Применение узагальненого методу Фур'є в завданню пологого хвилеводу трикутного перерізу

Применение узагальненого методу Фур'є в завданню пологого хвилеводу трикутного сечения

к. ф.-м. зв. Андрушкевич И. Е., Жизневский В.А.

Витебский державний університет ім. П. М. Машерова.

Решение прикладних завдань поширення електромагнітних хвиль найчастіше пов’язане з проблемою пошуку аналітичних рішень крайових завдань математичної фізики. З цієї погляду, застосування методу поділу змінних одне із можливих шляхів цього пошуку. Добре вивчений класичний метод Фур'є дозволяє розділити перемінні в диференційних рівняннях у приватних похідних стосовно граничним умовам найпростішого виду. Трикутна кордон спрямовуючої структури, розглянутим у статті, і не відповідає можливостям поділу змінних у «класичному поданні. У статті розглянуто застосування узагальненого методу Фур'є поділу змінних, як однієї з способів розширення кола аналітично розв’язуваних завдань прикладної електродинаміки. На прикладі визначення сімейства Е-волн хвилеводу трикутного перерізу показано перевагу над класичним методом поділу змінних під час вирішення крайової завдання для двовимірного рівняння Гельмгольца.

Наглядным прикладом реалізації переваг узагальненого методу Фур'є (ОМФ) [1] перед класичним під час вирішення прикладних завдань електродинаміки є завдання пологого хвилеводу трикутного перерізу (мал.1), оболонка якого приймається за ідеально котра проводить, а внутрішнє середовище є однорідної. У такій моделі в вона найчастіше виявляється задовільною для практичних розрахунків. За необхідності вона уточнюється шляхом обліку втрат надходжень у металле.

.

рис. 1.

Поиск векторів електромагнітного поля зазвичай замикається в руки рівняння Гельмгольца, якого мають задовольняти компоненти цих векторов:

(1).

Пространственная завдання про поширення хвиль у цій продольно-однородной структурі зводиться до вирішення двумерного рівняння Гельмгольца шляхом класичного відділення перемінної z, тобто. уявлення шуканої функції в виде:

(2).

Уравнение для у своїй приймає вид:

(3).

Здесь невідома як функция, а й параметр l, має сенс поперечного хвильового числа. Саме собою рівняння (3) немає певних рішень з фізичною погляду. Необхідно поставити крайову (граничную) завдання. Відомо, приміром, із [2], що визначення сімейства Е-волн тій чи іншій спрямовуючої структури з однорідної середовищем і за ідеалізації які проводять кордонів треба знайти рішення крайової завдання, що містить, крім рівняння (3), условие:

на L, (4).

где під L розуміється ідеально проводить контур поперечного перерізу пологого хвилеводу чи сукупність контурів на більш складних випадках. У прикладі, з малюнка, як L виступає прямокутний рівнобедрений трикутник. Застосовуючи на вирішення цієї крайової завдання класичний метод Фур'є, тобто. представляючи потрібну функцію в виде:

(5).

можем отримати таке спільне рішення для аналізованого уравнения:

(6).

Неопределенные константи, які у це рішення, слід визначити з граничних умов, але отримувана у своїй система рівнянь немає нетривіальних рішень. Отже, рішення (6) не задовольняє поставленої крайової завданню. Можна піти шляхом розчленовування замкнутого контуру на відтинки, що безумовно викликає збільшення кількості крайових завдань, які потребують вирішення. Цього уникнути, використовуючи ОМФ.

Представляючи потрібну функцію в виде:

(7).

рівняння (3) наводиться билинейному виду:

(8).

На наступному етапі застосування ОМФ необхідно побудувати матрицю функцій билинейного рівняння, яка в випадку бачиться наступним образом:

(9).

Следуя теорії реалізації ОМФ [1], використовуючи цю матрицю, можна побудувати такі системи розділених уравнений:

(10).

(11).

(12).

Приведенные системи відрізняються функціями, які входять у їх базис, та його кількістю. Аналіз цих систем вказує, що тільки система (11) може мати, задовольняють вимозі лінійної незалежності шуканих функцій з кожної перемінної. Рішення системи (11) за умови має наступний вид:

(13).

Это рішення містить вісім невизначених коефіцієнтів та постійні разделения, які слід визначити з граничних умов.

Условие по осі x, має вид f (x, 0)=0, призводить до уравнению:

(14),.

из якого слід: .

Условие по осі y, має вид f (0,y)=0, призводить до уравнению:

(15),.

из якого вважаємо: .

Условие по гіпотенузі аналізованого трикутника, має вид f (y-а, y)=0, призводить до уравнению:

.

которое може бути перетворено до виду:

(16).

Решая дане тригонометрическое рівняння можна звернути їх у тотожність при наступних обмеженнях на невизначені постоянные:

(17),.

где k, n, m v цілі ненульові числа.

При цих обмеженнях бажана функція приймає наступний вид:

(18),.

где З v невизначена амплітудна константа, що внаслідок наступних обозначений:.

Возвращаясь до спочатку поставленому завданню про визначення сімейства Е-волн аналізованої спрямовуючої структури, відповідно до [2], як f (x, y) виступають власні функции, мають сенс подовжньої компоненти напруженості електричного поля для хвилі, обумовленою вибором чисел m і n. Цим власним функцій відповідають власні значення з висловлювання (17). Повне електромагнітне полі при цьому хвилеводу можна визначити з залежностей поперечних компонент від и, належних з рівнянь Максвелла:

.

.

.

,.

где  — поздовжнє хвилеве число, а  — кругова частота хвильового процесса.

Список литературы

1. И. Е. Андрушкевич. Про одного узагальненні методу Фур'є поділу змінних. ЕВ & ЕС .1998. ¦2.

2 В.В. Микільський, Микільська Т.И. Електродинаміка і розповсюдження радіохвиль. М.: Наука.1989.