Конспект лекцій з курсу ЭММ (Економіко-математичні методи лікування й модели)

1.Основные економетричні поняття і терміни, використовувані моделі. Слово «эконометрика» — з'єднання 2-х слів — економіка (наука про экон. сісох), метрика (наука про вимірювання). Згодом, вимагалося оцінити точно виникаючі зв’язок між економічними об'єктами (працю. ресурсами, порівн. вік робочого, безробіття, з/пл тощо.) т.к. ці поняття носять зазвичай випадковий, то без таких понять як регресія, кореляція, эконометрическая модель, тимчасової ряд замало. Зазвичай, ті об'єкти, які мають незалежний характер, економіки називають чинник ознаками. Наприклад: х1 — час процесу, х2 — раб. період, х3 — виділені кошти (V ср-в) — усе це незалежні перемінні - екзогенні перемінні (чинник ознаки). Аналогічно, у1 — V випуску продукції, у2 — собівартість, у3 — рентабельність, у4 — інвестиції в про-во — залежні перемінні - ендогенні перемінні (результативні ознаки). Не завжди витрати ведуть до максимізації прибутку. Щоб написати той чи інший залежність прим. ур-ие регресії. Рівняння регресії - ур-ие, що пов’язує між собою чинник ознаки і результативні ознаки. Ур-ие регресії бувають лінійні і нелинейные. Сама регресія буває парна (залежність між 1-им чинник ознакою і результатом) і множинна. y = y (x) (1) (із. між 1-им ф. ознакою і рез-ом) y = a + bx (2)(парная лінійна регресія, т.к. x і в беруть участь у 1-ой ступеня, чи b — параметри регресії мають економічний сенс). Щоб врахувати виникаючі перешкоди (похибки в рівнянні (2)) зазвичай пишуть: у = a + bx + e, де e — спотворення моделі, що враховує низку інших чинник ознак які беруть участі у процесі. Є й іншого виду регресії: 1) Лінійні - по чинник ознакою. 2) Нелинейные — за параметрами. Наприклад: [pic] (регресія лінійна, чи b під ДТ. log) Проте, частина нелінійних регрессий легко зводиться до лин. регрессиям: Наприклад: y = Ax + B, де [pic] Проте, сущ. ур-ия регресії не що зводяться жодним чином до лінійним. Наприклад: [pic] (тут регресія нелінійна по чинник ознакою x і з параметрами чи b) Теорія кореляції враховує тісноту зв’язок між ознаками x і в. Основними характеристиками служать: 1) лінійний коефіцієнт парної кореляції; 2) середня помилка апроксимації модели.

2.1. Загальна класифікація математичних моделей й формує відповідні підходи. Моделі керування ринковою економікою поділяються на виборах 4 основні види: 1) Ординарна модель. Вона варта розрахунку оптимізації т.зв. бізнес-планів, структур управління, де структурована схема моделі передбачає побудова графа, не що містить контурів «дерево рішення», де кожної вершині приписується цілком конкретний об'єкт. Зв’язок між вершинами «траєкторій графів» є цілі, які бувають 3-х видів. основні завдання, які вирішуються ординарною моделью:

1. Оптимальний розподіл фінансових коштів, виділених створення проектованого об'єкта, критерієм мінімізації часу реалізації бизнес-плана.

2. Розрахунок максимальної окупності величини на неї, необхідні створення проектованого объекта.

3. Розрахунок визначення оптимальних значень потужності кожної з підсистем об'єкта. 2) Композиційна модель. Полягає точному її формуванні та наступної оптимізації бізнес-плану, проектованої комерційної структури. Основа моделі - метод аналізу ієрархій, з точним зазначенням вагових характеристик кожної із цього. З допомогою композиційною системи вирішуються аналогічні завдання. Різниця у цьому, що операційні характеристики моделі будуються з урахуванням «інтересів», т.зв. терезів для моделируемого об'єкта загалом. 3) Модель планування. Вона варта системного планування за умов невизначеності та ризику прийнятих рішень. 4) Комплексна модель. Комплексна модель що складається з 2-х моделей: 1. Модель із формування і ведення оптимальних портфелів цінних паперів; 2. Модель за оцінкою ліквідності видавали позичальником кредитов.

2. Статистичні моделі та їх оцінки. Насамперед, сформуємо основні завдання й етапи статистичної обробки експерименту: 1) Аналіз даних, обробка аналізованих вимірів. Цей етап пов’язані з неоднорідністю за якістю експериментальних вимірів. 2) Експериментальна перевірка законів розподілу, оцінка параметрів економічних показників і індексів вимірів. 3) Стиснення (угруповання) вихідної інформації при великий обсяг даних. 4) Модель як така (з вище відзначених 4-х видів) 5) Уточнення моделі і його идентификация.

