнянь вводиться така цікавість як машинка рівнянь, але цього потрібно знати оборотність действий:

+ - обертається в.

: · .

Загадуємо число, вводимо в машинку, помножимо на дві і складаємо із кількістю 4. x 8 v ^.

· 2: 2.

v ^.

+ 4 — 4 v ^.

20 —> 20 Отже задумане число — їх кількість 8.

Методика роботи над уравнением.

Відповідно до діючої програмою у першому, розглядаються найпростіші рівняння виду: x + 3 = 7; 4 + x = 9; x — 2 = 6; 5 — x = 3.

Щоб усвідомлювати зміни, що сталися у методиці навчання рішенню рівнянь, зупинимося спочатку того методиці, якої вчителя користувалися ранее.

Насамперед ознайомлення з рівняннями кожного виду була розділена у часу. До четвертої чверті учбового року учні вирішували лише рівняння на перебування невідомого доданка. У його основі цього виду рівнянь лежало засвоєння відповідної термінології (сума, складові) і правил перебування невідомого доданка за сумою двох доданків і одного з них.

Які ж зміни внесено нині у методику навчання рішенню рівнянь? Насамперед учні ознайомлюються відразу з різними видами рівнянь. Ніякого визначення рівнянням ся не дає, проте учнів корисно навчити впізнавати рівняння. Можна, наприклад, запропонувати знайти серед записів рівняння і підкреслити їх: x + 3 = 5; 5 > 3; 3 + x = 7; 9 + 1 = 10; 10 -х=8.

При знайомство з рівнянням можна назвати три этапа:

I. Підготовча работа;

II. Знайомства з рівняннями видів x + 3 = 5; 2 + x = 6; x — 4 = 5; 8 — x = 3, Розв’язуваних способом подбора;

III. Рішення рівнянь з урахуванням знання залежності між компонентами і результатом дій складання і вычитания.

Перший етап починається під час уроків ознайомлення з числами від 1 доі входять такі види упражнений:

1. Приклади з «окошками».

2. Гра «Молчанка».

3. Розглядаються різні випадки складу чисел 8 і 9.

Другий етап — це ознайомлення з буквою x. Третій етап — навчаються вирішувати рівняння з урахуванням знання зв’язок між компонентами і результатами дії складання і вирахування. Завдання: якби примеры.

6 + 4 = 10 7 + 2 = (.

10 — 6 = (9 — (= (.

10 — 4 = ((- (= (.

Слід зазначити, що це підхід створює сприятливіші умови реалізації наступності у навчанні рішенню рівнянь у перших классах.

Рішення уравнений.

У першому має бути розглянуто вирішення найпростіших рівнянь виду: x + 3 = 10; 7 + x = 9; x — 5 = 3; 8 — x = 2.

Усі завдання на перебування зменшуваного, вычитаемого і доданка учні мають виконувати арифметичним способом.

Наприклад завдання: У коли було 30 марок. У дня народження йому подарували ще кілька марок, в нього стала 40 марок. Скільки марок подарували Коле?

Учні мусимо усвідомити, що якщо в Колі стало сорок марок, це ті тридцять марок, які в нього було, і ще ті, що йому подарували. Обираючи дію, учні можуть розмірковувати так: «Відклавши із марок тридцять дізнаємося скільки подарили».

При розборі це завдання не потрібно вказувати, що 40 — це сума, 30 — перше складова, невідоме — друге складова. Досить, що учні представили собі життєву ситуацію і власними словами обгрунтували вибір дії. Аналогічно розбираються завдання на перебування невідомого зменшуваного і вычитаемого.

У такий спосіб першому основну увагу має приділятися свідомості при рішення задач.

Зміна результатів арифметичних дій за зміни їх компонентов.

Знання про зміну результатів арифметичних дій за зміни їх компонентів мають важливе розвиваюче, освітнє і виховне значення. Ці знання дозволяють дітям створити більш Повне уявлення про кожному арифметическом дії. Застосовуючи ці знання учень змушений аналізувати, порівнювати, узагальнювати. Вага це сприяє його развитию.

Наведемо приклади деяких вправ, вкладених у застосування знань про зміну результатів действий:

— твір 600, як і змінити множники, щоб отримати у творі 50?

— як помножити число на різницю між 10 і 2, не знаходячи цієї разности?

— приватне двох чисел 36, і якщо від діленого віднімемо 1000, то приватному одержимо лише 28. Знайти ці числа.

Після вирішення нижче наведених прикладів, учні переходили до выражениям і равенствам з переменными.

Розум. 3 Розум. Розум. 7 Ум.

Выч. Выч. 5 Выч. Выч. 8.

Разн. 3 Разн. 5 Разн. 7 Разн. 8.

