К теорії польоту лижника під час стрибків з трампліна

К теорії польоту лижника під час стрибків з трамплина

Кандидат педагогічних наук, доцент Н. А. Багин, Ю.І. Волошин, доктор фізико-математичних наук, доцент В.П. Євтєєв, Великолукский державна інституція фізичної культуры После розгону і виконаного відштовхування від столу відриву результат стрибка з трампліна визначиться польотом лижника повітря під впливом тяжкості і аеродинамічних сил.

Рассмотрение польоту у спортивній літературі [2, 4] часто носить несуворе, якісний характер, заснований головним чином результатах експерименту, і аналізу світових рекордів. У даний роботі отримані прості формули, дозволяють тренеру кількісно проаналізувати залежність довжини стрибка від початковій швидкості польоту, кута вильоту зі столу відриву, геометрії трампліна, аеродинамічних якостей польоту і швидкості ветра.

Выберем початок координат край столу відриву і спрямуємо горизонтальну вісь Х вздовж трампліна, а вісь Y вертикально вверх.

Выпишем рівняння руху центру ваги лижника в координатної форме:

Vx= -(KxVx/V+KyVy/V) (V+U0Vx/V)2, (1).

Vy= -g-(KxVy/V+KyVx/V) (V+U0Vx/V)2, (2).

где Vx, Vy — проекції швидкості польоту на координатні осі, V — абсолютна величина швидкості, U0 — алгебраїчна швидкість горизонтального вітру, позитивна при зустрічному вітрі і негативна при попутном.

Kx=? rCxS/m, Ky=? rCyS/m — аеродинамічні числа, мають розмірність, зворотний довжині, r — щільність повітря; Сx — коефіцієнт лобового опору; Cy — коефіцієнт піднімальної сили; P. S — фронтальна площа лижника з лижами; m — маса лижника з лижами. Точкою є такі похідні по времени.

Уравнения (1) і (2) нелинейные. Спростити їх науковий аналіз й одержати наближені рішення зручно переходом функцій комплексного змінного. Раніше цю прийом успішно застосовувався однією з авторів до систем нелінійних рівнянь небесної механіки [3]. Він дає змогу звести систему двох рівнянь одного. Для цього він введемо в розгляд комплексну швидкість польоту (КСП): W=Vx+iVy, (3).

где і - мнима одиниця і комплексне аэродинамическое число K=Kx+iKy. (4).

Умножая рівняння (2) на мниму одиницю і складаючи з цим рівнянням, одержимо з урахуванням (3) і (4) такі рівняння для КСП:

W=-ig-K (V+U0(W+W)/2V)2W/V, (5).

где рисою згори є такі комплексно-сопряженные величины.

Полет лижника складається з злету на її вершину траєкторії і спуску з неї. Розглянемо їх поетапно. Запишемо рівняння (5) в виде:

W=-ig-K (V+U0cosj)2W/V. (6).

За час злету, вимірюваного кількома десятими часткою секунди, швидкість польоту змінюється мало, а полярний кут змінюється від кута вильоту j0 на кілька градусів нанівець на вершині траєкторії. Тому ми зробимо великий помилки, якщо замінимо в (6) швидкість V початковій швидкістю V0 і далі усредним отриманий коефіцієнт перед W по інтервалу зміни полярного кута. Тоді рівняння (6) перетворюється на диференціальний лінійне рівняння першого порядку з постійними коэффициентами:

W=-ig-KC0W, (7).

где C0=V0+2U0sinj 0/j0+U02(1+sin2j0/2j0/2V0.

Решение рівняння (7) має вид:

W=W0exp (-KC0t)-ig (1-exp (KC0t))/KC0. (8).

На протязі всього злету KxC0t.