Перечислим основні методи, застосовувані в експериментах: 1| Кореляційний аналіз. Суть його — визначення випадкових зв’язків (як правило лінійної) між двома і більше ознаками, які входять у експеримент. Він дає змогу відібрати чинники мають суттєвий характері і побудувати відповідне рівняння регресії. Далі, оцінити точність обраної моделі з допомогою коефіцієнта кореляції, до детермінації до спільної помилці апроксимації. За підсумками 1-го можна робити прогнозування. 2| Факторний аналіз. Отже, у будь-якій моделі є чинником ознаки, частина з яких носять кількісний характер, другу частину — якісний характер. Суть факторного аналізу у тому, що зовнішні чинники, використовувані в моделі і дуже коррелированные між собою повинні прагнути бути замінені внутрішніми чинниками, які визначають поведінка зовнішніх чинників, у цілому економічний процесс.

Р = ((Ц-С)/C) * 100% (визначення рентабельности) Ясно, що ці чинники впливають на продуктивність. Завдання полягає у тому, щоб виділення з них суттєвіші внутрішні чинники та визначити частку кожного у процесі. 3| Дисперсионный аналіз. Він призначений в обробці і одержувачів відповідного прогнозування експериментальних даних, залежних тільки від якісних чинників. Сутність її у тому, щоб розкласти дисперсию результату на незалежні складові експерименту, кожна з яких характеризує вплив тієї чи іншої чинника на результат. Порівняння цих складових дисперсій є оцінка суттєвості цих факторов.

2.3. Деякі основні тези, використовувані в ординарною моделі. Форми лінії регресії - є залежність між двома і більше випадковими величинами визначається вибором з таких типів залежностей. а) y = a + bx + e, де x — незалежний чинник, у — рез-ат, чи b — параметри, е — спотворення; б) y = a + b/x + e, — гіперболічна регресія. в) y = axb + e, — статечний регресія. р) y = a + b * ln x + e, — логарифмічна регресія. буд) y = a + bx + ex2 + … + e, — параболічна регрессия.

Каждая їх, з метою оцінки параметрів будується з урахуванням МНК. Суть його — підбирають параметри рівняння регресії, з мінімальних квадратів відхилень експериментальних даних, і теоретичних значень в рівняннях регресії. Він входить у систему кореляційних рівнянь. Одержувані цим методом оцінки параметрів повинні мати такими властивостями: 1. Песьмицинностью, тобто. математичні очікування цін мали бути зацікавленими рівні їх істинним значенням, отриманим їх експериментальним відповідностям. 2. Оцінка параметрів мусить бути заможної, у разі зростання обсягу спостережень повинна котиться до нуля. 3. Мають бути ефективними, повинен мати мінімальну дисперсию порівняно решти оценкам.

3. Постановка і силові методи рішення оптимізаційних завдань із багатьма критеріями. Найчастіше доводиться ставити і вирішувати такі: 1) Максимізувати прибуток і пов’язана дохід підприємства, Q1 — max P; 2) Мінімізувати собівартість (підвищувати рентабельність), Q2 — min P. S, Q3 max R; 3) Мінімізувати кількість працюючих, Q4; 4) Максимізувати з.пл. робочим, Q5 max Як кажуть, безліч критеріїв суперечать одна одній. Як вирішити це завдання з урахуванням моделей виробництва. Існує 4 методу вирішення цих задач:

1-ый метод. Метод аналізу ієрархій після ухвалення остаточних управлінські рішення. Суть методу: точно написати дозовані коефіцієнти (т.зв. вагові) після ухвалення рішення і розподілу ресурсів за програмними цілями. І тому знадобляться допоміжні відомості, такі як ідеальна матриця порівняння, індекс узгодженості рішень, розподіл відповідно до цілям і иерархии.

—————— Ідеальна матриця порівняння: Розглядаються n-объектов (елементів экон. сис-мы) — з.пл., соц.страх., осн. фонды, чисельність. Кожен елемент перебуває у взаємодії коїться з іншими. Означимо p1, p2,… pn. Усього nоб'єктів. Із цією елементами зв’яжемо матрицю А. Аij, i-номер рядки, j-номер шпальти. Ідеальною матрицею порівняння називається вихідна матриця А, підпорядкована 2-ум правилам: 1) якщо Аij = [pic], тоді Аji = 1/[pic], [pic][pic] 2) якщо судження (щодо рассм. эл-ов) pi і pj такі, що об'єкт pi однаковим із об'єктом pj за важливістю, то елемент aij=1, отже аji=1. Зокрема діагональний елемент аii=1. Матриця, А відповідальна правилам 1) и.