Також пропонуються вправи містять сюжетні завдання, завдання з відверненими числами, приклади застосування приватних прийомів вычитания.

— Як зменшиться приватне якщо подільне і дільник збільшити 5 раз?

— На мощение тротуару пішло 640 цеглин. Скільки цеглин потребуватиме мощение іншого тротуару, вп’ятеро довшими, і удвічі ширший первого?

— Як зміниться сума, якщо одна з доданків збільшити на 498, а інше на 218?

— Зменшіть суму чисел 210 і 70 на 50.

За підсумками знань про зміна результатів дії розглядалися приватні прийоми вычислений.

§ 3. Розробка конспектів уроков.

Конспект уроку на задану тему: «Выражения».

Цілі: уточнити поняття вираз, числове вираз, буквенное.

вираз; закріплювати навички письмових і усних обчислень; вивчити рахунок через 5; виховувати почуття взаємодопомоги, співпереживання друг другу.

Устаткування: Підручник із математиці 2 класу А. Р. Петерсон; картки прикладах; таблиці з висловлюваннями. |Етапи |Зміст |примітка| |I орг. |Привітання. | | |момент. |Повідомлення теми і цілей. | | |II |Порівняйте: 28 … 82; 305… 53; 904 … 940; 36 …63. |Завдання| |усний |Як називаються компоненти при додаванні? (складові, |картках.| |рахунок |сума). | | | |Як називаються компоненти при вирахуванні? (Зменшуване, | | | |від'ємник, різницю). | | | |Чому дорівнює сума, якщо перше складова одно 35, а | | | |сума 41? | | | |Чому дорівнює сума, якщо перше складова одно 24, а | | | |друге 7? | | | |Чому одно зменшуване, якщо від'ємник одно 54, а | | | |різницю 13? | | | |Знайдіть від'ємник, якщо зменшуване одно 72, а | | | |різницю 59. | | | |Завдання на логічне мислення. | | | |Знайди закономірність і устав пропущені числа: | | | | |Запис на | | | |дошці. | | | 3 | 6| | | 15| | | 24| | | | | |Завдання: садом 12 яблунь і аналогічних сім вишень. Денис полив 8 | | | |дерев. Скільки дерев йому залишилося полити? | | | |12 + 7 — 8 = 11 (дер.) | | |III |Як багато дізналися, що залишилося полити 11 дерев? (12+7−8)| | |нова |- записати на дошці. | | |тема. |Завдяки цій записи ми можемо дізнатися скільки дерев | | | |залишилося полити, а називають її вираженням. Запишіть тему| | | |уроку: | |.

| |Висловлювання. | | | |Висловлювання бувають два види: | | | |Числові Літерні | | | |3 + 5 >, <, = d — 4 | | | |12 — 7 + 3 7 > 5 a + b + з | | | |17 — 8 10 < 12 x + 9 | | | |Числові висловлювання — це такі формулювання, які | | | |складено з чисел, а літерні - у яких зустрічаються | | | |літери. | | | |Записують в зошит те, що записано на таблицях і | | | |проводять стрілки від теми. | | | |Нині ж я допишу відповідь до завдань 12 + 7 — 8 = 11 | | | |вийшла така запис, яка вираженням бути не | | | |буде, а як і висловлювання виду: 7 > 5; 25 — 8 < 25 -3 не | | | |є висловлюваннями, позаяк у нього є знаки порівняння:| | | |>, 15; 45 — 7 + 3; 4 + 5 — 3; x + 3 = 5; з + n;| | |Фіз. |6 + 3 = 9. | | |хв. | | | | | | | | |Виконайте дії 1, 2 і трьох висловлюваннях. У кожному їх| | | |після знака одно отримали число, тобто якесь | | | |значення, а називати ми його будемо — значення висловлювання. | | | |Читаємо правило на стор. 20. (Якщо виконати дії, | | | |получтится число, зване значенням висловлювання). |Вирішують в | | |Виконуємо № 8. |зошитах.| | |Які з висловів мають однакові значення? 480 | | | |+ 20; 294 + 0; 300 — 200; 75 + 25; 480 — 2; 294 — 0; | | | |75 — 25; 300 + 200. | | | |Виконуємо № 11. (Записують лише висловлювання) | | | |Склади висловлювання: | | | |але в подання до цирк пішли 12 хлопчиків і 15 | | | |дівчаток 2 «А» класу. Скільки дітей цього | | | |пішли у цирк? | | | |Як дізнатися скільки дітей пішли у цирк? (12 + 15). Отже| | | |яке вираз ми запишемо? (12 + 15). | | | |б) Фокусник видобув з шапки 12 червоних хусток і побачили 8-го синіх.| | | |Наскільки менше було синіх хусток, ніж червоних? | | | |Як дізнатися наскільки одне число більше від іншого? (з | | | |більшого відняти менше). То який запишемо вираз? | | | |(12 — 8) | | | |в) На арену вибігли 5 пуделів, а болонок — на 3 більше. | | | |Скільки болонок на арені? (5+ 3). | | | |р) у виставі взяли участь дев’ять акробатів. Це | | | |втричі більше, ніж жонглерів. Скільки виступило | | | |жонглерів? | | | |Якщо сказано, було 9 акробатів, що у минулі роки, | | | |ніж жонглерів, отже жонглерів більшою або меншою? | | | |(менше) | | | |Як дізнатися скільки жонглерів? (9 — 3). | | | |Які це ми маємо висловлювання? (числові). | | |V Д/з. |№ 7, 10, 12. | | |VI Итог.|Так які бувають висловлювання? Які записи є | | | |висловлюваннями? Що називають значенням висловлювання? | |.

Аналіз: У підручнику Виленкина, щодо теми «Висловлювання», на відміну від базової програми, вводяться, цьому ж уроці, як числові висловлювання, а й літерні. Показано і закріплено практично їх отличие.

У підручнику запропоновані вправи на формування навичок, вони різноманітні, змістовні, нестандартні, цікаві. Завдяки цим вправ діти легко усвідомлюють цю тему.

Конспект уроку на задану тему: «Порядок дій у висловлюваннях без скобок».

Цілі: закріплювати вміння вирішувати рівняння, завдання збільшення вересня декілька разів і зменшення кількості у кілька разів; відпрацьовувати навик порівняння висловів, перебування значення висловлювання; навчити дітей визначати порядок дій у висловлюваннях без скобок; удосконалювати звичка вирішення завдань за діями і выражением.

Устаткування: підручник з математики 2 класу А. Р. Петерсон; таблиця під назвою теми; таблиця прикладах; картки для індивідуальної работы.

|Етапи |Зміст |примітка | |I орг. |Привітання. | | |момент | | | |II |Завдання для індивідуальної роботи 3 учням: | | |усний |а) якби рівняння: |Вирішує | |рахунок. |- x = 5×4 |самостоятельн| | |x = 10 — 5 · 5 :5 |про на дошці. | | |x = 5 -13 +13 | | | |- 5= 5 · 8 :8 | | | |5 = 5 -26 +26 | | | |30 30 |Вирішує на | | |б) порівняй: |картці | | |8 · 4 + 8 … 5 · 8 4 м 32см| | | |… 423 м |Записати на | | |29 · 7 … 3 · 29 308 см|таблице | | |… 3 м 8дм | | | |7 · 16 … 16 + 16 + 16 + 16 +16 56 дм … 56 див | | | |в) склади програму діянь П. Лазаренка та знайди значення |Виконують | | |висловлювання: |інші | | |30 — 4 + 21 — 8 = 39 24: 3: 2 · 5|дети | | |= 20 | | | |57 + 20 — 15 — 14 = 48 36: 9 · 6: 8 =|Запис на | | |3 |дошці | | |Мозгова атака. | | | |а) Що означає збільшити кілька разів? | | | |б) Що означає зменшити кількість у кілька разів? |Записують | | |в) Що з числами внаслідок вироблених |одні | | |операцій: а · 5; а + 5; а: 5; а — 5. |висловлювання | | |р) Назвіть множники: 12, 14, 15, 16, 18, 20. | | | |Бліцтурнір. | | | |а) Вчора Маша прочитала, а сторінок, а сьогодні - удвічі | | | |рази більше. Скільки сторінок прочитала Маша ті | | | |дні? (а + а · 2) | | | |б) Один шматок в м тканини, а іншому — учетверо | | | |менше. Скільки метрів тканини у двох шматках? (в + в: | | | |4) | | | |в) У Серёжи з зошитів у клітину, а лінійку — на 6 | | | |зошитів менше. Скільки зошитів у Сергія? | | | |(з + (з — 6)). | | | |р) Оля знайшла у лісі n ягід суниці, до ягід вона | | | |з'їла, інші ж розділили втричі однакові частини: | | | |татові, матусі та сестрі. Скільки ягід суниці був у | | |III. |кожній частині? ((n — к):3). | | |Нова |Перевірка індивідуальної роботи. | | |тема. |Друге завдання є домашнім і перевіряють свою| | | |домашню роботу. Третє завдання залишається на дошці. | | |П'яти |Чим права частина відрізняється від лівої (у третій | | |хвилинка |завданні)? | | | |У лівої частини присутні дії складання т | | | |вирахування, а правої множення і розподіл. | | | |Рахунок п’ятами. | | | |До нас у гості прийшли чотири дії:; ·; +; -. І | | | |принесли вираз: m — a: b + з · d | | | |Які у ньому є дії? (чотири) | | | |Подивімося чоловічків з його діями, вони вишикувалися| | | |для підказки. Як виконуватимемо дії, що не | | | |порядку? | | | |m — a: b + з · d | | | |Складемо план дій: | | | |а: b | | | |з · d | | | |m — 1 | | | |3 + 2 | | | |Вирішуємо № 3 з коментированием: | | | |а) а · k + з · b — d: m | | | |б) а: b · з — d · k: m | | | |в) b · m — a: d — d + k | | | |Та який є тема сьогоднішнього уроку? (Порядок | | | |дій у висловлюваннях без скобок). | | |IV с/р |Читаємо правилами стор. 25 | | | |Якщо висловлюваннях без скобок є лише складання, | | | |віднімання або тільки множення і розподіл, всі вони | | | |виконуються усе своєю чергою зліва-направо. | | | |I — в Вирішує № 2 | | | |40 — 5 · 3 = (30: 6 + 3 · 9 = (| | | |45: 5 + 17 = (5 · 4 — 32: 8 = (| | | |II — в вирішує № 4 | | |Фіз. мин|16 — 3 · 3 + 5 · 5 = (6 · 3: 2 + 5 · 8 · 0 | | | |= (| | |V |7 · 2 + 10: 5 — 4 · 4 = (3 · 8 + 35: 5 + 0: | | |формиров|239 = (| | |ание |Перевірка: обмінюються зошитами і перевіряють друг у | | |навичок |друга. | | | |Веде дитина. | | | | | | | |Завдання № 7 | | | |а) жужжащее читання умови. | | | |Казали? (що у 1 светр — 5 мотків, на 1 жакет| | | |- 6 мотків) | | | |Не відомо? (скільки мотків почне робити 6 светрів | | | |і 2 жакета) | | | |Що спочатку дізнаємося? (скільки мотків почне робити 6 | | | |светрів) | | | |Як дізнаємося? (5 · 6) | | | |Ну й тим дізнаємося? (скільки мотків почне робити 2 жакета)| | | | | | | |Як дізнаємося? (6 · 2) | | | |I — в вирішує за діями | | | |II — в вирішує вираженням | | | |5 · 6 + 6 · 2 = 42 (м.) | | | |Якщо вирішуємо вираженням, скільки дій зробили? (3) | | | |По діям? (3) | | | |б) Жужжащее читання умови. |Одна особа | | |Казали? (одне сукню — 3 м, а було 2 |у дошки | | |відрізка, у одному з яких 18 м, а іншому 6 м.) | | | |Не відомо? (скільки суконь можна зшити з цих двох | | | |відрізків) | | | |Вдайте на кресленні | | |VI Д/з |? | | | | | | | | | | |VII Итог|18 м 6 м | | | |1 сп. 18: 3 + 6: 3 = 8 (пл.) | | | |2 сп (18 + 6): 3 = 8 (пл.) | | | |Дивляться № 10. | | | |Що таке периметр? (сума довжин сторін) Отже, що | | | |потрібно знайти спочатку? (довжини сторін) Це завдання | | | |виконайте вдома. | | | |То що ж виконувати дії вираженні без скобок? | |.

Аналіз: цьому уроці вводиться правило порядку дій у висловлюваннях без скобок. Фактично діти вже обізнаний із це правило, але це застосовувалося тільки до висловів, містять 2 — 3 дії. На даному уроці правило формулюється загалом і використовується на вирішення прикладів з більш складної структурою. Правило на уроці діти формулюють самостійно, що дає підстави для мисленнєвої діяльності учащихся.

Для кращого запам’ятовування правила створюється такий образ: знаки арифметичних дій вишикувалися у чергу, першими усе своєю чергою стоять знаки множення і розподілу, і потім знаки складання і вирахування. Ця деталь носить елемент цікавості, що привертає мою увагу учащихся.

Потім пропонуються різні цікаві вправи закріплення даної темы.

§ 4. Матеріали для позакласної работы.

Чи можна здивувати і пекуче цікавість на обличчях молодших школярів під час заняття з математике?

Такі моменти, коли вчитель зумів викликати окриленість і підроблений інтерес учнів до предмета, є воістину йому щасливими. З них складається радість педагогічного праці. І на створення клімату творчого натхнення, самостійної індивідуальної та колективної практичної діяльності учнів використовуються різні види позакласної роботи з математике.

Позакласна робота становить нерозривний частина навчально-виховного процесу навчання математиці, складного процесу на свідомість і веління молодших школярів, поглиблення і розширення їх знань і навиків трьох чинників, як утримання навчального предмета — математики, всієї діяльності вчителя у поєднані із різнобічної діяльністю учащихся.