2) називається ідеальної матрицею порівняння. Індекс узгодженості рішень: Нехай дана матриця Проте й нехай дано вектор [pic]; [pic]. [pic]-называется називається власним вектором матриці А, а число [pic]- собств. значенням матриці Якщо ж виконується умова [pic], [pic] У принципі так, обох координат х1, х2 дію матриці перетворюється на 2 дії - деформацію вектора і поворот на площині. —————— 2-ой метод. Лексикографический метод стратегий.

3-ий метод. Метод ідеальної точки (Оптимум Парретто).

4-ый метод. Метод мозковий атаки (колективного распознавания).

4. Метод базової точки в економічних системах. На цей час чисельні методи (наближені методи) застосовуються тоді, коли змінних чи критеріїв багато. У IXX столітті фр. Фізик Ле Шателье відкрив наступний принцип:

Якщо цю систему перебуває у стані стійкого рівноваги, то під впливом зовнішніх сил може бути виведено із цього стану, але отже володітиме мінімумом ентропії энергии.

Це означає (див. мал.1), що й система перебуває у становищі Бо за напрямами 1 и.

2 її марно виводити зі стану стійкого рівноваги. Якщо ж система перебуває у становищі Б, то, при виведенні її за напрямам 1 і 2 (див. мал.2) система має не повернеться. Лауреат нобелівської премії, Пригожин І., 1989 року, використовуючи принцип Ле Шателье, що і кожну систему неодмінно повертається у зону стійкого рівноваги, відкрив новий метод економіки — метод базової точки:

Нехай стан економічного процесу залежить від створення низки параметрів. Цільова функція має наступний вид:

[pic].

х-набор вільних параметрів x1, x2,… xn, що треба оптимізувати. a1, a2,… ap — набір технічних параметрів, впливають на поведінка цільової функції. e1, e2,… em — набір вартісних характеристик процесу, які впливають поведінка функції. Ця система широко застосовується у час. Наприклад, добре всім відома система налогообложения.

Множинна регресія. Коефіцієнт еластичності. Зазвичай, парній регресією замало, коли є група взаємозалежних ознак. Наприклад, в моделі беруть участь слід. хар-ки: x1 — працю, L x2 — вартість основних фондів, k x3 — час, Т x4 — зар. плата x5 — середній вік робочого, тощо. Аналогічно парної будується і множинна регресія. Спочатку розглянемо випадок, коли той результативний ознака у і чинник ознака х1, х2,… хn. Розрізняють аддиктивную (сумарну) лінійну множинну регресію виду [pic] І мультипликативную (у вигляді твори) [pic] Параметри моделі є т.зв. еластичності моделі. Вони показують наскільки %- вв ізм. рез-т у за зміни на 1% чинник ознаки хi.

5. Ідеальна матриця порівнянь. Шкала порівнянь. При аналізі цікавій для нас структури економічного об'єкта часто-густо доведеться лише приймати точні рішення. Наприклад, на поведінка ринкової стійкості підприємства (забезпечення максимального випуску, що з ним доходу, за умов інфляції, падіння імпорту, падіння експортних цін), треба достеменно знати, скільки розподілити коштів, з урахуванням основних чинників виробництва кожен з видів діяльності, знаючи цели.

Схема завдання следующая:

———————————;

Рис 1.

А.

Рис 2.

Б.

X A E.

Обсяг средств.

Виробничий сектор

Транспорт.

Соціально-побутові службы Существует універсальний метод, дозволяє точно зосередити грошові кошти з урахуванням зазначених цілей (основоположник методу Т. Сааті). Ідеальна матриця порівнянь є квадратическую матрицю, побудовану на порівнянні її елементів. Наприклад, якщо одне елемент, входить у економічну систему має однакову значимість з іншим елементом, то відповідної парі цих елементів бере участь число 1. Наприклад, на придбання матеріалів для даху необхідні дошки, шифер, цвяхи тощо. — частина елементів однакові по корисності. Якщо хтось елемент А, важливіше елемента B, то пару (АB) в матрицю заносимо 2 чи 3.

(AB) B.

|.

| A——(3).

А в пару BA заносимо ½ чи 1/3.

(BA) (½, 1/3).

Если елемент, А явно важливіше ніж елемент B, то пару (A, B) заносимо 4 чи 5, в пару (B, A)=¼, 1/5. Якщо елемент, А значно важливіше, то 6 чи 7, а (B, A)=1/6, 1/7. Якщо елемент, А абсолютно важливіше, ніж елемент B, то заносимо в пару (А, B)=8,9, а (B, A)=1/8, 1/9. Припустимо, що, порівнюючи об'єкти у економічної системі P. S змушені написати таку таблицю сравнения.

[pic].

Видим, що симетрично діагональні елементи взаимообратные за величиною. Для кожної матриці характерні 2 основних компоненти: 1) max власне значення; 2) індекс узгодженості, дозволяє будувати висновки про ролі побудованої нами модели.