Значення позакласної роботи з математиці з молодшими школярами полягає в следующем:

1. Розвиток пізнавальної діяльності учнів: сприйняття, уявлень, уваги, пам’яті, мислення, промови, воображения.

2. Допомагає формуванню творчі здібності учащихся.

3. Деякі види позакласної роботи дозволяють дітям глибше зрозуміти роль математики жизни.

4. Позакласна робота сприяє вихованню колективізму і товариства, нагромадженню спостережень важко і ставленням щодо нього дорослих й у з цим вихованню любові до труду.

5. Сприяє вихованню в дітей віком культури почуттів, як-от: справедливість, честь, борг, ответственность.

6. Головне значення у тому, що вона допомагає посилити інтерес учнів до математики, сприяє розвитку математичних здібностей молодшої школы.

У порівняні з класно-урочної формою позакласну роботу з математики має низку особенностей:

1. За вмістом вона суворо не регламентована державної программой.

2. Позакласові заняття не обмежуються тимчасовими рамками.

3. Не потрібно постійний склад учащихся.

4. Позакласна робота характеризується різноманіттям форм і видов.

5. Особливістю є цікавість запропонованого материала.

Основним джерелом спонукання молодшого школяра до розумовому праці на позакласних заняттях може бути интерес.

Позакласне заняття на задану тему: «Подорож у світ математики».

Цілі: Через цікаві вправи сприяти підняття інтересу дітей до математики, засвоєнню ними алгебраического матеріалу, розширення їхніх кругозора.

Устаткування: Зірочки, ребуси, грамота для команди-переможниці. |Етапи |Зміст | |I орг. |Повідомлення теми і цілей. | |момент. |Сьогодні, хлопці, ми вперше зробимо «подорож» у світ | | |цікавою математики. | | |Ви ж хочете знати, що сьогодні робитимемо? Ви це дізнаєтеся, | | |якщо прочитаєте три загадкових слова, відгадайте три ребуса. Ребус| | |- це загадка, у якій замість слів або частини слова поставлені | | |знаки, намальовані предмети, назва яких слід відгадати, і тих| | |самим прочитати весь ребус. | | |Ваша «подорож» буде надзвичайним оскільки змагання | | |будуть між командами. | | |Уявіть собі, кожен ряд парт це «корабель», а учні, | | |сидять у цій вервечці, — члени команди. «Капітанами кораблів» будуть| | |найактивніші і кмітливі. Перемагає та команда, яка | | |набере більше зірочок. | | |Спочатку треба прочитати слова, написані на картках. Той,| | |хто першим прочитає, тобто відгадає ребус, проти неї | | |перевернути картку і прочитати слово. | | |Перший ребус відгадує перша команда, а то й можуть передається | | |наступній команді. Другий ребус читає друга команда та третій — | | |третя. (Нагороджую зірочками) | | |100 особи з 3 ж | | |Р 1 а | | |Вважати метикувати | | |відгадувати | | |Тепер прочитайте хром, що ви самі робитимете. | | |Вважати! Метикувати! Відгадувати! — відповідають діти. | | |Отже, хлопці, ви самі здійсните «подорож» у світ цікавих| |II |загадок, питань, завдань, будете змагатися, щоб виявити, | |соревнования|которая з команд — сама кмітлива. | | |Підберіть багато і вставте їх у місце сердечка. Що | | |вийшло? (За пошук правильної відповіді отримують зірочку) | | |1 команда 2 команда 3 | | |команда | | |7 · 5 < 7 · 3 + 7 · (8 · 7 > 8 · 6 + 8 · (6 · 9 = 6 | | |· 7 + 6 · (| | |Скажіть стосовно питань (запитання ставляться по черзі кожної | | |команді): | | |і може чи твір двох чисел менше їх суми? | | |Наведіть приклади. (1 · 1 < 1 + 1; 3 · 1 < 3 + 1; тощо. буд.) | | |б) чи може приватне рівнятися делимому? Наведіть приклади (7: 1 =| | |7; 1: 1= 1; тощо. буд.) | | |в) як зміниться приватне, якщо подільне збільшити на число одиниць,| | |які у даному делители? Наведіть приклади (приватне | | |збільшиться на одиницю 24: 4 = 6, а (24 + 4): 4 = 7) | | |3.Задача — кмітливість (рішення не обходжено продемонструвати на | | |картинках.) | | |Як колгоспник переправився в інший берег? | | |Колгоспнику треба було переправиться через річку. Раптом він побачив | | |двох хлопчиків, які катаються човном. Він попросив перевести його | | |через річку. Але човен була така мала, що могла витримати на воді | | |лише одну дорослого чи двох хлопчиків. | | |Поясніть, як переправити колгоспника в інший берег. | | |Рішення: спочатку діти переїжджають на протилежний берег, один | | |хлопчик залишається, а інший повертається до дорослого, потім один | | |дорослий переїжджає в інший беріг і, перебуваючи там хлопчик | | |повертається одним хлопчиком. (За пошук правильної відповіді команда | | |отримує три зірочки) | | |4.Игра «Надумай число» | | |Діти загадують числа до 10, а вчитель вгадує задумане | | |число, проте опікуються питаннями та думають як вчитель вгадує. | | |Чия команда першої додумається отримає дві зірки. | | |Загадайте число. Додайте щодо нього 8. Скільки в тебе вийшло, | | |Таня? | | |15. | | |Ти задумала число 7? (так) | | |У тебе, Петя, скільки вийшло? | | |18. | | |Ти задумав число 10. | | |І ще кількох людей опрашиваются, та був діти кажуть | | |діти говорять як ж вгадувати число. Якщо вони самі що неспроможні відповісти, | | |необхідно підказати. | | |Завдання — жарти. (задаються по черзі кожної команді). | | |а) Кілька коней пробігла 20 км. По скільки кілометрів пробігла | | |кожна кінь? (по 20 км) | | |б) 7 воробьишек спустилися на грядки, | | |Стрибають і щось клюють незважаючи. | | |Котик-хитрюга раптово підкрався, | | |Миттю схопив один і поїхав. | | |Ось як небезпечно клювати незважаючи! | | |Скільки тепер залишилося на грядці? (ні скільки) | |III Результат. |в) У клітині перебувала 4 кролика. Четверо хлопців купили за одним| | |і тільки залишився у клітині. Як то міг би вийти? (Одного купили| | |у клітині) | | |Підраховують зірочки, виділяють кращу команду, і нагороджують | | |грамотою. Грамоту отримує капітан. |.

Аналіз: на внеклассном заняття діти відпрацьовують такі поняття, як рівність і нерівність, вірні та зрадливі рівності і нерівності, висловлювання, рівняння. Однак ж розвивають логічне мислення. Усе це відбувається у ігровий формі, що підвищує інтерес. Формуються такі якості, як колективізм, взаимовыручка.

§ 5. Эксперимент.

Для розкриття сутності навчально-виховних явищ використовуються практичні, емпіричні методи, а именно:

— наблюдение;

— педагогічний консилиум;

— диагностирующие контрольні работы.

Цілі даних методів перебувають у следующем:

1. Спостереження необхідне з’ясування ступеня засвоєння алгебраического матеріалу, тобто перебування значення висловлювання, порівняння висловів, порядок дій, рішення рівнянь, рівності і нерівності. І тому використовуються різноманітні ігри, усний счет.

2. Педагогічний консиліум входять такі методи як розмова, анкетування, інтерв'ю. Я використовувала із цих методів — анкетування. Анкетування проводили серед вчителів других класів з єдиною метою з’ясування їхні стосунки до викладу, аналізованої теми в підручнику під редакцією М. І. Моро і підручниках під редакцией.

Л. Р. Петерсона. Запропонована анкета складається з «закритих» питань, тобто вчителям треба було б стосовно питань з готовими варіантами відповідей. Текст анкети запропонований додатку № 1.

3. Диагностирующие контрольні роботи містять у собі короткочасні роботи у формі математичних диктантів, коли вчитель диктує завдання, а діти записують одні відповіді. Додаю математичний диктант, використовуваний мною на переддипломної практиці (додаток № 2).

Також до цього методу належить індивідуальна роботу з учнями відстаючими у цій матеріалу. Як індивідуальної роботи я використовувала перфокарти завдання яких у тому, що з’ясувати, що став саме недорозуміють діти так і допомогти їм у подоланні даних труднощів. Зміст двох перфокарт додаю при застосуванні № 2.

А до того методу належить контрольна робота мету, якої полягає у перевірки того чого ж діти засвоїли теми, чи якісь зміни у результатах стосовно таких результатів хто був до проведення эксперимента.

Результати контрольної роботи зручно безкоштовно розміщувати у спеціальної таблиці, дані у якій вони дають у відсотках від кількості писали роботу. Контрольна роботу з результатами пропонується додатку № 3.

Педагогічний констатуючий експеримент проводився на місті Новоросійську, у шкільництві № 19, у 2 «А» класі, котрі займаються підручником під редакцією Петерсона.

Під час експерименту спостерігалися істотні зміни з оволодіння учнями вміннями і навички на тему «алгебраїчний материал».

За результатами таблиці, складеної мною після перевірки контрольної роботи, можна очікувати, що помилки у основному допустили через не пильності, поспіху. Та більшість учнів засвоїла цей матеріал. Уміння сформировано.

Заключение

.

У результаті теоретичного і експериментального дослідження отримані такі основні результаты:

1. Досліджувалося сучасний стан позаурочної роботи з математиці во.

2 «А» класі школи № 19. Точно, що його завданням позаурочної роботи у цьому класі є виховання інтересу учнів до предмету.

2. З психолого-педагогічних особливостей учнів 2 «А» класу, обгрунтована доцільність вибору ролі основного змісту позаурочної роботи система нестандартних заданий.

Результати отримані у дипломній роботі, дозволяють зробити такі выводы:

1. Розроблена система роботи з учнями з вивчення алгебраического матеріалу забезпечує достатню глибину засвоєння основних понять темы.

2. Запропонована система завдань сприяє більш повного розкриття зв’язків між різноманітними темами алгебраического материала.

3. Використовувані завдання дозволяють повторити, систематизувати і поглибити знання учнів на теми: висловлювання, висловлювання зі змінними, рівності і нерівності, рівняння, порядок дій в выражениях.

4. Рекомендована методика вивчення матеріалів навчається зіставляти нові історичні факти з раніше вивченим матеріалом, та шукати можливі застосування нових знаний.

1. Абрамова Про. Р. «Рішення рівнянь I клас». Початкова школа 1989 № 9 стор. 78.

2. Аммосова М. У. «Математичні олімпіади школярів». Початкова школа.

1995 № 5 стор. 13.

3. Бантова М. А. «Методика викладання математики початковій школе».

Москва «Просвітництво» 1984.

4. Віленкін М. Я. «Математика 4 — 5 класи. Теоретичні основы».

Москва «Просвітництво» 1974.

5. Волкова З. М. «Завдання розвиває характеру у новому єдиному учебнике.

«Математика»" Початкова школа 1997 № 9 стор. 68.

6. Глейзер Р. І. «Історія математики середньої школи» Издательство.

Москва «Просвітництво» 1970.

7. Гончарова М. А. «Розвиток в дітей віком математичних уявлень, уяви і мислення.» Антал 1995.

8. Депман І. Я. «За сторінками підручника математики». Москва.

«Просвітництво» 1989.

9. Ивашова Про. А. «Помилки гаразд виконання арифметичних діянь П. Лазаренка та шляху їхнього попередження». Початкова школа 1988 № 4 стор. 26. 10. Ивашова Про. А «Зміна результатів арифметичних дій за зміни їх компонентів» Початкова школа 2000 № 3 стор. 118. 11. Истомина М. Б. «Методика роботи над рівнянням I клас» Початкова школа 1983 № 9 стор. 47. 12. Калужнин Л. А. «Елементи теорії множин і математичної логики».

Москва «Просвітництво» 1978. 13. Коннова У. А. «Завдання творчого характеру під час уроків математики».

Початкова школа 1995 № 12 стор. 55. 14. Ланків А. У. «Історії розвитку передових ідей у російської методиці математики» Москва 1951. 15. Мельникова Т. З. «Порядок дій» Початкова школа 1990 № 1 стор. 36. 16. Моро М. І. «Математика один — 3 класах» Видавництво Москва.

«Просвітництво» 1971. 17. Микільська І. Л. «Вчимося розмірковувати й доводити» Москва.

«Просвітництво» 1989. 18. Петерсон Л. Р. «Математика 2 клас» Видавництво. Москва «С-Инфо»,.

«Баласс» 1996. 19. Прохоров А. М. «Велика радянська енциклопедія» Москва. Издательство.

«Радянська енциклопедія» 1971. 20. Пышкало А. М. «Теоретичні основи початковий курс математики».

Москва «Просвітництво» 1974. 21. Савін А. П. «Енциклопедичний словник юного математика» Москва.

«Педагогіка» 1985. 22. Стоилова Л. П. «Основи початковий курс математики» Москва.

«Просвітництво» 1988. 23. Филякина Л. «Живі рівняння» Початкова школа 1999 № 26 стор. 4, 13. 24. Чимова А. І. «Пошук і творчість» Початкова школа 1988 № 5 стор. 42. 25. Шарапова М. Ю. «Працюємо по-новому» Початкова школа 1995 № 7 стор. 29.

Додаток 1.

Анкета.

1. Що вам найцікавіше щодо методик викладання: а) Питання загальної методики. б) Рішення завдань шкільного курсу математики. в) Цікавий материал.

2. У якій методиці цей матеріал викладено краще: а) У традиційної. б) У Л. Р. Петерсоне.

3. Чи є система вправ вкладених у розвиток логічного мислення, пам’яті, вміння доводити, порівнювати, узагальнювати. Якщо є запишите.

4. Які рівняння ви вирішуєте: а) Найпростіші. б) Сложные.

Дані, отримані внаслідок закритого анкетування, я розмістила в таблиці. |Питання |1 |2 |3 |4 | |відповіді | | | | | |а) |75% |25% | |75% | |б) |25% |75% | |25% | |в) |0% |0% | |0% | |Так | | |100% | | |Ні | | |0% | |.

100% - усе це вчителя, що заполонили анкету.

Отже за результатами анкети можна дійти невтішного висновку у тому, що алгебраїчний матеріал, викладений в підручнику під редакцією Петерсона переважно використовує у своїй практиці більшість учителей.

Додаток 2.

Математичний диктант.

Цей вид роботи дозволяє вчителю швидко і визначити прогалини у знаннях учнів. Я пропоную математичний диктант, що його застосовувала на переддипломної практике.

1. Запишіть числа, твір яких одно 42; 36.

Від розподілу яких чисел виходить приватне 8; 7?

2. Запишіть вираз: одну книжку стоїть, а рублів скільки стоять 5 таких книг?

3. Уявіть число 36 як суми двох парних чисел; як суми двох непарних чисел.

4. Підберіть такі числа, щоб рівності були вірними (запис на доске).

:

(4 + 6) · 5 = … · … + … · …

9. · 5 + 8 · 5 = (… + …) · …

5. Устав потрібний знак (запис на доске):

3 · 7 … 25 18 + 35 … 50.

Отже метою даного диктанту є закріплення таких навичок як складання висловлювання, математичне властивість — множення суми на число, порівняння висловлювання з числом.

Проводилось безліч диктантів вкладених у закріплення чи іншого алгебраического матеріалу, такого як: рівняння, порядок діянь П. Лазаренка та т. д.

Результат: перевіривши роботи учнів, я дійшла висновку у тому, що з учнів сформовані: обчислювальний навик, звичка складання висловлювання за умовою завдання, навик порівняння висловлювання із кількістю. Більшість учнів допустили помилки у завданні пов’язаному зі знанням такого властивості, як множення суми на число.

Індивідуальна работа.

Як індивідуальної роботи я використовувала перфокарти, які видавала чотирьом учням під час усного рахунки. Перфокарта № 1.

1. Вычисли:

18: 2 = (4 · 8 = (5 · 9 = (.

7 · 8 = (.

3 · 6 = (28: 4 = (0: 15 = (.

49: 7 = (.

2. Запиши вираз: за 8 цукерок в рублів. Скільки коштує одна конфета?

3. Виконай действия:

(35 + 21): 7 = (.

32: 8 · 9 = (.

64: (23 — 15) = (.

Перфокарта № 2.

1. Вычисли:

Х x х.

· 5 · 8 +2.

+3 — 2 · 7.

— 7: 6 — 7.

: 4 + 9 :

4 4 18 18 7.

2. Сравни:

7 · 8 … 24 · 3; 15 · 24 … 25 · 15.

228: 1 … 228 · 1 в: 5 … в: 8.

3. Запиши вираз: за 15 стільців заплатили, а рублів. Скільки коштує один стул.

Результат: використовуючи дані картки на кожному уроці я помітила істотних змін у знаннях учнів. Вони краще стали вирішувати рівняння, вислови й неравенства.

Додаток 3.

Контрольна работа.

1. Вычисли:

4 · 50 = 14 · 6 = 630: 9 =.

30: 4 =.

720: 80 = 90: 18 = 76: 4 =.

59: 6 =.

2. Склади програму діянь П. Лазаренка та вычисли:

81: (11 — 2) · 6 + 6 · (14: 2) — 24: 3 · 5 =.

3. Склади вираз до завданню: в відро входить, а літрів води, а каструлю усемеро менше. Наскільки літрів обсяг відра більше обсягу кастрюли?

4. Порівняй выражения:

12· 52 … 48 · 12.

504 · 1 … 504: 1 а: 8 … а: 3.

5. Виріши уравнения:

Х: 7 = 40; 150: x = 3; 420 — x = 200.

6. Завдання. Кролик зібрав з городу врожай овочів. Моркви було 72 кг, капусти в 3 рази менше, ніж моркви, а ріпки на 26 кг більше, ніж капусти. Скільки кілограмів овочів заготовив запасливий кролик?

Результати контрольної роботи такі: |Номер завдання |Відповіли вірно |Відповіли не так |Не бралися | |1. |84% |16% |———— | |2. |88% |12% |———— | |3. |88% |8% |4% | |4. |100% |————- |———— | |5. |84% |16% |———— | |6. |80% |8% |12% |.

На контрольної роботі не було двоє, тобто писали контрольну роботу 25 человек.